現(xiàn)控答案及試卷習(xí)題課三

1、現(xiàn)代理論習(xí)題課三閆茂德長安大學(xué)電子與自動化系第三章線性系統(tǒng)的能控性和能觀性§3-1 能控性的定義主要知識點(diǎn):1、線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能控性定義2、離散系統(tǒng)的能控性定義§3-2線性定常系統(tǒng)的能控性判別主要知識點(diǎn):1、具有約旦系統(tǒng)的能控性判別；2、直接從A與B判別系統(tǒng)的能控性；§3-3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性主要知識點(diǎn):1、系統(tǒng)的能觀性定義;2、具有約旦系統(tǒng)的能觀性判別;3、直接從A與C判別系統(tǒng)的能觀性；§3-4離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性與能觀性主要知識點(diǎn):1、離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性判別矩陣2、離散時(shí)間系統(tǒng)的能觀性判別矩陣§3-6 能控性與能觀性的對偶關(guān)系

2、主要知識點(diǎn):1、線性系統(tǒng)的對偶關(guān)系;2、線性系統(tǒng)的對偶原理。§3-7狀態(tài)空間表達(dá)式的能控和能觀主要知識點(diǎn):1、能控2、能觀定義；定義；3、普通狀態(tài)空間表達(dá)式化為能控4、普通狀態(tài)空間表達(dá)式化為能觀；§3-8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解主要知識點(diǎn):1、按能控性對系統(tǒng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解；2、按能觀性對系統(tǒng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。§3-9傳遞函數(shù)矩陣的實(shí)現(xiàn)問題主要知識點(diǎn):1、實(shí)現(xiàn)問題的基本概念；2、能控實(shí)現(xiàn)和能觀的實(shí)現(xiàn)；3、尋找最小實(shí)現(xiàn)的方法。§310關(guān)系傳遞函數(shù)中零極點(diǎn)對消與狀態(tài)能控性和能觀性之間的【習(xí)題3-1 】判別下列系統(tǒng)的能控性與能觀性。系統(tǒng)中a,b,c,d的取值對能控性與能觀

3、性是否有關(guān)，若有關(guān)則其取值條件如何？ux1ò+-ya(1)+x3x2+-cd【解】輸入及其它狀態(tài)無關(guān)的狀態(tài) x2，故能控性：因存在與a,b,c,d系統(tǒng)全能控與的取值無關(guān)。輸出無關(guān)的狀態(tài) x4，故系統(tǒng)的取值無關(guān)。能觀性：因存在與全能關(guān)與 a,b,c,dòòbx4+-ò(2)x1 = yx2ò+ -a【解】不存在與輸入及其它狀態(tài)無關(guān)孤立塊，也不存在與輸出無關(guān)的孤立塊。其能控性和能觀性需進(jìn)一步判明。= -ax1 + bx2 + ux1é- ab ùé1ùc= 10= -cx - dx + uxA= ê

4、- cb= ê1ú- dú212ëûë ûy= x1- a+ bùM = bAb= é1-a+b = -c-d+ a-b¹ 0M = 1ê1- c- dúëû-c-d1dbbòN = é c ù = é 10ù1- a0 = b¹ 0N =êcAúê- abúbëûëû（3）系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式如下：é- 1&

5、#249;é21ù1- 1 00x = ê 00 ú x+ êa0úuêêë 0ú- 2úûêêëbú0úûy = écdù x00ê00 úëû【解】系統(tǒng)為約旦能控性： a¹ 0b¹ 0 系統(tǒng)完全能控d ¹ 0 系統(tǒng)完全能觀且c¹ 0能觀性：且【習(xí)題3-2 】時(shí)不變系統(tǒng)x = é- 31 ùx+

6、é11ùé11 ùy= ê11úuê 1- 3úê1-1úëûëûëû試用兩種方法判別其能控性與能觀性【解法之一】化為約旦lI - A = l+ 3-1l+ 3= l2 + 6l+ 8 = (l+ 2)(l+ 4) = 0-1l1 = -4l2 = -2P = é-1ù-1ùP = é1ùT = é1= 1 é 11ùT-1ê1ú

7、4; 1 úê11 ú2 ê-11ú12ë ûëûëûëûA = T-1AT = é- 40 ùê 0- 2úëûB = T-1B= 1 é 11ùé11ù = é11ù2 ê-11úê11úê00úëûë1 ùé1ûë

8、û-1ù = é1故：系統(tǒng)是不完全能控完全能觀。C = CT = 1 é10 ù2 ê1-1úê11 úê0-1úëûëûëû【解法之二】直接判別- 2- 2- 2ùAB = é111M = BRank (M) = 1 < nê1- 2úëûéù111ê- 1 úé C ùú = ê

9、ú- 2úN = êRank (N) = 2 = nê- 2ê- 4ëCAû- 4úëû【習(xí)題3-3 】確定使下列系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀的待定常數(shù) ai , biA= éa11 ùb= é1ùc= 1-1(1)ê 0a úê1úë2 ûë ûa1 + 1ù2û- 1Ab = é1N = é c ù = é 1

10、ù【解】M = bê1úêcAúêa1 - a úaëûëë12 ûa1 + 1 = a= 1- a - 1 ¹ 0Ma2112- 11 - a1= a= 1 - a2 + a1 ¹ 0N12ìa2 - a1 - 1 ¹ 0完全能控完全能觀的條件：a -a ¹ 1í即：21î1 - a2 + a1 ¹ 0A= éa1a2 ùb= é1ù(2)c= 10

11、34;aa úê1úë34 ûë ûa1 + a2 ùAb = é1N = é c ù = é 10 ù【解】M = bê1a + a úêcAúêaa úëa1 + a24 ûë¹ 0ûë12 û3= 1= a + a- a - aMa + a341213410= a= a2¹ 0Na12完全能控完全能觀的條件：ìa

12、3 + a4 - a1 - a2¹ 0ía¹ 0î2éùúúúû(3)A= êc= 001êêëb3b2b2b- 8b3éêùúM = b=b-+b2AbA bêú2323êëb3b3 úûb2 - 4b3ù-b2 -éùécN = ê cA ú = êúúú

13、û-Rank (N) = 3 = nêêëcúúûêêë-故：系統(tǒng)是完全能觀的，完全能控的條件是：b3b32b2 - 8b3= b2-b2 +b2 -b3b3¹ 0Mb3b2 - 4b3【習(xí)題3-6 】已知系統(tǒng)的微分方程為y + 6+ 11 + 6 y = 6u試寫出其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,及其傳遞函數(shù)。【解】系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為W(s) = Y(s)6=+ 6s2 + 11s+ 6s3U(s)狀態(tài)空間表達(dá)式為éùé0ù0010- 110x0x

14、= ê1 ú x+ ê0úuêú- 6úûê úêë1úûå( A,b, c)êë- 6y = 60其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為- 6 ùé0é6ù0010x = ê1- 11ú x+ ê0úuêêë0y = 0其傳遞函數(shù)為ú- 6 úû1xê úêë

15、;0úûå( A,b, c)ù -1 é6ùé s0s- 16111ê- 1úê0úW(s) = c(sI - A) -1b = 00êêë 0úê ús+ 6úûêë0úû6=+ 6s2 + 11s+ 6s3【習(xí)題3-7 】已知能控系統(tǒng)的狀態(tài)方程A，b為A= é12ùb = é1ùê43úê1&#

16、250;ëûë û試將該狀態(tài)空間表達(dá)式化為能控【解】判定系統(tǒng)的能控性M = bAb = é13ùRank (M) = 2 = nê17úëûlI - A = l - 1- 2l - 3= l2 - 4l - 5特征多項(xiàng)式：- 4化為能控標(biāo)準(zhǔn)I型的變換矩陣為：ù = é- 1T= Abbé0ù = éùéùêaúêúê-úê 31úc1&#

17、235;ûëûëûë 1û= éùT-1êúc1ëû能控標(biāo)準(zhǔn)I型為：- 1= é01ùé1ù é1ù = é0ù1A= T-1AT-b= Tb =1ê54ú4 ê 31ú ê1úê1úc1c1c1c1c1ëûëûë ûë û化為能

18、控標(biāo)準(zhǔn)II型的變換矩陣為：ù - = é13ù-ééêù= Tc2bAb-= ê=ê17úTc2úúëûë- 1ëûû能控標(biāo)準(zhǔn)II型為：- 3ù é1ù = é1ù= é05ùé71A= T-1ATb= T b-=1ê14ú4 ê- 1ú ê1úê0úc2c2

19、c2c2c21ëûëûë ûë û【習(xí)題3-8 】已知能觀系統(tǒng)的A，b，c為- 1ùA = é1b = é2ùc = - 11ê11 úê1úëûëû試將該狀態(tài)空間表達(dá)式化為能觀【解】判定系統(tǒng)的能觀性N = é c ù = é- 11ùRank (N) = 2 = nêcAúê 02úëûë

20、;ûlI - A = l - 11= l2 - 2l + 2特征多項(xiàng)式：- 1l - 1化為能觀標(biāo)準(zhǔn)I型的變換矩陣為：1ù-1é- 1é- 11 é- 21ù1ùT-1= N =T=ê 02úê 02ú2 ê1úo1o10ëûëûëû能觀標(biāo)準(zhǔn)I型為：- 11ùé2ù = é- 1ùé= é1ù0-b= Tb =1A= T-1AT

21、ê 02úê1úê 2 úê- 22úo1o1o101o1ëûë ûëûëû11 é- 21ù = 1c= cT= - 102 ê1úo1o10ëû化為能觀標(biāo)準(zhǔn)II型的變換矩陣為：- 2ùé 0= é1a1 ùécAù = é12ù = é 20ùT-1ê01 

22、0;ê c úê0úê- 11úê- 11úo21ëûë0ùûëûëûëû- 2ù= é0= 1 é1A= T-1ATTê1ú2 ê12úo202o22o2ë1ûëûéù2c= cT= 0-b= T b =1ê- 1úo2o2o2o2ëû【

23、習(xí)題3-9】已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為+ 6s+ 8s2W(s) =+ 4s+ 3。s2試求其能控和能觀s2+ 6s+ 82s+ 5【解】W(s) = 1 + 4s+ 3+ 4s+ 3s2s2能控標(biāo)準(zhǔn)I型= é0ù= éù01= 52bd = 1cê1úAê- 3- 4úc1c1c1ë ûëû能觀標(biāo)準(zhǔn)II型= é5ù- 3ù= é0c= 01d = 1bê2úAê1- 4úo2o2o2ë

24、51;ëû【習(xí)題3-10】給定下列狀態(tài)空間方程，試判別其能否變換為能控和能觀。1- 31éùé0ù00x = ê- 20 ú x+ ê1úuy = 01x0êêë - 1ú- 3úûêúêë2úû1- 3- 5【解】- 3ùúé0M = bA2b= ê1Rank (M) = 2 < nAb7êêë2&#

25、250;11 úûéùé 0ùc011N = ê cA ú = ê- 1- 3úRank (N) = 3 = nêúêêë 1úúûêëcA2 úû- 79故該不能變換為能控，可變換為能觀。【習(xí)題3-11】試將下列系統(tǒng)按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。- 1ùé1é0ù21- 4x = ê00 ú x+ ê0ú

26、uy = 11x- 1(1)êêë0ú3 úûê úêë1úû【解】判別能控性- 1 03- 4ùúé0M = bA2b= ê0Rank (M) = 2 < nAb09êêë1úúû構(gòu)造變換矩陣- 1 03é00ùé 31ù001R = ê01ú= ê- 10úR-1êê&

27、#235;1ú0úûêêë 0ú0úûcc按能控性分解后系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：- 340é0ùé x ùé1ù2éxùé x ùê- 2ú+ ê0úu= R-1AR-cc+ R bu =0c1êx úê úúêx úêêë0ê úêë

28、;0úûcccxë c ûë c ûúû ë c û1- 1éxc ùy = cR = 12êx úcë c ûé- 2- 1ùé0ù2- 2- 4(2)x = ê0 ú x+ ê0úuy = 11x- 101êú0 úûê úêë1úûêë

29、;判別能控性- 1 00é02 ùM = bA2b= ê00 úRank (M) = 2 < nAbêêë1ú- 1úû構(gòu)造變換矩陣- 1 00é00ùé 01ù001R = ê01ú= ê- 10úR-1êêë1ú0úûêêë 0ú0úûcc按能控性分解后系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：- 1- 2-

30、4ùé x ùé0é1ùéxùé x ùê- 2ú+ ê0úu= R-1AR-cc+ R bu =1c1êx úê úúêx úêê úêë0úûcccxë c ûë c û- 2úû ëc ûêë00- 1é

31、xc ùy = cR = 1- 1êx úcë c û【習(xí)題3-12】試將下列系統(tǒng)按能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。- 1ùé1é0ù21- 4x = ê00 ú x+ ê0úuy = 11x- 1(1)êêë1ú3 úûê úêë1úû【解】判別能觀性- 1- 3- 7éùé11ùcN = ê cA 

32、0; = ê22úRank (N) = 2 < nêúêêë4ú4úûêëcA2 úû構(gòu)造變換矩陣- 1- 30é11ùé01 ù0- 1- 1= ê22ú= ê20 úR-1Rêêë1ú0úûêêë3ú- 1úûoo按能觀性分解后系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：&

33、#233;0ùé x ùé1ù013- 1éxùé x ùê0ú+ ê2úu= R-1AR-oo+ R bu =- 2o1êx úê úúêx úêêëêúêë0úûoooxë o ûë o û2úû ë o û10é

34、x0 ùy = cR = 10êx úoë o ûé- 2- 1ùé0ù2- 2- 4(2)x = ê0 ú x+ ê0úuy = 11x- 101êú0 úû- 1 02ê úêë1úûêë判別能觀性éùé 11 ùcN = ê cA ú = ê- 1- 1úRank

35、 (N) = 2 < nêúêêë 1ú1 úûêëcA2 úû構(gòu)造變換矩陣é 01 ù0- 1- 1- 1 00é 11 ùR = ê- 10 ú= ê- 1- 1úR-1êêë 0ú- 1úûoêêë 1ú0 úûo按能觀性分解后系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：é0 &#

36、249;é x ùé 1 ù01- 3- 1éxùé x ùê0 ú+ ê- 1úuo= R-1ARo+ R bu =- 2-o1êx úê úúêx úêêë- 2êúoooxë o ûë o û0- 1úû ëo ûêë 0 úû0&#

37、233; x0 ùy = cR = 1êx úoë o û【習(xí)題3-13】試將下列系統(tǒng)按能控性和能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。é0ùé1ù12020x = ê3ú x+ ê2úuy = 12x(1)1êú1úûêúêë2úûêë- 2【解】判別能控性和能觀性é1ù11202 ù1M = bA2b= ê226 ú

38、;Rank (M) = 3 = nAbêêë2ú- 2úûéùéc1124N = ê cA ú = ê - 15 úRank (N) = 3 = nêúêêë- 7ú11úûêëcA2 úû能控且能觀，無須進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。é1ùé0ù0- 30- 100- 2- 200ê2úê0&

39、#250;y = 30xx = êú x+ êúu(2)01ê1ê4úê1ú0- 4úê2úëûëû【解】判別能控性é0ê000ùúúúM = bA3b= êRank(M) = 2 < nAbA2bê- 10-ê2ú44ë按能控性分解，構(gòu)造變換矩陣û- 1/ 3ùé000- 2- 100100

40、1ùé0ê000105 / 31 / 300ê00ú- 1 / 6ú= êú0ú= êúúR-1Rê1ê2ê0ê1cc000úúëûëû按能控性分解后系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：- 8- 600é0ùé1ùê0ú1 / 31 / 6- 301 / 3ê1- 1 / 3úéx ùé

41、;xùéx ùêê0ë0ú+ ê úu= R-1AR-cc+ R bu =c1êx úê úúêx úcccê0úx21ë c ûë c ûúë c ûêê úë0ûû3é xc ùy = cR = 1- 20êx úcë c û

42、將不能控子空間按能觀性分解= é- 32ù x= 03xxyê1úcc2c0ëû= é c ù = é03ùRank (N ) = 1NêcAúê03úccëûëû= é03ù= é1ù0R-1Rê10úê1 / 30úooëûëû按能觀性分解后：éùéù&#

43、233;ùé xco ùxx10co-co-= R AR1+R bu =1êx úê úê2 / 3- 3úêx úoooxë co ûë co ûëûë co û0é xco ùy = 1êx ú2ë co û將能控子空間按能觀性分解+ é1ùuy = 1- 2xê0úc1cëû

44、5;ûë û- 2ù= é c ù = é1Rank (N ) = 1NêcAúê- 2- 4úccëûëû- 2ù= é1= éù01R-1Rê1úê- 1 / 21 / 2úoo0ëûëû按能觀性分解后：éùéùéùxxx-co= R ARco+ R Aco+ R

45、bu111êxúêúêúooo12oxxë co ûë co ûë co û= é- 2ùéùéùé xco ù + é1ùu0x01co+ê- 4úêxúê1 / 31 / 3úêx úê1ú4ëûë co ûëû&#

46、235; co ûë ûéùxy = 10coêxú1ë co û故按能控性和能觀性分解的狀態(tài)空間表達(dá)式為：é- 2éxco ùùé xco ùé1ù0- 40001 / 312 / 31êx ú1 / 3úê xúêê1ú400êco ú = êúêco ú + êú

47、uêxco úêúêxco úê0úê0ú0êúx ê- 3 úêxúëûë co ûë ûë co ûé xco ùê xúy = 10êco ú01êxco úêxúë co û【習(xí)題3-14】求下列傳遞函數(shù)的最小實(shí)現(xiàn)。é&#

48、249;11ê s + 1s + 1 úW ( s) =(1)êú11êúë s + 1s + 1 ûé11ù1【解】u1W(s) =ês+ 1 1其模擬結(jié)構(gòu)圖為y11úëû+uxy+ò212+-é1ùu2 = -x1+ u1+ u2= - x1+x1u狀態(tài)空間表達(dá)式ê ú11ë ûé y1ùé1 ù xy =ê y ú

49、4;1 ú1ë2 ûë û該實(shí)現(xiàn)顯然是能控且能觀的,所以是最小實(shí)現(xiàn)【解】解法之二é11ù1W(s) =s+ 1 ê11úëû初選一種實(shí)現(xiàn)0ù = é- 1A = -a I = -é10 ùê01úê 0- 1úc0rë0ùûëû= é1= é11ùB = IC = bê01úê11úcrc

50、0ëûëûN = C = é11ùRank (N) = 1 < 2ê11ú檢驗(yàn)?zāi)苡^性ëû按能觀性分解:- 1ù= é11ù= é1R-1Rê01úê01 úooëûëû分解后各矩陣為1ùé- 1- 1ù = é- 1= é10 ùé10 ùA = R-1ARê01ú

51、4; 0- 1úê01 úê 0- 1úocoëûëûëûëû= é11ùé10ù = é11ùB = R-1Bê01úê01úê01úocëûë1ùé1ûëû0ù- 1ù = é1= é1C = C Rê11ú

52、;ê01 úê10úc0ëûëûëû所以能控且能觀的子系統(tǒng)為= é1ùB= 11A = -1Cê1úmmmë û驗(yàn)證:éù111 = ê s+ 1s+ 1ú= é1ù11) -1 B(sI - ACêúê1ú s+ 1mmm11ë ûêúë s+ 1s+ 1ûé

53、4;êùúú1s11s21W ( s) =( 2 )êúë s2s3û【解】傳遞函數(shù)陣已經(jīng)是真有理式D=0提取公分母后按降冪的順序排列é s2sù1 ûì é 10 ù ü0 ùé 0ê1 ùé 0ê11W ( s) =+ú s +ú s2í êú ýêús3s3î ë 00 û

54、ë 10 ûë 01 û þsë寫出各系數(shù)矩陣a0 = a1 = a20ù= 0= é0, b = é01ù= é10ù, b, b, b= 0ê01úê10úê00ú0123ëûëûëû初選一種實(shí)現(xiàn)(按能控實(shí)現(xiàn))é00ù000000100000010000001000ê00úêú0ú&#

55、233;ù0rIr0rIú = ê0= êA00ê01úêúcrrrêúê- a I- a I ú- aIë2r ûê00ú0r1rê0ú0é0ê0ùúêëúûê00ú0úé0ùê0rúêBc = ê0r ú = ê00úêúêI úë r û