第2節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

1、數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)第第2 2節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)知識鏈條完善知識鏈條完善考點專項突破考點專項突破易混易錯辨析易混易錯辨析數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)知識鏈條完善知識鏈條完善 把散落的知識連起來把散落的知識連起來【教材導(dǎo)讀】【教材導(dǎo)讀】 1.1.在四種命題中在四種命題中, ,會有會有1 1個或個或3 3個命題為真命題嗎個命題為真命題嗎? ?提示提示: :不會不會, ,由原命題與逆否命題由原命題與逆否命題, ,逆命題與否命題是兩對互為逆否的逆命題與否命題是兩對互為逆否的命題、真假性相同命題、真假性相同, ,則四種命題為真命題的可能個數(shù)為則四種命題為真命題的可能個數(shù)

2、為0,2,4.0,2,4.2.2.寫一個命題的其他三種命題時需要注意什么寫一個命題的其他三種命題時需要注意什么? ?提示提示: : (1)(1)對于不是對于不是“若若p,p,則則q”q”形式的命題形式的命題, ,需先改寫需先改寫. .(2)(2)當(dāng)命題有大前提時當(dāng)命題有大前提時, ,寫其他三種命題時需保留大前提寫其他三種命題時需保留大前提. .3.“p3.“p是是q q的充分不必要條件的充分不必要條件”與與“p p的充分不必要條件是的充分不必要條件是q”q”表達的意表達的意義相同嗎義相同嗎? ?數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)知識梳理知識梳理 1.1.命題命題用語言、符號或式子表達的用語言、符號或式子表達的, ,可以

3、可以 的陳述句叫做命題的陳述句叫做命題. .其中其中 的語句叫做真命題的語句叫做真命題, , 的語句叫做假命題的語句叫做假命題. .2.2.四種命題及其關(guān)系四種命題及其關(guān)系(1)(1)四種命題間的逆否關(guān)系四種命題間的逆否關(guān)系判斷真假判斷真假判斷為真判斷為真 判斷為假判斷為假(2)(2)四種命題的真假關(guān)系四種命題的真假關(guān)系兩個命題互為逆否命題兩個命題互為逆否命題, ,它們有它們有 的真假性的真假性; ;兩個命題互為逆命題或互為否命題兩個命題互為逆命題或互為否命題, ,它們的真假性它們的真假性 確定的關(guān)系確定的關(guān)系. .相同相同沒有沒有數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)充分充分必要必要充分不必要充分不必要必要不充分必要不充

4、分充要充要既不充分也不必要既不充分也不必要(2)(2)集合與充要條件集合與充要條件p p成立的對象構(gòu)成的集合為成立的對象構(gòu)成的集合為A,qA,q成立的對象構(gòu)成的集合為成立的對象構(gòu)成的集合為B Bp p是是q q的充分不必要條件的充分不必要條件A A是是B B的真子集的真子集p p是是q q的必要不充分條件的必要不充分條件B B是是A A的真子集的真子集p p是是q q的充要條件的充要條件A=BA=Bp p是是q q的既不充分也不必要條件的既不充分也不必要條件A,BA,B互不包含互不包含數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)【重要結(jié)論】【重要結(jié)論】 1.1.四種命題中的等價關(guān)系四種命題中的等價關(guān)系原命題等價于逆否命題原命題等

5、價于逆否命題, ,否命題等價于逆命題否命題等價于逆命題, ,所以在命題不容易證明時所以在命題不容易證明時, ,往往找等價命題進行證明往往找等價命題進行證明. .2.2.等價轉(zhuǎn)化法判斷充分條件、必要條件等價轉(zhuǎn)化法判斷充分條件、必要條件p p是是q q的充分不必要條件的充分不必要條件, ,等價于等價于q q是是p p的充分不必要條件的充分不必要條件. .其他情況以其他情況以此類推此類推. .數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)夯基自測夯基自測1.1.給出命題給出命題:“:“若實數(shù)若實數(shù)x,yx,y滿足滿足x x2 2+y+y2 2=0,=0,則則x=y=0”,x=y=0”,在它的逆命題、否命在它的逆命題、否命題、逆否命題中題

6、、逆否命題中, ,真命題的個數(shù)是真命題的個數(shù)是( ( ) )(A)0(A)0個個 (B)1(B)1個個 (C)2(C)2個個 (D)3(D)3個個解析解析: :原原命題顯然正確命題顯然正確, ,其逆命題為其逆命題為: :若若x=y=0,x=y=0,則則x x2 2+y+y2 2=0,=0,顯然也是真命題顯然也是真命題, ,由四種命題之間的關(guān)系知由四種命題之間的關(guān)系知, ,其否命題、逆否命題也都是真命題其否命題、逆否命題也都是真命題. .故選故選D.D.D D數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)2.(20152.(2015高考山東卷高考山東卷) )設(shè)設(shè)mmR R, ,命題命題“若若m0,m0,則方程則方程x x2 2+x-

7、m=0+x-m=0有實根有實根”的的逆否命題是逆否命題是( ( ) )(A)(A)若方程若方程x x2 2+x-m=0+x-m=0有實根有實根, ,則則m0m0(B)(B)若方程若方程x x2 2+x-m=0+x-m=0有實根有實根, ,則則m0m0(C)(C)若方程若方程x x2 2+x-m=0+x-m=0沒有實根沒有實根, ,則則m0m0(D)(D)若方程若方程x x2 2+x-m=0+x-m=0沒有實根沒有實根, ,則則m0m0解析解析: :由原命題和逆否命題的關(guān)系可知由原命題和逆否命題的關(guān)系可知D D正確正確. .D D數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)C C 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)A A4.(20154.(2015高考重慶

8、卷高考重慶卷) ) “x=1” “x=1”是是“x x2 2-2x+1=0”-2x+1=0”的的( ( ) )(A)(A)充要條件充要條件 (B) (B)充分而不必要條件充分而不必要條件(C)(C)必要而不充分條件必要而不充分條件 (D) (D)既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件解析解析: :由由x x2 2-2x+1=0,-2x+1=0,解得解得x=1,x=1,所以所以“x=1”x=1”是是“x x2 2-2x+1=0”-2x+1=0”的充要條件的充要條件, ,故選故選A.A.數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)5.5.若若“ma”ma”是是“方程方程x x2 2+x+m=0+x+m=0有實數(shù)根有實數(shù)根”的必要不

9、充分條件的必要不充分條件, ,則實則實數(shù)數(shù)a a的取值范圍是的取值范圍是.數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)考點專項突破考點專項突破 在講練中理解知識在講練中理解知識考點一考點一 四種命題及真假判斷四種命題及真假判斷數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)反思?xì)w納反思?xì)w納 (1) (1)四種命題的書寫時四種命題的書寫時, ,要注意詞語的否定形式要注意詞語的否定形式, ,如如“都是都是”的的否定應(yīng)為否定應(yīng)為“不都是不都是”,“”,“大于大于”的否定為的否定為“不大于不大于”等等. .(2)(2)命題真假的判斷方法命題真假的判斷方法聯(lián)系已有的數(shù)學(xué)公式、定理、結(jié)論進行正面直接判斷聯(lián)系已有的數(shù)學(xué)公式、定理、結(jié)論進行正面直接判斷. .利用原命題與逆否命題利用原

10、命題與逆否命題, ,逆命題與否命題的等價關(guān)系進行判斷逆命題與否命題的等價關(guān)系進行判斷. .數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)解析解析: :f(x)=ef(x)=ex x-m,-m,由由f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是增函數(shù)知上是增函數(shù)知f(x)0,f(x)0,即即memex x在在x(0,+)x(0,+)上恒成立上恒成立, ,又又e ex x1,1,從而從而m1,m1,則原命題是真命題則原命題是真命題. .對于對于A,A,否命題寫錯否命題寫錯, ,故選項故選項A A錯錯; ;對于對于B,B,逆命題寫對逆命題寫對, ,但逆命題是真命題但逆命題是真命題, ,故選項故選項B B錯錯; ;對于對于C,C,逆否命題寫

11、錯逆否命題寫錯, ,故選項故選項C C錯錯; ;對于對于D,D,逆否命題寫對逆否命題寫對, ,且為真命題且為真命題. .故選故選D.D.數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)考點二考點二充分條件、必要條件的判斷充分條件、必要條件的判斷【例【例2 2】 (1)(2015(1)(2015高考北京卷高考北京卷) ) 設(shè)設(shè),是兩個不同的平面是兩個不同的平面,m,m是直線且是直線且m m,“m ”,“m ”是是“ ” ”的的( () )(A)(A)充分而不必要條件充分而不必要條件(B)(B)必要而不充分條件必要而不充分條件(C)(C)充分必要條件充分必要條件(D)(D)既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件(2)(2015(2)(

12、2015高考天津卷高考天津卷) )設(shè)設(shè)xxR R, ,則則“|x-2|1”|x-2|0”+x-20”的的( () )(A)(A)充分而不必要條件充分而不必要條件 (B)(B)必要而不充分條件必要而不充分條件(C)(C)充要條件充要條件 (D)(D)既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件解析解析: : (1) (1)由由m m,m,m不能推出不能推出,反之反之, ,由由,m,m能推出能推出m.m.故選故選B.B.數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)反思?xì)w納反思?xì)w納 (1) (1)在求解這類問題時應(yīng)注意以下三點在求解這類問題時應(yīng)注意以下三點: :一要分清條件與一要分清條件與結(jié)論分別是什么結(jié)論分別是什么; ;二要從充分性、必

13、要性兩個方面進行判斷二要從充分性、必要性兩個方面進行判斷; ;三直接三直接判斷比較困難時判斷比較困難時, ,可舉出反例說明可舉出反例說明. .(2)(2)判斷充分、必要條件的兩個常用方法判斷充分、必要條件的兩個常用方法: :一是定義法一是定義法, ,判斷判斷p p是是q q的什的什么條件么條件, ,實際上就是判斷實際上就是判斷p pq q或或q qp p是否成立是否成立. .二是集合法二是集合法, ,把條件和把條件和結(jié)論轉(zhuǎn)化為集合結(jié)論轉(zhuǎn)化為集合, ,借助集合關(guān)系進行判定借助集合關(guān)系進行判定. .數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)【即時訓(xùn)練】【即時訓(xùn)練】 (1)(2016(1)(2016沈陽高三模擬沈陽高三模擬) )設(shè)設(shè)

14、xxR R, ,則則“x=2”x=2”是是“復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)(x(x2 2- -4)+4)+(x+2)i(x+2)i為純虛數(shù)為純虛數(shù)”的的( () )(A)(A)充分不必要條件充分不必要條件(B)(B)必要不充分條件必要不充分條件(C)(C)充分必要條件充分必要條件(D)(D)既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(2)(2016(2)(2016江西上饒模擬江西上饒模擬) )已知直線已知直線l l1 1:ax+y=1:ax+y=1和直線和直線l l2 2:9x+ay=1,:9x+ay=1,則則“a+3=0”a+3=0”是是“l(fā) l1 1ll2 2”的的( () )(A)(A)充要條件充要條件

15、 (B)(B)必要不充分條件必要不充分條件(C)(C)充分不必要條件充分不必要條件(D)(D)既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)充分條件、必要條件的探求與應(yīng)用充分條件、必要條件的探求與應(yīng)用考點三考點三 【例【例3 3】 (1)(2015(1)(2015龍巖模擬龍巖模擬) )命題命題“對任意對任意x1,2),xx1,2),x2 2-a0”-a0”為真命題為真命題的一個充分不必要條件可以是的一個充分不必要條件可以是( () )(A)a4(A)a4(B)a4(B)a4 (C)a1(C)a1(D)a1(D)a1(2)(2)設(shè)命題設(shè)命題p:p:實數(shù)實數(shù)x x滿足滿足x x2 2-4ax+3

16、a-4ax+3a2 20,0,其中其中a0;a0,80,且且q q是是p p的必要不充分條件的必要不充分條件, ,則實數(shù)則實數(shù)a a的取值范圍是的取值范圍是.解析解析: :(1)(1)由題意知由題意知axax2 2對對x1,2)x1,2)恒成立恒成立, ,當(dāng)當(dāng)x1,2)x1,2)時時,1x,1x2 24,4a4是命題為真命題的一個充分不必要條件是命題為真命題的一個充分不必要條件. .答案答案: :(1)B(1)B(2)(-,-4(2)(-,-4數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)反思?xì)w納反思?xì)w納 充分條件、必要條件的應(yīng)用充分條件、必要條件的應(yīng)用, ,一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上求解上. .解題時需注意解

17、題時需注意: :(1)(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系, ,然后然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式( (或不等式組或不等式組) )求解求解. .(2)(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗要注意區(qū)間端點值的檢驗. .數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)解析解析: :(1)ab+1(1)ab+1ab;ab;反之反之, ,例如例如a=2,b=1a=2,b=1滿足滿足ab,ab,但但a=b+1a=b+1即即abab推不出推不出ab+1,ab+1,故故ab+1ab+1是是abab成成立的充分而不必要條件立的充分而不必要條

18、件. .故選故選A.A.數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)備選例題備選例題 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)【例【例2 2】 若若xm-1xm+1xm+1是是x x2 2-2x-30-2x-30的必要不充分條件的必要不充分條件, ,則實數(shù)則實數(shù)m m的取的取值范圍是值范圍是.答案答案: : 0,2 0,2數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)【例【例3 3】 已知集合已知集合M=x|x-3M=x|x5,P=x|(x-a)(x-8)0.x5,P=x|(x-a)(x-8)0.(1)(1)求實數(shù)求實數(shù)a a的取值范圍的取值范圍, ,使它成為使它成為MP=x|5x8MP=x|5x8的充要條件的充要條件; ;(2)(2)求實數(shù)求實數(shù)a a的一個值的一個值, ,使它成為使它成為MP=

19、x|5x8MP=x|5x8的一個充分不必要條件的一個充分不必要條件. .解解: :(1)(1)由由MP=x|5x8,MP=x|5x8,結(jié)合集合結(jié)合集合M,PM,P可得可得-3a5.-3a5.故故-3a5-3a5是是MP=x|5x8MP=x|5x8的必要條件的必要條件. .下面證明這個條件也是充分的下面證明這個條件也是充分的. .證明證明: :當(dāng)當(dāng)-3a5-3a5時時, ,集合集合P=x|ax8,P=x|ax8,集合集合M=x|x-3M=x|x5,x5,故故MP=x|5x8.MP=x|5x8.綜上可知綜上可知,-3a5,-3a5是是MP=x|5x8MP=x|5x8的充要條件的充要條件. .(2)(2)求實數(shù)求實數(shù)a a的一個值的一個值, ,使它成為使它成為MP=x|5x8MP=x|5x8的一個充分不必要條件的一個充分不必要條件, ,就就是在集合是在集合a|-3a5a|-3a5中取一個值中取一個值, ,如取如取a=0,a=0,此時必有此時必有MP=x|5x8;MP=x|5x8;反反之之,MP=x|5x8,MP=x|5x8未必有未必有a=0,a=0,故故a=0a=0