著名院校結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)課件

1、TONGJI University結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)第十章第十章 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)10.1 10.1 概述概述10.2 10.2 體系振動(dòng)的自由度體系振動(dòng)的自由度10.3 10.3 單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立10.4 10.4 單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體系的自由振動(dòng)10.5 10.5 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)10.6 10.6 多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)10.7 10.7 主振型的正交性主振型的正交性10.8 10.8 多自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)多自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)10.1 10.1

2、概述概述動(dòng)荷載及其分類(lèi)動(dòng)荷載及其分類(lèi)一一. .動(dòng)荷載的定義動(dòng)荷載的定義 自重、緩慢變化的荷載，其慣性力與外荷比很小，分析時(shí)仍視作自重、緩慢變化的荷載，其慣性力與外荷比很小，分析時(shí)仍視作靜荷載。靜荷載。 靜荷只與作用位置有關(guān)，而靜荷只與作用位置有關(guān)，而動(dòng)荷是坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。動(dòng)荷是坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。二二. .動(dòng)荷載的分類(lèi)動(dòng)荷載的分類(lèi)概述概述概述概述概述概述概率與統(tǒng)計(jì)概述概述結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)概述概述結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容和任務(wù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容和任務(wù)結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）（系統(tǒng)）結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）（系統(tǒng)）輸入輸入（動(dòng)力荷載）（動(dòng)力荷載）結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）（系統(tǒng)）輸出輸出（動(dòng)力反應(yīng)）（動(dòng)力反應(yīng)）概述概

3、述結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）（系統(tǒng)）結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）（系統(tǒng)）輸入輸入（動(dòng)力荷載）（動(dòng)力荷載）結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）（系統(tǒng)）輸出輸出（動(dòng)力反應(yīng)）（動(dòng)力反應(yīng)）輸入輸入（動(dòng)力荷載）（動(dòng)力荷載）結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）（系統(tǒng)）輸出輸出（動(dòng)力反應(yīng)）（動(dòng)力反應(yīng)）控制系統(tǒng)控制系統(tǒng)（裝置、能量）（裝置、能量）結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)10.2 10.2 體系振動(dòng)的自由度體系振動(dòng)的自由度概述概述概述概述概述概述概述概述42概述概述m)(xy1)()(iiixaxyniiixaxy1)()(ia0)()0(lii)(xi廣義坐標(biāo)個(gè)數(shù)即廣義坐標(biāo)個(gè)數(shù)即為自由度個(gè)數(shù)為自由度個(gè)數(shù) xn 基函數(shù)三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)概述概述概述概述m結(jié)點(diǎn)位移個(gè)數(shù)即結(jié)點(diǎn)位移

4、個(gè)數(shù)即為自由度個(gè)數(shù)為自由度個(gè)數(shù)注注意意區(qū)區(qū)分分體系振動(dòng)自由度6不計(jì)桿軸向變形時(shí)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)10.3 10.3 單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立F + N + Q = 0 剛度法 力系平衡角度柔度法 位移協(xié)調(diào)角度虛功法 適宜于剛體系單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立10-3-1 10-3-1 剛度法剛度法由隔離體動(dòng)力平衡條件由隔離體動(dòng)力平衡條件 建立質(zhì)體運(yùn)動(dòng)方程建立質(zhì)體運(yùn)動(dòng)方程（1）動(dòng)力荷載FP(t)（2）彈性恢復(fù)力FS=-ky （3）阻尼力 (等效粘滯阻尼)（4）慣性力 (達(dá)朗伯原理)動(dòng)力平衡方程為FI+FD+FS+FP(t)=0運(yùn)動(dòng)方程 二階常系

5、數(shù)線(xiàn)性微分方程。單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立運(yùn)動(dòng)一般方程應(yīng)用注意點(diǎn)（運(yùn)動(dòng)一般方程應(yīng)用注意點(diǎn)（1 1）一般方程 注意點(diǎn)（1） 所有力均是作用在質(zhì)量上，且沿質(zhì)量運(yùn)動(dòng)自由度的方向動(dòng)力荷載未作用在質(zhì)量上時(shí)怎么辦？化為等效動(dòng)荷載 或用柔度法單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立結(jié)論 圖（c）質(zhì)量位移與圖（a）相同，桿件變形及內(nèi)力與圖（a）不同單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立運(yùn)動(dòng)一般方程應(yīng)用注意點(diǎn)（運(yùn)動(dòng)一般方程應(yīng)用注意點(diǎn)（2 2）一般方程 注意點(diǎn)（2）質(zhì)量的位移y是指由靜平衡位置起算的動(dòng)位移。常量力僅使體系產(chǎn)生靜位移和靜內(nèi)力，對(duì)體系的動(dòng)位移和動(dòng)內(nèi)力

6、無(wú)影響。單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立10-3-2 10-3-2 柔度法柔度法按照位移協(xié)調(diào)原理導(dǎo)出體系的運(yùn)動(dòng)方程按照位移協(xié)調(diào)原理導(dǎo)出體系的運(yùn)動(dòng)方程y(t)=FI+FD+FP(t)代入上式注意： 動(dòng)荷載不作用在質(zhì)體上時(shí) 相應(yīng)的柔度系數(shù)應(yīng)該為1212單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立B截面的轉(zhuǎn)角是由動(dòng)力荷載FP(t)和慣性力矩MI共同引起的。注意到FP(t)并非沿轉(zhuǎn)角方向作用于質(zhì)量上，可將表示為運(yùn)動(dòng)方程與剛度法結(jié)果相同單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立單自由度體系

7、運(yùn)動(dòng)方程的建立10-3-3 10-3-3 虛功法虛功法由動(dòng)平衡位置的虛功方程得運(yùn)動(dòng)方程由動(dòng)平衡位置的虛功方程得運(yùn)動(dòng)方程適宜用于剛體系 構(gòu)件剛體唯一 變形虛功為零例10-3 試用虛功法建立圖10-18a所示體系的運(yùn)動(dòng)方程。設(shè)橫桿為無(wú)限剛性且質(zhì)量可忽略，橫桿上有兩處各為m的集中質(zhì)量。B支座為彈性支承，其剛度系數(shù)為k；橫桿F端裝有阻尼器，阻尼系數(shù)為c。單自由度體系虛功方程運(yùn)動(dòng)方程嘗試用剛度法寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)方程？結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)10.4 10.4 單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體系運(yùn)動(dòng)一般方程自由振動(dòng)FP(t)=00振動(dòng)起因質(zhì)體初位移y0或初速度v0單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體

8、系的自由振動(dòng)重要性反映體系動(dòng)力特性影響強(qiáng)迫振動(dòng)的動(dòng)力響應(yīng)類(lèi)型無(wú)阻尼自由振動(dòng) 有阻尼自由振動(dòng)單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體系的自由振動(dòng)10-4-1 10-4-1 無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)FP(t)=0=0運(yùn)動(dòng)方程令常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程y(t)=C1cost+C2sint 方程通解初始條件v(t)= y(t)=-C1sint+C2cost速度位移響應(yīng)動(dòng)位移構(gòu)成由變化頻率相同的兩部分組成：y0引起的，并以y0為幅值按余弦規(guī)律的振動(dòng)v0引起，并以 為幅值按正弦規(guī)律的振動(dòng)相位差為2 單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體系的自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)的y-ty-t曲線(xiàn)曲線(xiàn)動(dòng)位移表達(dá)式或表達(dá)

9、為振幅初始相位角角速度為單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體系的自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的計(jì)算公式無(wú)阻尼自由振動(dòng)的計(jì)算公式動(dòng)位移自振周期2T 單位 s振動(dòng)頻率（工程頻率）1fT單位 s-1Hz自振頻率（圓頻率）W =mgst =W結(jié)論（1） 自振頻率為體系固有屬性 與激振因素?zé)o關(guān) 稱(chēng)固有頻率（2）剛度k愈大或質(zhì)量m愈小 自振頻率愈高 剛度k愈小或質(zhì)量m愈大 自振頻率愈低單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體系的自由振動(dòng)體系特點(diǎn)單自由度 彈簧串聯(lián) （受力相同，變形相加）串聯(lián)彈簧剛度柔度1231111.k kkk1231k111.kkk123. 單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體系的自由振

10、動(dòng)單自由度體系的自由振動(dòng)體系特點(diǎn)單自由度 彈簧并聯(lián)（變形相同，受力相加）并聯(lián)彈簧剛度柔度123k kkk. 1231111.1231111.單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體系的自由振動(dòng)體系特點(diǎn)?單自由度 超靜定采用方法?剛度法 k比易求得如何求k?結(jié)合應(yīng)用彎矩分配法單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體系的自由振動(dòng)10-4-2 10-4-2 有阻尼自由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng)基本特點(diǎn)能量耗散 振幅漸小直至零運(yùn)動(dòng)方程常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程特征方程特征根動(dòng)位移解1 即低阻尼的情況ksi)sincos(y(t)d2d1tCtCet 2d1 有阻尼自由振動(dòng)的圓頻率引入初始條件或單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體系的自由

11、振動(dòng)或主要特點(diǎn)（1）y含簡(jiǎn)諧振動(dòng)因子 d Td為常數(shù) 振幅 隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律減小tae衰減振動(dòng)（2） 一般結(jié)構(gòu) 0.010.12d1dTT d， （3）dd)(1TTttkkeeeyykk對(duì)數(shù)遞減率在經(jīng)過(guò)n次波動(dòng)后有實(shí)驗(yàn)應(yīng)用！單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體系的自由振動(dòng)常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程特征根運(yùn)動(dòng)方程 1即臨界阻尼的情況21臨界阻尼系數(shù) （=1）mkmc22cr阻尼比crcc單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體系的自由振動(dòng)常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程特征根運(yùn)動(dòng)方程過(guò)阻尼特征方程的根是兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)不含有簡(jiǎn)諧振動(dòng)的因子 不發(fā)生振動(dòng)單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體系的自由振動(dòng)解：結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)10.5 10.

12、5 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)目的研究強(qiáng)迫振動(dòng)的規(guī)律強(qiáng)迫振動(dòng)方程特點(diǎn)非齊次線(xiàn)性微分方程通解齊次方程的通解+非齊次方程的特解（即自由振動(dòng)解）強(qiáng)迫振動(dòng)分類(lèi)無(wú)阻尼或有阻尼或單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)10-5-1 10-5-1 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)1. 簡(jiǎn)諧荷載設(shè)特解為通解C1和C2可由初始條件確定全解簡(jiǎn)諧荷載作用下的動(dòng)力系數(shù)簡(jiǎn)諧荷載作用下的動(dòng)力系數(shù) 運(yùn)動(dòng)方程穩(wěn)態(tài)解 yst動(dòng)力荷載幅值F作為靜力荷載作用于體系時(shí)所引起的靜位移動(dòng)力系數(shù)取決于 的值取絕對(duì)值單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載作用下無(wú)阻尼穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的特點(diǎn)簡(jiǎn)諧荷載作用下無(wú)阻尼

13、穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的特點(diǎn)（1）振動(dòng)頻率同荷載頻率速度、加速度及內(nèi)力同時(shí)達(dá)到幅值當(dāng)0 y與干擾力同向當(dāng) 1處于共振后區(qū)設(shè)取128b工字梁 I=7480cm44570cm4W=534cm3381cm3則導(dǎo)致梁的最大應(yīng)力和撓度都遠(yuǎn)超過(guò)允許值動(dòng)力系數(shù)過(guò)大也容易引發(fā)鋼梁的疲勞破壞2、 由零加大經(jīng)=時(shí)是否會(huì)引起梁的破壞？ 一般不會(huì)！只要加速較快共振現(xiàn)象的形成有一個(gè)能量積聚過(guò)程單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)特點(diǎn) 動(dòng)荷載未作用于質(zhì)體上對(duì)策 需另建立運(yùn)動(dòng)方程 （不能套用一般方程）方法 采用柔度法（1）求質(zhì)體的動(dòng)位移幅值運(yùn)動(dòng)方程只需將 視作動(dòng)力荷載當(dāng) 時(shí)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)（2）求A支

14、座處截面動(dòng)轉(zhuǎn)角幅值按疊加原理表示為總結(jié)：?jiǎn)巫杂啥润w系強(qiáng)迫振動(dòng)當(dāng)動(dòng)力荷載不作用在質(zhì)量上時(shí) 不能采用統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)對(duì)于一般的周期荷載FP(t) ，總可以按傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)一般動(dòng)力荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)基本思路視為一系列瞬時(shí)沖量連續(xù)作用下相應(yīng)的總和杜哈梅(Duhamel)積分全解單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)(1)突加荷載應(yīng)用杜哈梅積分 )cos1 ()cos1 (d)(sin1)(st2P00P0tytmFtFmtyt 式中以其靜平衡位置為中心做簡(jiǎn)諧振動(dòng)后果：繩子斷了！單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度

15、體系的強(qiáng)迫振動(dòng)(2)突加短時(shí)荷載第一階段(0tt1)：與突加荷載相同 第二階段(tt1)：質(zhì)量是以t=t1時(shí)刻的位移和速度為初位移和初速度作自由振動(dòng)或按照疊加原理：看作是突加荷載FP0 和t=t1時(shí)刻開(kāi)始作用的反向突加荷載-FP0當(dāng) 時(shí)ymax在第一階段當(dāng) 時(shí)ymax在第二階段單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)(3)三角形沖擊荷載應(yīng)用杜哈梅積分作用時(shí)間較短，荷載值較大或單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)位移響應(yīng)譜速度響應(yīng)譜和加速度響應(yīng)譜單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)支承動(dòng)力作用下的位移響應(yīng)地震作用起伏道路對(duì)車(chē)輛作用設(shè)備基礎(chǔ)受振動(dòng)特點(diǎn):質(zhì)量m的 總位移為 yg(

16、t)+y(t)。 絕對(duì)位移支承位移相對(duì)位移慣性力彈性恢復(fù)力和阻尼力仍是由其相對(duì)位移和相對(duì)速度決定的運(yùn)動(dòng)方程：支承運(yùn)動(dòng)對(duì)于體系的動(dòng)力作用就相當(dāng)于在質(zhì)量上施加一動(dòng)力荷載 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)解：運(yùn)動(dòng)方程：穩(wěn)態(tài)振動(dòng)總位移體系自振頻率質(zhì)體位移動(dòng)力系數(shù)梁自由端的振幅單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)柔的絕對(duì)值將遠(yuǎn)小于1 質(zhì)量的振幅遠(yuǎn)小于支座運(yùn)動(dòng)的振幅應(yīng)用隔振措施汽車(chē)彈簧/地鐵彈簧工作臺(tái)底腳彈簧結(jié)構(gòu)的內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)特點(diǎn)與不相同取決于相對(duì)位移質(zhì)量m的相對(duì)位移與支座位移的方向相反，其幅值放大為支座位移幅值的1.39倍單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)10-5-2

17、有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程或通解是由相應(yīng)齊次方程的通解與非齊次方程的特解之和構(gòu)成特解則仍可表示為杜哈梅積分的形式設(shè)僅由初速度v0所引起的有阻尼振動(dòng)可表示為在 時(shí)刻的瞬時(shí)沖量 所引起的微分位移響應(yīng)為單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)初位移y0和初速度v0總位移響應(yīng)為齊次解（自由振動(dòng)）特解阻尼存在上式中由初始條件所引起的自由振動(dòng)部分將隨時(shí)間很快地衰減乃至消失一般沖擊荷載因作用時(shí)間短，所以結(jié)構(gòu)在很短的時(shí)間內(nèi)即達(dá)到最大響應(yīng)。此時(shí)阻尼引起的能量耗散作用不明顯，所以在計(jì)算最大響應(yīng)值時(shí)可以忽略阻尼的影響。單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)突加荷載作用下有阻尼位移響應(yīng)t(t)P0d0d1y(t

18、)F esin(t)dm杜哈梅積分位移響應(yīng))sin(cos1 )sin(cos1 )(dddstddd20PtteyttemFtytt質(zhì)量m的動(dòng)位移是由荷載引起的靜位移和以靜平衡位置為中心的含有簡(jiǎn)諧因子的衰減振動(dòng)兩部分組成dt當(dāng)動(dòng)位移達(dá)到最大值)1 (dstmaxeyy動(dòng)力系數(shù)d1stmaxeyy0.010.1建筑物de1單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載作用下有阻尼位移響應(yīng)運(yùn)動(dòng)方程特解為 )cossin()sincos()(21d2d1tAtAtCtCetyttAtAtycossin)(21一般解22222222222222214)(24)(mFAmFAC1和C2可由初始條

19、件確定因阻尼作用而衰減穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng))sin()(tAty其中st2222222122F1Aym(1)42tan ()1動(dòng)力系數(shù)2222224)1 (1結(jié)論： 動(dòng)力系數(shù) 不僅與頻率比 / 有關(guān)，而且還與阻尼比 有關(guān)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載作用下有阻尼穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的主要特點(diǎn)動(dòng)力系數(shù)2222224)1 (1 (1) 隨阻尼比 的增大而迅速減小 值趨近1時(shí)， 峰值因阻 尼作用的下降最為顯著1（2） 時(shí) 122max121(3) 有阻尼時(shí)質(zhì)量的動(dòng)位移比動(dòng)力荷載滯后一個(gè)相位角單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載作用下有阻尼穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相位角穩(wěn)態(tài)響應(yīng))sin()(t

20、Aty1222tan ()10當(dāng)（）0 y(t)和Fp(t)趨于同向體系因振動(dòng)速度慢，慣性力和阻尼力均不明顯動(dòng)力荷載主要由恢復(fù)力平衡，與靜力作用時(shí)的情況相似 當(dāng)（） y(t)和Fp(t)趨于反向由式(10-45)可知 0體系的動(dòng)位移趨向于零動(dòng)力荷載主要由慣性力平衡，體系的動(dòng)內(nèi)力趨向于零1當(dāng)即（）2動(dòng)位移tytytytycoscos)2sin()(ststst慣性力與恢復(fù)力平衡動(dòng)力荷載與阻尼力平衡結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)10.6 10.6 多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)因結(jié)構(gòu)特征必須簡(jiǎn)化為多自由度體系多層房屋不等高排架為滿(mǎn)足計(jì)算精度要求需簡(jiǎn)化為多自由度體系煙囪高聳構(gòu)筑物建立運(yùn)動(dòng)方程的基

21、本方法柔度法按照位移協(xié)調(diào)原理剛度法按照質(zhì)體平衡條件多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)10-6-1 10-6-1 柔度法柔度法基本思路質(zhì)體動(dòng)位移由兩慣性力引起 ij為體系的柔度系數(shù)設(shè)特解兩質(zhì)量的位移雖隨時(shí)間變化，但二者之間的比值即位移模態(tài)保持不變振型特解代入運(yùn)動(dòng)方程0)1(0)1(222221121221212111AmAmAmAm關(guān)于振幅A1和 A2的齊次線(xiàn)性代數(shù)方程組振型方程或特征向量方程多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)非零解條件0)1()1(22221212122111mmmmD頻率方程或特征方程210)()(2121222112221112mmmm111221小基頻

22、大第二頻率其對(duì)應(yīng)的振型稱(chēng)為第一振型或基本振型多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)柔度法多自由度體系振型分析柔度法多自由度體系振型分析振型方程0)1(0)1(222221121221212111AmAmAmAm自振頻率111221小大振型分析方法將1、 2帶入振型方程特點(diǎn)方程組線(xiàn)性相關(guān)只能求得振幅比值21AA第一振型121211112121112111211mmmmAA多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)質(zhì)量m1、m2的振動(dòng)方程分別為一個(gè)特解第二振型221211122121112212221mmmmAA質(zhì)量m1、m2的振動(dòng)方程分別為)sin()()sin()(2222222121

23、tAtytAty另一個(gè)特解多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)振動(dòng)方程方程通解特解的線(xiàn)性組合未知常數(shù)A11、A12（或A21、A22）和 1、 2 的確定兩質(zhì)量的初位移和初速度共四個(gè)初始條件確定振動(dòng)特性(1) 自振頻率=自由度數(shù)(2)自振頻率 振型體系固有的動(dòng)力特性，與外界因素?zé)o關(guān)(3)振動(dòng)是兩種頻率下簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加 其和非簡(jiǎn)諧振動(dòng)（一般情況）只有在質(zhì)量的初位移和初速度與某個(gè)主振型相一致的前提下，體系才會(huì)按該主振型作簡(jiǎn)諧振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)例例10-11 10-11 圖10-40a所示體系有集中質(zhì)量m1m、m22m，試求其自振頻率和振型。解解 體系具有兩個(gè)振

24、動(dòng)自由度柔度系數(shù)EIl8311EIl48322EIl3232112代入式（10-48），得振型方程為0)1248(320232)18(2231323123AmEIlmAEIlmAEIlAmEIl乘3192mlEI令23192mlEI0)8(6012)24(2121AAAA可得頻率方程0861224D多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)展開(kāi)，得0120322662.271338. 42自振頻率3131635. 2192mlEImlEI3232653. 6192mlEImlEI求振型1305. 0122411121AA1639. 1122421222AA多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的

25、自由振動(dòng)例10-12 試求圖10-42a所示集中質(zhì)量對(duì)稱(chēng)布置的對(duì)稱(chēng)剛架的自振頻率和振型。解解 該體系是超靜定的，兩個(gè)集中質(zhì)量可分別沿垂直于桿件方向運(yùn)動(dòng)。柔度系數(shù)EIIl1536932112振型方程0)23(909)23(2121AAAA其中231536mlEI頻率方程0239923D321142多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)自振頻率3131928. 61536mlEImlEI3232474.101536mlEImlEI代入振型方程0)23(909)23(2121AAAA求振型192311121AA192321222AA結(jié)論（1） 結(jié)構(gòu) 質(zhì)量對(duì)稱(chēng)振型必對(duì)稱(chēng)

26、或反對(duì)稱(chēng)（2） 可取半邊結(jié)構(gòu)計(jì)算振動(dòng)頻率WHY？較低頻率下的振型對(duì)應(yīng)體系的應(yīng)變能相對(duì)較小多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)例例. .求圖示體系的頻率、振型求圖示體系的頻率、振型解解: :EIl31134令令21111m02/18/34/31032/9)2/1)(1 (1637. 0336. 1213231140. 2;749. 0mlEImlEImlEImEIl1y2y12Xm222Xm1X2X11211122211221212112XXmXm2222212212XXmXm02)1 (211121XX0)2(2112211121XXllEIl3211221EIl32231例例. .求

27、圖示體系的頻率、振型求圖示體系的頻率、振型解解: :令令21111m1221212112XXmXm2222212212XXmXm02)1 (211121XX02/18/34/31032/9)2/1)(1 (1637. 0336. 1213231140. 2;749. 0mlEImlEImlEImEIl1y2y12Xm222Xm1X2X1121112221ll23. 214/312111XX897. 014/322212XX 1897. 0;123. 221XXmlEImEIl1y2y12Xm222Xm1X2X1121112221ll例例. .求圖示體系的頻率、振型求圖示體系的頻率、振型解解:

28、:令令21111m1221212112XXmXm2222212212XXmXm02)1 (211121XX23. 214/312111XX897. 014/322212XX 1897. 0;123. 221XX123. 2 1X1897. 0 2X多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)一般多自由度體系一般多自由度體系( (柔度法柔度法) )基本原理與解決兩個(gè)自由度體系自由振動(dòng)問(wèn)題相同運(yùn)動(dòng)方程 ij為柔度系數(shù)多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)矩陣形式表達(dá)或 和MM分別為體系的柔度矩陣和質(zhì)量矩陣設(shè)方程（10-53）特解形式為多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)振型方程或?qū)憺?/p>

29、一組齊次線(xiàn)性代數(shù)方程，其取得非零解的必要和充分條件是系數(shù)行列式等于零 頻率方程（特征方程）或?qū)憺殛P(guān)于1/2 的n次代數(shù)方程。由此可解得n個(gè)正實(shí)根，并進(jìn)而求得n個(gè)自振頻率多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)全部自振頻率 1， 2 ， n 應(yīng)按照由小到大的順序排列，稱(chēng)為頻率譜或頻率向量。其中最小的頻率 稱(chēng)為第一頻率或基本頻率。振型方程特點(diǎn)：線(xiàn)性相關(guān)僅n-1個(gè)獨(dú)立方程得各質(zhì)量動(dòng)位移（振幅）之間的一組比值 主振型向量（振型向量）令A(yù)1i=1標(biāo)準(zhǔn)化主振型另一種標(biāo)準(zhǔn)化的做法是規(guī)定主振型滿(mǎn)足條件多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)方程特解方程通解n個(gè)特解的線(xiàn)性組合一般不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)多自由度體

30、系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)例10-13 圖10-46a所示簡(jiǎn)支梁的等分點(diǎn)上有三個(gè)相同的集中質(zhì)量m，試求體系的自振頻率和振型。解解 該體系有三個(gè)振動(dòng)自由度。柔度矩陣質(zhì)量矩陣振型方程其中頻率方程自振頻率多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)例10-13 圖10-46a所示簡(jiǎn)支梁的等分點(diǎn)上有三個(gè)相同的集中質(zhì)量m，試求體系的自振頻率和振型。振型方程其中同理振型圖對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)反對(duì)稱(chēng)對(duì)于較低頻率所對(duì)應(yīng)的振動(dòng)模態(tài)，體系的應(yīng)變能相對(duì)較小多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)【例】試求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率及主振型。各桿EI為常數(shù)，彈性支座的剛度系數(shù) 。3329lEIk 解 (1)計(jì)算柔度系數(shù) ij

31、應(yīng)考慮彈性支座變形對(duì)位移的影響。 EIEIlEI419324343) 332()4321(323) 332() 3321(1311AkCDEI4m2m3m2y1y13m3m3mABBCD3/412m3/2ABCDAkCDEI4m2m3m2y1y13m3m3mABBCD3/412m3/2ABCD圖1M多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)AkCDEI4m2m3m2y1y13m3m3mABBCD3/412m3/2ABCD2M圖AkCDEI4m2m3m2y1y13m3m3mABBCD3/412m3/2ABCD圖1MEIEIlEI169322323)232()4221()232()2221(13

32、22EIEIlEI189322343123)232()4321(132112(1)計(jì)算柔度系數(shù)ij多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)(2)求自振頻率i將m1=m2=m及已求得的 ij代入EIm415.501EIm585. 62mEI1408. 0111mEI3897. 0122(3)求主振型i52. 0121111YY92. 1122122YY多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)(4)作振型曲線(xiàn) 11Y=1=1Y12=-1.92YY=0.522122ABCDCBDA第一主振型 第二主振型52. 0121111YY92. 1122122YY多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自

33、由振動(dòng)【例12-24】試求圖示等截面梁的自振頻率和主振型。質(zhì)量m1=m2=m1000kg。E200GPa，I2104cm4，l=4m。 ABCABC1112l/4/4l 圖1基MABCABC1112l/4/4l 圖2基MCBACBAABCy1y21m2m12l/2/2l/2l/2lEI=C111/32l 313l/643l/32/64l132 圖1MCBACBAABCy1y21m2m12l/2/2l/2l/2lEI=C111/32l 313l/643l/32/64l132 圖2M解:(1)求柔度系數(shù)ijEIxEIMM2423d1111基多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)EIxEIMM

34、2423d2222基EIxEIMMxEIMM83dd21122112基基(2)求自振頻率i4)()(21212112221122221112221112, 1mmmmmm1112222m143mEI2712mEI1322111s86.261309. 11s20.173866. 01mlEImEI多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)(3)求主振型i11111121221111mmYY第一主振型11211121222122mmYY第二主振型(4)作振型曲線(xiàn) 11Y =121YY22=1Y12=-1=1121211mmABCCBABABA第一主振型（反對(duì)稱(chēng)）第二主振型（對(duì)稱(chēng)） 多自由度體系的

35、自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)如果結(jié)構(gòu)和質(zhì)量布置都是對(duì)稱(chēng)的，體系的振型必定是對(duì)稱(chēng)或反對(duì)稱(chēng)的 ,可以利用對(duì)稱(chēng)性，取半邊結(jié)構(gòu)計(jì)算體系的第一頻率,第二頻率 。這樣，就將兩個(gè)自由度體系的計(jì)算問(wèn)題，簡(jiǎn)化為按兩個(gè)單自由度體系分別進(jìn)行計(jì)算。 11Y =121YY22=1Y12=-1=1121211mmABCCBABABA反對(duì)稱(chēng)半邊結(jié)構(gòu) 對(duì)稱(chēng)半邊結(jié)構(gòu)第一主振型（反對(duì)稱(chēng) ) 第二主振型（對(duì)稱(chēng)） 多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)【例】試計(jì)算圖示剛架的自振頻率和主振型。/2/2l=1EIEIEIBACDmml=lllm解：取集中質(zhì)量m處豎向位移y和剛性桿CD繞C點(diǎn)的轉(zhuǎn)角q 作為獨(dú)立的幾何位移 。由于本題

36、是由線(xiàn)位移和角位移耦合組成的振動(dòng)，因此，不能簡(jiǎn)單地利用前面按柔度法推出的公式計(jì)算自振頻率和主振型，而應(yīng)從考慮結(jié)構(gòu)整體平衡，建立運(yùn)動(dòng)方程入手。BCDAACDBACBDDCABm-myml-1l4/73/72/73 /56/568ll 9 /56m=m/lm1y多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)某一瞬時(shí)t，剛架上作用的慣性力如圖所示。由分布質(zhì)量所產(chǎn)生的慣性力對(duì)C點(diǎn)的合力矩為 2331313221mllmlllmI(1)計(jì)算柔度系數(shù)ijBCDAACDBACBDDCABm-myml-1l4/73/72/73 /56/568ll 9 /56m=m/lm1y 圖 2M 圖 BCDAACDBACB

37、DDCABm-myml-1l4/73/72/73 /56/568ll 9 /56m=m/lm1y慣性力 1MEIl31100744. 0EIl2211201786. 0EIl14286. 022多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)建立運(yùn)動(dòng)方程:BCDAACDBACBDDCABm-myml-1l4/73/72/73 /56/568ll 9 /56m=m/lm1y慣性力 231mlI將 及各柔度系數(shù)ij代入式(a)，經(jīng)整理后，得 IymIymy22211211 (a)22221122113131 mlymmlymy與運(yùn)動(dòng)方程對(duì)比可知： 222221112122211111ymymyymym

38、y 322mlm m1=m， 多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)(3)求自振頻率iEIml3105011. 0EIml3200495. 0322311214.141,467. 41mlEImlEI(4)求主振型illY168. 71168. 721111llY418. 01418. 022122多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)(5)作振型曲線(xiàn) 11Y =1=21/l-7.168=1Y120.41822=/l 第一主振型 第二主振型 多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)【例】試求圖示剛架的自振頻率和主振型。已知各桿EI常數(shù)。33m3mmmy1y23yEI1113mA

39、BCDE3m=常數(shù)ADCB3366EBCACEBA1.5解：本剛架具有三個(gè)自由度 (1)求柔度系數(shù)33m3mmmy1y23yEI1113mABCDE3m=常數(shù)ADCB3366EBCACEBA1.5 圖1M33m3mmmy1y23yEI1113mABCDE3m=常數(shù)ADCB3366EBCACEBA1.5 圖2M33m3mmmy1y23yEI1113mABCDE3m=常數(shù)ADCB3366EBCACEBA1.5 圖3MEIxEIM144d2222EIxEIM5 . 4d2333EIxEIMM5 .85d212112EIxEIMM5 .13d322332EIxEIMM75. 6d311331EIxEI

40、M54d2111多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)(2)求自振頻率 體系的柔度矩陣和質(zhì)量矩陣為 5 . 45 .1375. 65 .131445 .8575. 65 .85541EImmmM000000頻率方程 05 . 45 .1375. 65 .131445 .8575. 65 .8554mmmmmmmmm并解得EIm796.1961EIm136. 42EIm567. 13故自振頻率為mEI0713. 0111mEI492. 0122mEI799. 0133多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)(3)求主振型并繪振型圖將li (i =1,2,3 )分別代入振型方程 0iiY

41、IM并令Y3i1，即可求得各階各振型為: 1) 第一主振型1944.10600. 6312111YYY2) 第二主振型1286. 0625. 0322212YYY3) 第三主振型1828. 0221. 1332313YYY多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)主振型圖 1ACBCABCBA6.600-0.6251.22110.9941-0.2861-0.828第一主振型 第二主振型 第三主振型1944.10600. 6312111YYY1286. 0625. 0322212YYY1828. 0221. 1332313YYY多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)【例】求圖示剛架的自振

42、頻率和振型。已知m1=m4=100kg，m2=m3=150kg，EI1=6MNm2，EI2=3EI1。32m2m1.5m1.5m1.5m1.5mm11y2my2m33y4myEI11EI2EIABCDEAy11mD2ym2C4yy5A1ym1D2my2Cy3五個(gè)自由度的體系 正對(duì)稱(chēng)自由振動(dòng)反對(duì)稱(chēng)自由振動(dòng) 多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)解：此剛架具有五個(gè)自由度。利用對(duì)稱(chēng)性，分解為有兩個(gè)自由度的正對(duì)稱(chēng)自由振動(dòng)和有三個(gè)自由度的反對(duì)稱(chēng)自由振動(dòng)分別進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果列于下面線(xiàn)框內(nèi)。 517. 1041. 0000. 1s2 .341111 TY 431. 0327. 0000. 1s3123

43、312 TY 513. 0727. 2000. 1s5385513 TY 789. 0000. 1s1822211TY 898. 1000. 1s3384412TY從小到大重新排列正對(duì)稱(chēng)自由振動(dòng)反對(duì)稱(chēng)自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)主 振 型 圖 1.0001.0001.5170.041-0.789第一主振型 第二主振型1.0001.0001.000-0.413-0.3271.898-0.5132.727第三主振型 第四主振型第五主振型多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)10-6-2 10-6-2 剛度法剛度法根據(jù)隔離體平衡條件導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)方程根據(jù)隔離體平衡條件導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)

44、方程FS1和FS2分別為體系作用于質(zhì)量m1和m2上的彈性力kij為體系的剛度系數(shù)根據(jù)達(dá)朗伯原理可列出動(dòng)力平衡方程(慣性力+彈性力）多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)假設(shè)運(yùn)動(dòng)方程的特解形式仍為振型方程頻率方程可求得體系的自振頻率 1和 2 。分別代入振型方程即可求得相應(yīng)的振型，其結(jié)果與采用柔度法時(shí)相同多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)例10-14 試用剛度法求圖10-49a所示剛架的自振頻率和振型。設(shè)橫梁為無(wú)限剛性，柱子的線(xiàn)剛度如圖，體系的質(zhì)量全部集中在橫梁上。解解 該體系兩橫梁處各有一個(gè)水平方向自由度，其位移分別記為y1和y2剛度系數(shù)振型方程頻率方程自振頻率多自由度體系的自

45、由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)振型方程多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)一般多自由度體系的剛度法一般多自由度體系的剛度法運(yùn)動(dòng)方程多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系剛度法自振頻率多自由度體系剛度法自振頻率運(yùn)動(dòng)方程（矩陣形式）或特解形式代入方程 消去振型方程或頻率方程自振頻率主振型多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系剛度陣多自由度體系剛度陣K K與柔度陣與柔度陣 的關(guān)系的關(guān)系將-1左乘比較K-關(guān)系特解形式(相同）振型方程頻率方程自振頻率(相同）由小到大排列多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)例 10-15 試用剛度法求圖10-52a 所示三

46、層剛架的自振頻率和振型。設(shè)橫梁為無(wú)限剛性，體系的質(zhì)量全部集中在各橫梁上，各層間側(cè)移剛度k1k2k3k。解：剛度矩陣質(zhì)量矩陣振型方程頻率方程多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)例 10-15 試用剛度法求圖10-52a 所示三層剛架的自振頻率和振型。設(shè)橫梁為無(wú)限剛性，體系的質(zhì)量全部集中在各橫梁上，各層間側(cè)移剛度k1k2k3k。多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)例 10-15 試用剛度法求圖10-52a 所示三層剛架的自振頻率和振型。設(shè)橫梁為無(wú)限剛性，體系的質(zhì)量全部集中在各橫梁上，各層間側(cè)移剛度k1k2k3k?！纠繄D示框架，其橫梁為無(wú)限剛性。設(shè)質(zhì)量集中在樓層上，試計(jì)算其自振頻率

47、和主振型。llEI0=EI0=EI0=EIEIEIEIEIy21ymmmk1121kk2212k=112=1解：本例兩層框架為兩個(gè)自由度體系，用剛度法計(jì)算較為方便。llEI0=EI0=EI0=EIEIEIEIEIy21ymmmk1121kk2212k=112=1(1)求剛度系數(shù)kij33311513412lEIlEIlEIk333122115312lEIlEIlEIkk3332215312lEIlEIlEIk(2)求自振頻率i將m1=2m和m2=m以及已求出的kij代入 mmkkkmkmkmkmk2221221212221122211221122, 1322, 184.1125.20mlEI所

48、以 32141. 8mlEI32209.32mlEI 由此得319 . 2mlEI3266. 5mlEI(3)求主振型（振型常數(shù)i）第一主振型28. 2118.3415241. 85115121111221111mkkYY第二主振型88. 0118.1315209.325115122111222122mkkYY(4)作振型曲線(xiàn)，如圖所示。=2.2821Y=1Y1122Y=-0.8812Y=1第一主振型 第二主振型 用柔度法可建立n個(gè)自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程如下11111221212112122222111222nnnnnnnnnnnnnym ym ym yym ym ym yym ym ym y

49、(1)寫(xiě)成矩陣形式 yMy 12Tnyyyy 位移向量 其中 12Tnyyyy 加速度向量 111212122212nnnnnn 柔度矩陣12nmmMm 質(zhì)量矩陣單位矩陣運(yùn)動(dòng)方程(1) yMy 12TnAAAA設(shè) ，其中 是振幅向量。 sinyAt 則 2sinyAt 代入(1)，消除 后，有sint 20AMA即 210MIA(2)振型方程因?yàn)?，所以 0A 210MI頻率方程（或特征方程） 頻率方程是關(guān)于 的n次代數(shù)方程，由此可求的n個(gè) 的正實(shí)根，即為結(jié)構(gòu)的n個(gè)自振頻率，通常由小到大排列，稱(chēng)為頻率譜。21將求得的 回代入(2)，由于系數(shù)行列式等于零，n個(gè)方程是相關(guān)的，只能由其中的n-1個(gè)方

50、程解得各自由度動(dòng)位移之間的比值。可見(jiàn)，體系按某一頻率振動(dòng)的形狀是不變的，稱(chēng)之為振型。21 振型向量 12iTiiniAAAA 振型向量標(biāo)準(zhǔn)化方法一：令某自由度位移為1，例 21iTiniA 振型向量標(biāo)準(zhǔn)化方法二：令 1i TiAMA上述自振頻率和振型的計(jì)算步驟和方法同樣適用于剛度法。 動(dòng)力平衡方程 0Myky 振型方程 20kMA 頻率方程 20kM多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)10-6-3 10-6-3 多自由度體系的彈性耦合和慣性耦合多自由度體系的彈性耦合和慣性耦合彈性耦合柔度矩陣 和剛度矩陣K其非對(duì)角元素不等于零或不全為零其非對(duì)角矩陣彈性耦合某自由度方向上的力會(huì)引起其它自由

51、度方向上的位移；或者某自由度方向上的位移會(huì)引起其它自由度方向上的彈性力對(duì)角矩陣不存在彈性耦合運(yùn)動(dòng)方程方程特點(diǎn)不相耦聯(lián)相當(dāng)于兩個(gè)獨(dú)立的自由度問(wèn)題多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的慣性耦合（多自由度體系的慣性耦合（1 1）在集中質(zhì)量的體系中，M 為對(duì)角矩陣，這表明某一自由度方向上的加速度僅引起該自由度本身方向上的慣性力慣性耦合某一自由度方向上的加速度會(huì)引起其它自由度方向的慣性力質(zhì)量矩陣M的副元素不全為零 非對(duì)角矩陣兩個(gè)自由度慣性力+慣性力矩假設(shè)上述微分方程的特解為多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)振型方程自振頻率有彈性耦合； 無(wú)慣性耦合多自由度體系的自由振動(dòng)多自由

52、度體系的自由振動(dòng)選擇 B點(diǎn)處的豎向位移yB和轉(zhuǎn)角 B作為位移坐標(biāo)VS不變的：慣性力改變的：柔度系數(shù)注意到：多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)有彈性耦合；有慣性耦合結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)10.7 10.7 主振型的正交性主振型的正交性相當(dāng)于兩個(gè)不同的動(dòng)力平衡狀態(tài)功的互等定理W1 =W2因i振型慣性力在j振型位移上做的功j振型慣性力在i振型位移上做的功矩陣形式或第一正交性 （以質(zhì)量為權(quán)）主振型的正交性主振型的正交性主振型關(guān)于剛度矩陣的正交性主振型關(guān)于剛度矩陣的正交性第一正交性振型方程頻率j將 左乘=0第二正交性 （以剛度為權(quán)）第一主振型正交性的物理意義某一主振型的慣性力不會(huì)在其它主振型上作

53、功第二主振型正交性的物理意義某一主振型的彈性力不會(huì)在其它主振型上作功質(zhì)體振動(dòng)的能量不會(huì)從一種振型轉(zhuǎn)到另一種振型主振型的正交性主振型的正交性例 10-16 試驗(yàn)算例10-15 所得主振型的正交性。驗(yàn)算第一正交性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)10.8 10.8 多自由度體系的受迫振動(dòng)多自由度體系的受迫振動(dòng)10-8-1 簡(jiǎn)諧荷載作用下的無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)柔度法受到若干個(gè)同步的簡(jiǎn)諧荷載F1 sint ，F(xiàn)k sin t的作用，其作用位置任意位移方程ij為體系的柔度系數(shù)； FIj為作用于各質(zhì)量上的慣性力iP表示簡(jiǎn)諧荷載的幅值在質(zhì)量mi 處引起的靜位移多自由度體系的受迫振動(dòng)多自由度體系的受迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程矩陣形式為簡(jiǎn)諧荷

54、載幅值引起的靜位移向量運(yùn)動(dòng)微分方程的通解：齊次方程的通解+非齊次方程的特解取特解的形式為:位移幅值方程多自由度體系的受迫振動(dòng)多自由度體系的受迫振動(dòng)式中 I 為單位矩陣；A 為振幅向量注意：動(dòng)荷載不一定作用在質(zhì)量上解此方程即可求得各質(zhì)體在純受迫振動(dòng)中的動(dòng)位移幅值慣性力幅值慣性力振動(dòng)特點(diǎn)（1）=i 系數(shù)行列式等于零 A 共振（2）質(zhì)量的動(dòng)位移和慣性力與干擾力同時(shí)達(dá)到幅值可同時(shí)作用于體系上，按照靜力方法計(jì)算體系的內(nèi)力幅值多自由度體系的受迫振動(dòng)多自由度體系的受迫振動(dòng)位移幅值方程或若以 2 2乘以上式各項(xiàng)并注意到慣性力幅值方程多自由度體系的受迫振動(dòng)多自由度體系的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載作用下的無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)剛度

55、法在質(zhì)量上作用有動(dòng)力荷載FP1(t)，F(xiàn)P2(t) ，F(xiàn)Pn(t)運(yùn)動(dòng)方程（質(zhì)體平衡方程）當(dāng)動(dòng)力荷載為同步簡(jiǎn)諧荷載時(shí)取特解的形式為:多自由度體系的受迫振動(dòng)多自由度體系的受迫振動(dòng)注意:當(dāng)有簡(jiǎn)諧集中荷載未作用于質(zhì)量上時(shí)，可假設(shè)該處的質(zhì)量為零后再套用上式；當(dāng)有簡(jiǎn)諧分布荷載作用時(shí)則需先化為作用于質(zhì)量處的等效動(dòng)力荷載，或者是采用柔度法求解。多自由度體系的受迫振動(dòng)多自由度體系的受迫振動(dòng)解 ：柔度系數(shù)易求，且動(dòng)力荷載未作用在質(zhì)量上慣性力幅值方程（10-68a）慣性力幅值動(dòng)位移幅值多自由度體系的受迫振動(dòng)多自由度體系的受迫振動(dòng)慣性力幅值動(dòng)位移幅值如何求動(dòng)內(nèi)力？利用動(dòng)內(nèi)力還是動(dòng)位移求?可以將慣性力和動(dòng)荷載幅值同時(shí)

56、作用多自由度體系的受迫振動(dòng)多自由度體系的受迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)： （1）超靜定剛度法（2） 豎向結(jié)構(gòu)剛度突變剛度系數(shù)振幅方程靜止5倍，動(dòng)彎矩/剪力很大結(jié)論（1）剛度突變 頂層動(dòng)力響應(yīng)突增應(yīng)避免應(yīng)避免（2）鞭梢效應(yīng)明顯應(yīng)采取措施應(yīng)采取措施（3）小塔樓對(duì)二層橫梁有消振作用可利用可利用多自由度體系的受迫振動(dòng)多自由度體系的受迫振動(dòng)例14-6 圖a為一等截面剛架，已知m1=1kN， m2=0.5kN，F(xiàn)=5kN，每分鐘振動(dòng)300次，l=4m， EI=5103kNm2。試作剛架的最大動(dòng)力彎矩圖。解：此對(duì)稱(chēng)剛架承受反對(duì)稱(chēng)荷載，可取圖b所示半剛架計(jì)算。三個(gè)自由度：m1的水平位移m2的水平位移m3的豎向位移多自由度體

57、系的受迫振動(dòng)多自由度體系的受迫振動(dòng)0I1Fm1的最大慣性力0I30I2FF 、m2沿水平、豎向最大慣性力則有010101P303I233302I3201I31P203I2302I222201I21P103I1302I1201I2111FmFFFFmFFFFm(1)多自由度體系的受迫振動(dòng)多自由度體系的受迫振動(dòng)求系數(shù)和自由項(xiàng)，作相應(yīng)彎矩圖如圖cf。由圖乘法得3P33P23P1323313312333322311m1,m32,m20m00. 1,m59. 0,m00.20m17. 0,m00.32,m33.13FEIFEIFEIEIEIEIEIEIEI多自由度體系的受迫振動(dòng)多自由度體系的受迫振動(dòng)集中

58、質(zhì)量的數(shù)值為/mskN051. 0,/mskN102. 02221mm振動(dòng)荷載的頻率為1 -s10s603002代入式(1)得016.9900. 150. 003200. 133.6700.2002050. 000.2034.3603I02I01I03I02I01I03I02I01IFFFFFFFFFFFF解得FFFFFF023. 0,764. 0,971. 003I02I01I由疊加法P303I202I101IMMFMFMFM最大動(dòng)力彎矩圖如圖g。多自由度體系的受迫振動(dòng)多自由度體系的受迫振動(dòng)多自由度體系的受迫振動(dòng)多自由度體系的受迫振動(dòng)10-8-2 振型分解法運(yùn)動(dòng)方程柔度法剛度法特點(diǎn)方程互相耦

59、聯(lián)原因 K （或M）非對(duì)角矩陣振型分解目的使微分方程解耦單自由度體系振型分解方法采用正則坐標(biāo)以主振型為基底主振型矩陣權(quán)系數(shù)理論依據(jù) 主振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性多自由度體系的受迫振動(dòng)多自由度體系的受迫振動(dòng)正則坐標(biāo)方程單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程剛度法建立有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程（幾何坐標(biāo)方程）C稱(chēng)為阻尼矩陣阻尼系數(shù)雷利阻尼得到以正則坐標(biāo) 表達(dá)的運(yùn)動(dòng)方程多自由度體系的受迫振動(dòng)多自由度體系的受迫振動(dòng)用 A(i)T 左乘上式得同理：運(yùn)動(dòng)方程多自由度體系的受迫振動(dòng)多自由度體系的受迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程 （正則坐標(biāo)）式中廣義剛度廣義動(dòng)力荷載。廣義粘滯阻尼系數(shù)廣義質(zhì)量這n 個(gè)方程之間是相互獨(dú)立、無(wú)耦聯(lián)關(guān)系的與單自由度方

60、程形式相同！多自由度體系的受迫振動(dòng)多自由度體系的受迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程 （正則坐標(biāo)）或?qū)憺槭街蟹匠烫亟猓ǚ€(wěn)態(tài)解）式中無(wú)阻尼時(shí)幾何坐標(biāo)解多自由度體系的受迫振動(dòng)多自由度體系的受迫振動(dòng)的確定考慮到實(shí)驗(yàn)定出1、2a,b 3、4)(21iiiba212211222122122121)(2)(2ba多自由度體系的受迫振動(dòng)多自由度體系的受迫振動(dòng)振型分解法求動(dòng)力響應(yīng)的步驟(1) 求出體系的各自振頻率和振型。當(dāng)有阻尼時(shí)先測(cè)得1和 2，再確定常數(shù)a、b，再確定其它各振型的阻尼比(2） 計(jì)算各廣義質(zhì)量和廣義荷載(3）求解以各正則坐標(biāo)表達(dá)的振動(dòng)微分方程 得（t）(4）計(jì)算幾何坐標(biāo) y=A注意：由于這一方法是基于疊加原理的，