安徽省專升本高數真題

1、安徽省 2012年普通高等學校專升本招生考試高等數學注意事項：1 .試卷共8頁，請用簽字筆答題，答案按要求寫在指定的位置。2 .答題前將密封線內的項目填寫完整。一、選擇題（下列每小題的選項中，只有一項是符合題意的，請將表示該選項的字母填在題 后的括號內。共10小題，每小題3分，共30分）3ex,x <01.若函數f(x)=sinx在x=0在處連續(xù)，則a= (C)a, x 0,x解：由 f (0 +0) = f (0 0) = f (0)得 a +1 =3= a =2,故選 C.2.當xt 0時，與函數f (x) = x2是等價無窮小的是(A)2、A. ln(1 x ) B. sin x

2、C. tan xD. 1 - cos x解：由 lim f (x)2) = lim -x一2y = 1，故選 A.x /n(1 x) x)0 ln(1 x )3 .設y = f(x)可導，則f(e') 二 (D)A. f (e")B. - f (e*)C.eOf (e*) D. -e"f (e”)解：f (e")' = f (e") (e")' = e" f '(e')，故選 D.14 .設一是f(x)的一個原函數，則jxf(x)dx= (B) x1c1 01 Q 1A. -x2 C B.x2

3、CC.-x3 CD.-x4lnx C2234F，一 ,_. 1 一 一 ,_. _, 一,1 '1解：因1是f(x)的一個原函數，所以f(x)= 1 =4，所以 xxxjx。1 o . .Jx f(x)dx = - xdx = -x +C 故選 B.5 .下列級數中收斂的是(C)n -7n/3/4 71n1A： 土/ B.-J C3Drsin，n 1 3nd'- 3n _ 2n ：i 2 n 1 2n(n 1)3，33qQ 3解：因lim 上一=11而(£邙_=) <1,所以收斂，故選C.n n 2n ' n 2n22n1y216.交換I = f dy

4、? f(x,y)dx+ j dyf (x, y)dx的積分次序，則下列各項正確的是(B) ，u y1 - _ y221 x21 2xA. 0dx 2xf(x,y)dyB. 0dy x2 f (x,y)dy2 x22 2xC. 1 dx 2xf(x, y)dyD. 1 dx x2 f (x, y)dy解：由題意畫出積分區(qū)域如圖：故選B.(D)7 .設向量四,也是非齊次線性方程組AX=b的兩個解，則下列向量中仍為該方程組解的是A.二 1 二工2B. : 1 - - 2C.2： 1： 2D.2： 1 - ： 2解：因 A(«1 +32)=人口1 +A“2 =b + b = 2b,同理得A(

5、«1 %)=0, A(2«1 +«2) =3b, A(2% %) =b,故選 D.8 .已知向量3=(1,2,1,1),% =(2,0,k,0),£3 =(0-4,5,-2)線性相關，則 k = (D)A.-2B.2C.-3D.3解:：-i二 2-1k510-22-4-1k 251-2-22-40-1k 2-k 31-20由于外,口2,%線性相關，所以r(«1,®2,«3) E2,因止匕k =39 .設 A,B 為事件，且 P(A) =0.6,P(B) =0.4,P(AB) =0.2,WJ P(AB) = (A)解：P(AB

6、) =P(A B) =1 -P(A B)=1 _P(A) P(B) - P(AB) =0.210 .有兩個口袋，甲袋中有3個白球和1個黑球，乙袋中有1個白球和3個黑球.現從甲袋中任取 一個球放入乙袋，再從乙袋中任取一個球，則取出白球的概率是(B)A-BC1D162042-.、-32117解：由全概率公式得p=e -+，J=- 4 5 4 5 20二、填空題(本題共10小題，每小題3分，共30分，把答案填在題中橫線上。)11.設函數y = arcsin -一1 - i 1,則函數的定義域為 -2,4).3.16 -x2解:x -12-1 <<1,16 -x >03-2 <

7、x <4=-2 < x ： 4 .-4 ： x :二 412.設曲線y=x2 +x2在點M處的切線斜率為3,則點M的坐標是(1,0)解：y，=2x+1,由 y = 2x+1 =3= x =1 ,從而 y = 0 ,故填(1,0).13.2設函數 y = x arctan x ,貝U y =2- .(1 x )解:22, x .11 x2 -2x2y t arctan x 2 , y =2 2 -1 x21 x2(1 x2)22(1x2)2 .14.201220130n x 1) dx .(lnx 1) Cx201320122013(ln x 1)2012(In x 1)0用牛：dx

8、 = (ln x 1) d (ln x 1)= C .x201315. |0 xe"*dx =e.解：f *xe"*dx =e j *xe"dx = e.- 0- 0n16.幕級數Z (x二2-的收斂域為-3,7).n4 5 n(x-2)n-解：由 limJun但=lim15"守 nTUn(x) nT* (x-2)I WTn nx - 2=lim -,x - 2 =< 1.n»5，n+1|5得-3<x<7級數收斂，n當x = -3時，級數為工(_% 收斂;當x = 7時,級數為2 ：發(fā)散； n m % nn，n故收斂域為-3,

9、7).17 .設A是n階矩陣，E是n階單位矩陣，且A2 - A-3E =0,則(A-2E)，= A + E .角單：A2 - A -3E =0= (A2e)(A E) =E= (A 2e)" =(A E)0 1-1 '18 .設A=1 01 ，記A'表示A的逆矩陣，A*表示A的伴隨矩陣，則9 010 -11 '1 *，一,(A-) = 10-1 .- 0 -119.設型隨機變量 X N(1,8)，且 P(X cc) = P(X >c),則 C= 1解：由正態(tài)分布的對稱性得 C=-l=1.，_、 一、，120、設型隨機變量X在區(qū)間2,4上服從均勻分布，則方

10、差D(X)=- 3解:直接由均勻分布得肥)二三二3計算題：本大題共8小題，其中第21-27題每題7分，第28題11分，共60分。計算極限lim 士譬.x 0 tan2 xx - sin x解:原式=lim一x 0 x21 - cosx2xsin x=0.=limx 0222 .求由方程yx =xy確定的隱函數的導數dy . dx解：兩邊取對數得xln y = ln x Tn y ,兩邊求導得 ln y y = y , y x y從而曳=y(1-x1n y).dx x(x -1)223 . 計算je積分 j _ dx222.x x 7J九冗解：令 x =sect，則 dx =sect tantd

11、t,當 x =)2 時,t =二;當 x =2 時,t =.43所以原式=3駕皿出=7 sec t tan tnn,3costdt =sin t| 3 二441=(32).224.求微分方程y'2yex =0的通解.解：原方程可整理為y、2y=ex 這是一階線性微分方程，其中P(x)= 2,Q(x)=ex.所以原方程的通解為2dx *_ 2dx=e ( exe dx C).25.計算二重積分口 x2ydor,其中D是由直線x=2、y=2x和xy=2所圍成的區(qū)域.解：區(qū)域D如圖陰影部分所示.故 x2yd。2 2x=dx- 12 x2ydy2x52- 2x)|1二1吟26.設矩陣A =0-

12、32-10一3B = 3 ,且滿足AX + B = A2B + X，求矩陣X.解：由AX B=A2B +X 可得(A -E)X =(A2 - E)B=(A-E)(A+E)B0-42-10-4-200,所以A-E可逆,'2因此 X =(A +E)B = 10-22100-527.設行列式D(x) =，求D(x)在x0處的導數D(0).=x(x 7)( x -1)( x -2)=(x十1123x十71231x+123x十7x十12312x +13x+ 72x +13123x +1x+ 723x +1x 13解：D(x)=x2 7x)(x2 -3x 2).故 D (x) =(2x 7)(x2

13、 -3x 2) (x2 7x)(2x -3).從而 D (0) =14 .28.已知離散型隨機變量X的密度函數為F(x) =x < 0,a,0 <x <1,。1,1 < x < 2,21,x > 2. 4且數學期望E(X)=-.3求:(1)a的值;(2)X的分布列；(3)方差D(X).解：(1)由分布函數的性質知，隨機變量X的可能取值為1134因 E(X) =0 a 1 ( a) 2 -a =22 230、 1、 2,且所以a = L6由(1)即得X的分布列為0122112 1 221 二6373,四、29.一 22E(X )=0證明題與應用題：本大題共 3

14、小題，每小題10分，共30分。設u = xy2 f ('),其中f(t)可微，證明：x且十y名=3u.y三xy證明：因為=y2f(-) xy2f (-) 1X 2. x= 2xyf (一) - x f (一),故x Fxy 二 xy2f () x2yf () 2xy2 f () - x2yf ()-y= 3xy2 f (工)=3u .?(9 分) y30.設D是由曲線y =ln x, x = e及x軸所圍成的的平面區(qū)域y= 1nxi求:(1)平面區(qū)域D的面積S(2)D繞y軸旋轉一周所成的旋轉體的體積 V. 解:區(qū)域D如圖陰影部分所示。曲線y=lnx與x和及x = e的交點坐標分別為(1,0), (e,1)(1)平面區(qū)域D的面積ee.x= In xdx = (xln x -e叫1 =1.(2) D繞y軸旋轉一周所成的旋轉體的體積 V31.證明不等式：當 abAe時，b<-ln <-(e&2.71828). a ln a b證明：設 f (x) =xln x, x w (e,+=o)，則 f r(x) =1 +ln x >0,xe (e,+),所以f (x) = xln x在x w (e,y)上單調遞增，從而當當a > b >e時，有 f (a) > f (b)，即 aln a