理論力學(xué)7—剛體基本運(yùn)動(dòng)

1、7 剛體的基本運(yùn)動(dòng) 剛體的平動(dòng) 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的速度和加速度 輪系的傳動(dòng)比 以矢量表示角速度和角加速度以矢積表示點(diǎn)的速度和加速度如果在物體內(nèi)任取一直線段，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中這條直線段始終與它的最初位置平行，這種運(yùn)動(dòng)稱為平行移動(dòng)，簡(jiǎn)稱平移。7.1 剛體的平行移動(dòng)此處有影片播放此處有影片播放擺式輸送機(jī)的料槽擺式輸送機(jī)的料槽夾板錘的錘頭夾板錘的錘頭直線行駛的列車車廂直線行駛的列車車廂結(jié)論：當(dāng)剛體平行移動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)的軌跡形狀相同；在每一瞬時(shí)，各點(diǎn)的速度相同，加速度也相同。因此，研究剛體的平移，可以歸結(jié)為研究剛體內(nèi)任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。7.1 剛體的平行移動(dòng)yxzaBvBvAaArArBABB1B2

2、A2A1OABBArr ABvvABaa 在剛體運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若剛體上或其延伸部分上有一條直線始終不動(dòng)，具有這樣一種特征的剛體的運(yùn)動(dòng)稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱轉(zhuǎn)動(dòng)。該固定不動(dòng)的直線稱為轉(zhuǎn)軸。7.2 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)此處有影片播放此處有影片播放如圖，兩平面間的夾角用j表示，稱為剛體的轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角j是一個(gè)代數(shù)量，它確定了剛體的位置，它的符號(hào)規(guī)定如下：自z軸的正端往負(fù)端看，從固定面起按逆時(shí)針轉(zhuǎn)向計(jì)算取正值；按順時(shí)針轉(zhuǎn)向計(jì)算取負(fù)值。并用弧度(rad)表示。7.2 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角j是時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)，即( )f tj這就是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。7.2 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)角j對(duì)時(shí)間的

3、一階導(dǎo)數(shù)，稱為剛體的瞬時(shí)角速度，用w表示:ddtjwj 角速度表征剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢和方向，其單位用rad/s (弧度/秒)表示。角速度是代數(shù)量，從軸的正端向負(fù)端看，剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角速度取正值，反之取負(fù)值。角速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，稱為剛體的瞬時(shí)角加速度，用字母a表示，即22ddddttwjawj7.2 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度表征角速度變化的快慢，其單位用rad/s2 (弧度/秒2)表示。角加速度也是代數(shù)量。如果w與a同號(hào)，則轉(zhuǎn)動(dòng)是加速的；如果w與a異號(hào)，則轉(zhuǎn)動(dòng)是減速的。7.2 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng) 工程上常用轉(zhuǎn)速n來(lái)表示剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢。n的單位是轉(zhuǎn)/分(r/min)， w與n的轉(zhuǎn)換關(guān)系為20.16

4、030nnnw勻速轉(zhuǎn)動(dòng)0Consttwjjw勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)020012tttwwajjwa 當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)任意一點(diǎn)都作圓周運(yùn)動(dòng)，圓心在軸線上，圓周所在的平面與軸線垂直，圓周的半徑R等于該點(diǎn)到軸線的垂直距離。sRj動(dòng)點(diǎn)速度的大小為ddddsvRRttjw7.3 轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度設(shè)剛體由定平面A繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)任一角度j，到達(dá)B位置，其上任一點(diǎn)由O運(yùn)動(dòng)到M。以固定點(diǎn)O為弧坐標(biāo)s的原點(diǎn)，按j角的正向規(guī)定弧坐標(biāo)s的正向，于是即：轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)速度的大小等于剛體角速度與該點(diǎn)到軸線的垂直距離的乘積，它的方向沿圓周的切線而指向轉(zhuǎn)動(dòng)的一方。7.3 轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度7.3 轉(zhuǎn)動(dòng)剛體

5、內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度tddd()dddvaRRRtttwwa點(diǎn)M的加速度有切向加速度和法向加速度，切向加速度為：即：轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的切向加速度(又稱轉(zhuǎn)動(dòng)加速度)的大小，等于剛體的角加速度與該點(diǎn)到軸線垂直距離的乘積，它的方向由角加速度的符號(hào)決定，當(dāng)a是正值時(shí)，它沿圓周的切線，指向角j的正向；否則相反。7.3 轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度222n()vRaRRww法向加速度為：即：轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的法向加速度(又稱向心加速度)的大小，等于剛體角速度的平方與該點(diǎn)到軸線的垂直距離的乘積，它的方向與速度垂直并指向軸線。如果w與a同號(hào)，角速度的絕對(duì)值增加，剛體作加速轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)點(diǎn)的切向加速度at與速度v的

6、指向相同；如果w與a異號(hào)，剛體作減速轉(zhuǎn)動(dòng)， at與v的指向相反。這兩種情況如圖所示7.3 轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度atat (1) 在每一瞬時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)所有各點(diǎn)的速度和加速度的大小，分別與這些點(diǎn)到軸線的垂直距離成正比。 (2) 在每一瞬時(shí)，剛體內(nèi)所有各點(diǎn)的加速度a與半徑間的夾角q 都有相同的值。點(diǎn)的全加速度為：2224tnt2ntanaaaRaaawaqw7.3 轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度例7-1 齒輪傳動(dòng)是工程上常見的一種傳動(dòng)方式，可用來(lái)改變轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向。如圖，已知r1、 r2、 w1、 1，求w2、 2 。 解：因嚙合點(diǎn)無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，所以tt1212,vvaa由于111222tt11

7、1222,vrvrararww于是可得于是可得11212122,rrrrww即即112221rrwww11r1O1O2r2w22v1v2at1at2 例7-2 一半徑為一半徑為R=0.2m的圓輪繞定軸的圓輪繞定軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)方程的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為為 ，單位為弧度。求，單位為弧度。求t=1s時(shí)，輪緣上任一點(diǎn)時(shí)，輪緣上任一點(diǎn)M的的速度和加速度（如圖）。如在此輪緣上繞一柔軟而不可伸長(zhǎng)速度和加速度（如圖）。如在此輪緣上繞一柔軟而不可伸長(zhǎng)的繩子并在繩端懸一物體的繩子并在繩端懸一物體A，求當(dāng)，求當(dāng)t=1s時(shí)，物體時(shí)，物體A的速度和加的速度和加速度。速度。tt42j 解：圓輪在任一瞬時(shí)的角速度和角加速度為解：圓輪在任

8、一瞬時(shí)的角速度和角加速度為42 tdtdjw222dtdj求當(dāng)求當(dāng)t=1s時(shí)，則為時(shí)，則為srad /2w2/2srad 因此輪緣上任一點(diǎn)因此輪緣上任一點(diǎn)M的速度和加速度為的速度和加速度為smRv/4 . 0w2/4 . 0smRa22/8 . 0smRanw方向如圖所示。方向如圖所示。ARMOvana M點(diǎn)的全加速度及其偏角為點(diǎn)的全加速度及其偏角為ARMOanaaa22222/894. 0)8 . 0()4 . 0(smaaan43265 . 02arctgarctgwa如圖。 現(xiàn)在求物體現(xiàn)在求物體A的速度和加速度。因?yàn)榈乃俣群图铀俣?。因?yàn)镸Ass 上式兩邊求一階及二階導(dǎo)數(shù)，則得上式兩邊求一

9、階及二階導(dǎo)數(shù)，則得MAvv MAaa 因此因此smvA/4 . 02/4 . 0smaA例7-3 在刮風(fēng)期間，風(fēng)車的角加速度 ，其中轉(zhuǎn)角 以rad計(jì)。若初瞬時(shí) ，其葉片半徑為0.75m 。試求葉片轉(zhuǎn)過(guò)兩圈（ ）時(shí)其頂端 P 點(diǎn)的速度。 20.2/rad sq000,6/rad sqw4 radqPdddddtddtdwwqwwqq0.2ddwwqq0400.2ddwww wq q22200.2(4 )8.221/6.166/rad svrm swwww解：主動(dòng)輪與從動(dòng)輪角速度之比稱為傳動(dòng)比，記為i12。7.4 輪系的傳動(dòng)比1) 齒輪傳動(dòng)121221RiRww即：相互嚙合的兩齒輪的角速度之比與它

10、們節(jié)圓半徑成反比。由于齒輪齒數(shù)與其節(jié)圓半徑成正比，故121221zizww即：相互嚙合的兩齒輪的角速度之比及角加速度之比與它們的齒數(shù)成反比。7.4 輪系的傳動(dòng)比2) 帶輪傳動(dòng)121221rirww7.4 輪系的傳動(dòng)比例例2-4 下圖是一減速箱，它由四個(gè)齒輪組成，其齒數(shù)分別為下圖是一減速箱，它由四個(gè)齒輪組成，其齒數(shù)分別為Z1=10，Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求減速箱的總減速比求減速箱的總減速比i13；(b)如果如果n1=3000r/min，求，求n3.13n142n3n2解：求傳動(dòng)比：解：求傳動(dòng)比：11224133231334.8nnnZ ZinnnZ Z則有：則有：131330

11、0086 / min34.8nnrizww角速度矢量角速度矢量 從轉(zhuǎn)軸上任一點(diǎn)畫出，其長(zhǎng)度按比例從轉(zhuǎn)軸上任一點(diǎn)畫出，其長(zhǎng)度按比例尺由尺由 決定，指向由右手法則確定。決定，指向由右手法則確定。jww以以 表示表示Z軸的單位矢量，如圖，則軸的單位矢量，如圖，則kkkkjww 對(duì)上式求導(dǎo)，則的角加速度矢量對(duì)上式求導(dǎo)，則的角加速度矢量kkdtddtdwwzk如圖。如圖。 角速度矢量和角加速度矢量均為滑動(dòng)矢量。當(dāng)二者角速度矢量和角加速度矢量均為滑動(dòng)矢量。當(dāng)二者方向相同時(shí)，剛體越轉(zhuǎn)越快；當(dāng)二者方向相反時(shí)，剛體方向相同時(shí)，剛體越轉(zhuǎn)越快；當(dāng)二者方向相反時(shí)，剛體越轉(zhuǎn)越慢。越轉(zhuǎn)越慢。7.5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢積表示點(diǎn)的速度和加速度zwRrwMvrwOa 如圖，在軸線上任選一點(diǎn)如圖，在軸線上任選一點(diǎn)O為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的矢徑用動(dòng)點(diǎn)的矢徑用 表示，則點(diǎn)表示，則點(diǎn)M的速度可的速度可以用角速度矢與它的矢徑的矢量積表示，以用角速度矢與它的矢徑的矢量積表示，即即rrvw 將上式對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，有將上式對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，有dtrdrdtdrdtddtvdawww)(即即vraw于是于是ravanwzRrwMvrwOaravwna如圖所示。如圖所示。zRrwMvrwOaravwna綜上所述