多元函數(shù)微積分課件

1、定義定義1在某一給定如果當變量和設有三個變量yxzyx,按照一定時，變量內(nèi)任取一對值的二元有序?qū)崝?shù)對zyxD),(yxz,叫做變量它們對應，則變量總有唯一確實的數(shù)值和的規(guī)律),(yxfz 的二元函數(shù)，記作稱為函變化的范圍為因變量，為自變量，其中Dyxzyx),(,),(),(,),(0000yxyxfzDyx稱為對應于則，數(shù)的定義域。設點的函數(shù)值，函數(shù)值的總體稱為函數(shù)的值域。類似地，可定義三元函數(shù)及其他多元函數(shù)。例例之間具有關系高和它的底半徑正圓錐體體積hrv,hrv231在一定范圍的變化而變化，當隨著這里，hrhrv,取定的值就隨之確定，即當內(nèi)取定一隊值時，vhr)0, 0(，這時底半便有確

2、定的值與之對應時，二元有序數(shù)組vhr),(時間不存在依賴關系，這是相互獨立的，它們之和高徑hr的二元函數(shù)。和高是半徑體積hrv例例2 一個有火爐的房間內(nèi)一個有火爐的房間內(nèi),在同一時刻的溫度分布在同一時刻的溫度分布唯一的溫度的一個三元是與之對應，這時溫度zyxuu,),(zyxuu 函數(shù)，故可表為tzyxut,就是的溫度分布，則溫度若考慮房間不同時刻),(tzyxuu 的一個四元函數(shù)類似的例子還可舉出很多,今后我們主要研究二元函數(shù)。處都有后，房間內(nèi)每一點在選定空間直角坐標系),(zyx 一般地講，二元函數(shù)的幾何意義表示空間直角坐標系中的一個曲面。),(yxfz 設二元函數(shù)Dyx),(內(nèi)每取一點在

3、定義域D值，空間中的得到相應的根據(jù)函數(shù)的關系式就可zyxp),(跑遍當點的坐標滿足關系式（),(),(),(,yxpyxfzyxfyxM就在空間描繪出一個曲（時，相應的點定義域),(,yxfyxMD的圖形。函數(shù)面，這個曲面就是二元),(yxfz （2） 二元函數(shù)二元函數(shù) z=f (x,y) 的圖形的圖形空空間間點點集集 (x,y,f (x,y)| (x,y) D. 通常是一張曲面（通常是一張曲面（函數(shù)曲面函數(shù)曲面）.內(nèi)有定義，在開區(qū)域（或閉區(qū)域）設函數(shù)Dyxf),(對于任意給定的正數(shù)的內(nèi)點或邊界點，如果是Dyxp),(000，使得對于適合不等式，總存在正數(shù)20200)()(0yyxxppAAy

4、xfDyxp成立，則稱常數(shù)都有的一切點),(,),(時的極限，記作當為函數(shù)00,),(yyxxyxf0),0(),(),(lim00ppppAyxfAyxfyyxx這里或小結(jié)小結(jié)：（）（）的距離與點是指點趨于（),(),(),(00000yxpyxpyxyx函數(shù)相類似。趨于零。這一點與一元（2020)()yyxx （）（）為極限，是指以時，函數(shù)趨于（當（Ayxfyxyx),(),),00。時，函數(shù)都無限接近于以任何方式趨于Ayxpyxp),(),(000例例 求證求證22221sin)(),(yxyxyxf設22222222221sin01sin)(yxyxyxyxyx)0(22 yx0),(

5、lim00yxfyx證明證明，則當取可見，對任何 , 0時，總有220)()(0yyxx成立22221sinyxyx所以，0),(lim00yxfyx由于平面上由一點到另一點有無數(shù)條路線，因此二元函數(shù),)(),000復雜的多趨于要比一元函數(shù)中時趨于中當（xxyxyx沿如果也可以沿任何曲線可以沿任何直線例如),(,yx那么二重所得的極限值不同時不同的路線趨于,),(00yx極限也就不存在的是內(nèi)有定義或閉區(qū)域在開區(qū)域設函數(shù)DyxpDyxf),(,)(),(000如果且內(nèi)點或邊界點,0Dp ),(),(lim0021yxfyxfyx在點否則稱函數(shù)連續(xù)在點則稱函數(shù)),(;),(),(000yxfyxp

6、yxf則稱它在區(qū)上每一點都連續(xù)在區(qū)域如果函數(shù)間斷,),(.)(00Dyxfyx.,質(zhì)二元連續(xù)函數(shù)有下列性和一元函數(shù)類似上連續(xù)域D性質(zhì)性質(zhì)（最大值和最小值定理）（最大值和最小值定理）上有界閉區(qū)域若函數(shù)Dyxf),(.,和最大值各一次上一定至少取得最小值則它在連續(xù)D性質(zhì)性質(zhì)（零點定理）（零點定理）性質(zhì)性質(zhì)（有界性定理）（有界性定理）性質(zhì)性質(zhì)（介值定理）（介值定理）上連續(xù)在有界閉區(qū)域若函數(shù)Dyxf),(上取得介于這兩個則它在值上取得兩個不同的函數(shù)且它在DD,.次值之間的任何值至少一且上連續(xù)在有界閉區(qū)域若函數(shù),),(Dyxf則至少數(shù)值數(shù)值和一個小于零的函它取得一個大于零的函,. 0),(,),(fD

7、使得有一點則上連續(xù)在有界閉區(qū)域若函數(shù),),(Dyxf.上有界它必在D例例設設),(,23sin),(21limyxfxyeyxyxfyxxy求解解在其定義域內(nèi)且點是初等函數(shù)由于)2 , 1 (,),(yxf,)2 , 1 (),(處連續(xù)在點故yxf因此232223sin)2 , 1 (),(22221limeefyxfyx小結(jié)：小結(jié)：一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的所謂定義區(qū)域，是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域由多元初等函數(shù)的連續(xù)性，如果要求它在點而處的極限,0p點的則極限值就是函數(shù)在該區(qū)域內(nèi)該點又在此函數(shù)的定義,即函數(shù)值,)()(lim00pfPfpp上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾

8、 頁頁上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁固定當?shù)哪骋秽徲騼?nèi)有定義，在點（設函數(shù)yyxyxfz),),(00相應的函數(shù)有增量時處有增量在而在,00 xxxy),(),(0000yxfyxxfzx如果極限xyxfyxxfx),(),(lim 00000的偏處對在點則稱此極限為函數(shù)存在xyxyxfz),(),(,00記作導數(shù),上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁),(,00000000yxfzxfxzxyyxxxyyxxyyxx或同理,如果極限yyxfyyxfy),(),(lim00000的偏處關于在（數(shù)存在，則稱此極限為函yyxyxfz),),(00導數(shù),記作),(,00000000yx

9、fzyfyzyyyxxyyyxxyyxx或上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁xyxDyxfz處對于內(nèi)每一點在平面區(qū)域如果函數(shù)),(),()(),()yxDyxfy或內(nèi)有對在函數(shù)的偏導數(shù)都存在，則稱（或偏導函數(shù),簡稱偏導數(shù),記作記作 ,xz ,),(xyxf ,zx ),(yxfx ,yz ,),(yyxf ,yz ),(yxfy上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁解解根據(jù)偏導數(shù)的定義可知,求多元函數(shù)關于某個自變量的偏導數(shù),并不需要新的方法,只需將其他自變量看作常數(shù),僅對一個自變量求導,因此,一元函數(shù)的求導法則和求導公式,對求多元函數(shù)的偏導數(shù)仍然適用.的偏導數(shù)。求yxz2sin2求導，

10、得看作常數(shù)，對視為求xyxz,yxxz2sin2例例1上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁例例2求導，得看作常數(shù)，對視為求yxyz,yxyz2cos22)5 , 0(),4 , 3(,),(22yxffyxyxyxf求設解解22221221),(yxxyxxyxfx因為22221221),(yxyyxyyxfy所以52531)4 , 3( f011)5 , 0(yf上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁yzxzxzy,的偏導數(shù)求例例3解解1yyxxzxxyzyln上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁的偏導數(shù)有簡單的幾何在點（二元函數(shù)),),(00yxyxfz 意義.000000),(

11、),(,MyxfzyxfyxM上的一點，過為曲面（設則導數(shù)程為截曲面得一曲線，其方作平面),(,00yxfzyy,),(00 xxyxfdxdxxTMMyxf0000),(的切線就是曲線在點即偏導數(shù) 000),(xxyxfxy是曲面被平面數(shù)軸的斜率；同樣，偏導對軸的斜率。對的切線所截成的曲線在點yTMMy00上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁)y,x(000 x0y如下圖所示如下圖所示上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁.)(0續(xù)可導，則它在該點必連在我們知道，一元函數(shù)xxfy ,),(),(00的兩個偏導數(shù)都存在即使在點但對于二元函數(shù)yxyxfz 不一定連續(xù)。在點（函數(shù)),),(0

12、0yxyxf例如例如010),(22xyxyyxyxf0)(lim)0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(200 xxxfxffxxx0)(lim)0 , 0()0 , 0(lim)0 , 0(200yyyfyffyxy上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁而當）的兩個偏導數(shù)都存在，在點（可見，函數(shù),00),(yxf時，有趨向于點沿直線（動點)0 , 0(0),yyxM0lim)0 ,(lim200 xxfxx時，有趨向于點沿直線（當動點)0 , 0(),xyyxM11lim),(lim00 xxxxf不連續(xù)。點的極限不存在，當然在在點（可見，)0 , 0()0 , 0),(yxf上上

13、 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁高階偏導數(shù)可定義為相應低一階偏導數(shù)的偏導數(shù).例如設內(nèi)具有偏導數(shù)：在區(qū)域函數(shù)Dyxfz),(),(yxfxzx),(yxfyzy一般來說,這兩個偏導數(shù)還是在對的函數(shù)，如果它們又存yx,我們的二階偏導數(shù)函數(shù)的偏導數(shù)，我們就定義或?qū)?),(yxfzyx可定義二元函數(shù)的二階偏導數(shù)如下),()(22yxfxzxzxxx上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁),()(2yxfxyzyzxyx),()(22yxfyzyzyyy.),(求偏導數(shù)先對自變量表示函數(shù)這里，xyxfzfxy數(shù)。通常稱為二階混合偏導和yxxyff),()(2yxfyxzxzyxy上上 頁頁首首 頁

14、頁下下 頁頁尾尾 頁頁例例 4 4解解的所有二階導數(shù)求xyyxz1arctan22)1 ()()()1 ()1(11xyyyxxyxyyxxz222222211)1)(1 (1)()1 (1xxyyyxxyy22)1 ()()()1 ()1(11xyxyxxyxyyxyz222222211)1)(1 (1)()1 (1yxyxyxxyx上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁)1 (2222xxxz)1 (2222yyyz02xyz02yxz二階以上的偏導數(shù)稱為高階偏導數(shù)上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁例例5的所有二階導數(shù)求)2sin(yxezx解解)2cos(2)2sin(yxeyx

15、exzxx)2cos(yxeyzx)2sin(4)2cos(2)2cos(2)2sin(22yxeyxeyxeyxexzxxxx)2sin(22yxeyzx)2sin(2)2cos(2yxeyxeyxzxx)2sin(2)2cos(2yxeyxexyzxx上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁上述例子中二階混合偏導數(shù)都是相等的,但對許多二元函數(shù)來說,它們的二階混合偏導數(shù)并不相等,也就是說兩者相等是要有條件的. 為此,給出下面的定理:定理定理6.1xyzyxzyxfz22,),(的兩個二階混合偏導數(shù)如果函數(shù)數(shù)必內(nèi)這兩個二階混合偏導內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域在區(qū)域D相等.例例6),2 , 0 , 1

16、(),1 , 0 , 0(,),(222xzxxffzxyzxyzyxf 求設) 1 , 0 , 2(),0 , 1, 0(zzxyzff 上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁解解 因為因為2222,2,2xyzfzxyfzxyfzyxzfxfzfyzxzxx2,2,2 0,2 zzxzzfyf所以所以2)2 , 0 , 1 (, 2) 1 , 0 , 0( ffxx0) 1 , 0 , 2(, 0)0 , 1, 0( zzxyzff 上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁 上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁的是變量函數(shù)，而是變量設函數(shù)yxvuvuvufz,),(yxyxyxfzy

17、xvyxu,),(),(),(),(是因而函數(shù)，的復合函數(shù)。定理定理6.5可微，都在點及如果函數(shù)),(),(),(yxyxvyxu可微，處函數(shù)的點在對應于函數(shù)),(),(),(),(vufzvuyxvufz可微在點則復合函數(shù)),(),(),(yxyxyxfz上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁xvvzxuuzxzyvvzyuuzyz證明證明, xx一個改變量，若給我們來證明第一個公式),(),(yxyxxu),(),(yxyxxvuv則相應有 及 的改變量（證明過程可作為了解部分）上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁可微，所以有由于),(vuf)()(22vuovvzuuzzxvuox

18、vvzxuuzxz)()(22關于自變量，所以存在，有因vuxvxvxuxuxvxuxx,lim,lim,00于是時，也有是連續(xù)的。因而，, 0, 00vuxxxvuvuvuoxvuoxx2222220220)()()()()()(lim)()(lim上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁xvuvuvuoxx22022220)()(lim)()()()(lim0所以有xvvzxuuzxz完全類似地可以證明第二個等式。下面再介紹一特殊情形。則有而若),(),(),(tvtuvufz上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁dtdvvzdtduuzdtdz另外，對于自變量或中間變量多于兩個的情形，

19、也有類似),(),(),(),(trswtrsvtrsuwvufz而結(jié)果。例如，設則則swwzsvvzsuuzszrwwzrvvzruuzrztwwztvvztuuztz上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁 （1） 搞清函數(shù)的復合關系；（2）對某個自變量求偏導數(shù)，應注意要經(jīng)過一切有關的中間變量而歸結(jié)到該自變量。例例1yzxzyxvyxuvuz,22求設解解xvuvxuxvvzxuuzxzx42122）（yvuvyuyvvzyuuzyzx42) 1(22）（注意：注意：上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁例例2tzszstystxyezx,2,sin2求設解解syetyesyyzsxxz

20、szxx2cos2sin1cos2sinyesyetyyztxxztzxx)cossin(2ysytex)cossin2(2yysex上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁數(shù)的所確定的一元函數(shù)隱函我們已經(jīng)學習了0),(yxF來導出由元復合函數(shù)的求導法則求導方法，下面根據(jù)多的偏導數(shù)公式。確定的二元函數(shù)),(0),(yxzzzyxF則有確定了設方程),(0),(yxzzzyxF0),(,(yxzyxF的偏導數(shù)，得兩邊同時求關于x001 xzFFFzyx上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁時，有所以，當0zFzxFFxz同理可證zyFFyz定理定理6.6（隱函數(shù)存在定理）（隱函數(shù)存在定理）滿足

21、下列條件設函數(shù)),(zyxF;,1000zyxFFFzyx具有連續(xù)偏導數(shù)）的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且）在點（唯則方程）（0),(, 0),(, 0),(2000000zyxFzyxFzyxFx具有連續(xù)的某鄰域的單值連續(xù)且一確定了一個定義在),(00yx),(),(000yxfzyxfz，它滿足條件偏導數(shù)的二元函數(shù)上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁并有zxFFxzzyFFyz注意注意),(0),(zxyyzyxF 還可以確定函數(shù)由方程可以自己給出。相應的偏導數(shù)公式讀者及),(zyxx 例例3的一階所確定的隱函數(shù)求由方程),(lnyxfzyzzxyzxz,偏導數(shù)解解yzzxzyxFln),(設上上

22、頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁yyzzyFzFyx1)(,12221zzxyzyzxFz)(zxzFFxzzx)(2zxyzFFyzzy例例4則設,4),(222zzyxzyxF22222, 04xzzzyx求設解解上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁42,2zFxFzx應用上面公式，得zxxz2求偏導數(shù)，得再一次對x2222)2()2()2()2()2()(zzxxzzxzxzxxzxz322)2()2(zxz上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁 1.空間曲線的切線與法平面的參數(shù)設空間曲線L方程為)()()(tztytxozyxMM 為零。

23、的導數(shù)存在，且不同時數(shù)對這里假定上式的三個函t000000),(ttzyxMttL它對應于參數(shù)的一點上取對應于在曲線上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁即即)()()(000000tztytx），的坐標為（上的點時，對應于曲線當zzyyxxMLttt0000,的方程為則割線MM0zzzyyyxxx000在的極限位置就是曲線時，割線趨近于沿曲線當MMMMLM00即令遍除割線方程的分母，的切線，因此，用點, 00ttM的切線方程得曲線在點0M)()()(000000tzztyytxx上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁就是）（向量。向量的切切線方向向量稱為曲線)(),(,000tttT處的

24、一個切向量。在點曲線ML000MLMM在點曲線處切線垂直的平面稱為而與點通過點為法向量的平面，）而以（點處的法平面，它是通過LzyxM0000,因此這法平面的方程為0)()()(000000zztyytxxt例例1方程處的切線方程和法平面在求曲線1,032ttztytx解解1, 1, 110000zyxt時，當3) 1 (, 2) 1 (, 1) 1 (zyx上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁于是，切線方程為312111zyx法平面方程為0) 1( 3) 1(2) 1(zyx2.曲面的切平面方程與法線方程是曲面給出，由方程設曲面),(0),(0000zyxMzyxF連續(xù)且不同時在點的偏導

25、數(shù)上的一點，并設函數(shù)0,),(MFFFzyxFzyx方程點的一條任意曲線，其為位于上述曲面上且過為零，設0ML為)()()(tzztyytxx上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁在曲面上，故由于曲線L0)(),(),(tztytxF),(),(),(,0000000tzztyytxxtM即的參數(shù)值為若相應于點處有求導數(shù)，則在點式對將0)5 . 7(Mt0)(),()(),()(),(000000000000tzzyxFtyzyxFtxzyxFzyx與曲上式表示),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx0000)(),(),(MtztytxT過點垂直，所以在曲面上通

26、線的切向量上。這個平面稱為的切線都在同一個平面的一些曲線在點0M切平面的方程是曲面在點的切平面。這0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁為曲面在該點而垂直于平面的直線稱通過點),(0000zyxM的法向量。向量切平面的向量稱為曲面的法線。垂直于曲面上),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx處的一個法向量。就是曲面在點0M例例2程的切平面方程與法線方在點求曲面)4 , 1 , 2(122yxz解解2) 1 , 2(, 4) 1 , 2(,2,2yxyxzzyzxz的切平面方程

27、為所以曲面在點)4 , 1 , 2(0)4() 1(2)2(4zyx或024zyx法線方程為142142zyx上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁1、二元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值問題，一般可以利用偏導數(shù)來解決。定理定理6.7(極值存在必要條件極值存在必要條件)在點設函數(shù)),(yxfz ）處有極值，則它在該具有偏導數(shù)，且在點（00000,),(yxyxP點的偏導數(shù)必然為零0),(00yxfx0),(00yxfy使, 0),(00yxfx0),(00yxfy的駐點。稱為函數(shù)同時成立的點),(),(00yxfyx上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁定理定理6.8（極值存在充分條件）（極值存在

28、充分條件）在點設函數(shù)),(yxfz 又階及二階連續(xù)偏導數(shù)，的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一),(000yxP0),(, 0),(0000yxfyxfyx令CyxfByxfAyxfyyxyxx ),(,),(,),(000000如下處是否取得極值的條件在則),(),(00yxyxf0),(0) 1 (02APyxfACB處取得極值，且當在點時，函數(shù)時有極小值；時有極大值，當0A處沒有極值；在點時，函數(shù)02),(0)2(PyxfACB論。沒有極值，還需另作討時可能有極值，也可能0) 3(2 ACB上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁的極值的求法總結(jié)如下第一步求出所有的駐點解方程組,0),(0),(yxfyxfyx第二步求出二階偏導數(shù)的值對于每一個駐點),(00yxCyxfByxfAyxfyyxyxx ),(,),(,),(000000第三步),(2002yxfACB的結(jié)論判定的符號，按定理定出還是極小值是否有極值、是極大值6.2,( , )zf x y利用定理我們把具有二階連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)上上 頁頁首首 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁 例例3的極值求函數(shù)61065),(22yxyxyxf解解（1）求駐點1010),(, 62),(yyxfxyxfyx由于解方程組01010062yx），即得駐點（13 （2）判斷駐點是否極值點， 若是，說明取得極值情況又由于0) 1, 3(,