第10章：定量預(yù)測4-趨勢外推法

1、第四節(jié)第四節(jié) ：趨勢外推法：趨勢外推法一 含義及假定條件 當預(yù)測對象隨著時間呈現(xiàn)某種水平、上升或下降的趨勢，并且無明顯的季節(jié)波動，又能找到一條合適的曲線反映這種變化趨勢時，就可用時間t為自變量，時序數(shù)值y為因變量，建立趨勢模型：y=f(t) 注意假設(shè)條件（1）預(yù)測目標的發(fā)展變化過程沒有跳躍，屬于漸進變化。（2）決定過去事物發(fā)展的因素在很大程度上仍決定事物未來的發(fā)展。連續(xù)性原理連續(xù)性原理二 趨勢模型及選擇 正確識別并選擇趨勢模型是應(yīng)用趨勢外推法的首要工作，基本方法有兩種： 1 圖形識別法 2 差分計算1 直線，直線， 指數(shù)指數(shù) ，二次拋物線，二次拋物線， 三次曲線等模型的圖形三次曲線等模型的圖形

2、直線指數(shù)二次拋物線三次曲線2差分法 所謂差分，是變量的微小變化。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)計算差分把數(shù)據(jù)修勻，將非平穩(wěn)時間序列轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)序列，通過該平穩(wěn)序列的表現(xiàn)，來發(fā)現(xiàn)該套用那個模型。 假設(shè)時間序列為yt （t=1 ,2，3 ，n） 一階向后差分為： yt = yt - yt -1 二階向后差分為： y”t= yt -yt -1 三階向后差分為： y”t= y”t y”t -1 多階以此類推 如果在序列中發(fā)現(xiàn)一階向后差分為常數(shù)，則套用線性模型。二階為常數(shù)，套用二次拋物線模型，三階為常數(shù)，套用三次曲線模型。EXCEL演示三 多項式曲線趨勢外推法 一般形式為： Y=b0+b1t+b2t2+b3t3+ +bkt

3、k 其中：Y預(yù)測目標變量，t為時間，b為待定系數(shù) 當K=1時，為線性模型，K=2時，為二次拋物線模型，當K=3時，為三次多項式趨勢模型 （一）線性趨勢外推法： 散點圖呈線性趨勢y=a+bt 例子：某企業(yè)某種產(chǎn)品19962002年市場銷售量資料如下，試利用趨勢外推法對這種產(chǎn)品進行預(yù)測。直線模型實例 當數(shù)據(jù)量較小，可以采用手工算法。這涉及到將t進行一下處理。奇數(shù)和偶數(shù)項 （二）二次曲線趨勢外推法 Y=b0+b1t+b2t2 例子：某商店某種產(chǎn)品的銷售量如表所示，試預(yù)測1999年的銷售量，并要求在90%的概率保證度下，給出預(yù)測的置信區(qū)間。(y-t0.10SE, y+t0.10SE), t值結(jié)合自由度

4、n-p查詢。 二次曲線實例數(shù)據(jù) 步驟：1選模型 ：散點圖計算差分 2 求模型參數(shù)。 估計標準誤差SE:pniiniYY)(2其中，其中，n為時間序列的長度，為時間序列的長度，p為限制條件，即利用最小二乘法時的所列方程為限制條件，即利用最小二乘法時的所列方程數(shù)，可以簡單理解為直線模型為數(shù)，可以簡單理解為直線模型為2，拋物線模型為，拋物線模型為3，三次曲線為，三次曲線為4，最高次，最高次數(shù)加數(shù)加1。 三次曲線趨勢外推法：步驟同二次曲線，實例數(shù)據(jù)見三次曲線 多次曲線趨勢外推法：同理 計算時可利用power（number，power） 如：12896 =？ 解法：可輸入power（1289，6）求得。

5、四 指數(shù)曲線預(yù)測模型)0(aaeybtt參數(shù)a為時間序列的初期水平，必須大于0。參數(shù)b為時間序列的平均發(fā)展速度，可以為正，負值。 參數(shù)a，b的確定：通常將指數(shù)曲線方程式化為直線形態(tài)后求出(兩邊求對數(shù)LN)。 該曲線模型的判定方法：時間序列逐期增長率大體相同，幾乎按同一比例增減（又稱一階差比率大致相等。）。 這種曲線模型能夠?qū)Ξa(chǎn)品、技術(shù)發(fā)展的早期階段進行合理的描述。 例如：某商品投入市場以來，19891997年的市場需求統(tǒng)計資料如下所示，預(yù)測1998年的需求量？（Excel數(shù)據(jù)演示）年份198919901991199219931994199519961997總需求量165270450740122

6、02010312054609000 指數(shù)曲線適合于市場初期，中后期就不再適用，否則將達到一個荒謬的程度。因為每一種產(chǎn)品的市場都有一個極限，愈接近市場極限，市場發(fā)展速度就愈慢，不可能按指數(shù)規(guī)律無限外推，于是便出現(xiàn)了所謂的修正指數(shù)曲線模型。 五 修正指數(shù)曲線預(yù)測模型bYYYYbbkbaktabkYtttttttt211110 , 0為常數(shù)特點：一階差分的環(huán)比為參數(shù)、為時間，式中：模型形式：待定系數(shù)a，b，k的求法采用“三段和值法”進行。例如：某商品1989-1997年的銷售資料如下所示，預(yù)測1998年的銷售量？年份198919901991199219931994199519961997總需求量50

7、.0 60.068.0 69.971.1 71.7 72.3 72.8 73.2 Y=73.174-22.272x0.5556t市場極限市場極限 利用修正指數(shù)曲線模型，可以判斷一種產(chǎn)品的市場是否達到發(fā)展極限，一般說來，發(fā)展速度慢時，表明冰箱已經(jīng)接近有效市場的上限，如果企業(yè)只生產(chǎn)一種產(chǎn)品，就要考慮開發(fā)其它業(yè)務(wù)。所以該法一般適用于“某些新商品，需求量變化為初期迅速增加，一段時間后逐漸減少，且增長的環(huán)比速度大體相等，最后趨向于某一個正的極限常數(shù)?！焙瘮?shù)圖形ttttbbaYbbaY2lnln 指數(shù)曲線模型不能預(yù)測接近極限值時的特性值，因為當接近某一極限值時，特性值已不按指數(shù)規(guī)律增長。在產(chǎn)品導(dǎo)入期階段，

8、產(chǎn)品需求增長很慢，而隨著時間的推移，社會需求不斷增大，產(chǎn)品在早期的市場中也逐漸完善起來，因而需求量會快速增加，當產(chǎn)品的市場容量接近市場上限時，需求量的增長速度就會慢下來。產(chǎn)品市場發(fā)展的全過程就會經(jīng)歷發(fā)生、發(fā)展、成熟和衰退四個階段，而這正是生長曲線所能描述的。生長曲線又稱S曲線。S曲線（又稱邏輯增長曲線）包括龔珀茲曲線和皮爾曲線。兩種曲線模型特別適用于成熟期商品的預(yù)測。 六 生長曲線模型差分的環(huán)比為常數(shù)數(shù)學(xué)特點：對數(shù)的一階模型形式：曲線一、tbkayGompertz龔珀茲曲線可用于各個周期階段商品的預(yù)測，特別適合處于成熟期商品的預(yù)測。 龔珀茲（Gompartz）：英國統(tǒng)計學(xué)家和數(shù)學(xué)家（17791

9、865），他在研究控制死亡率問題時提出了一種曲線，多用于新產(chǎn)品的研制、發(fā)展、成熟和衰退的分析。例如：某公司連續(xù)9年的銷售量如下，請預(yù)測第10年的銷售量？年份198919901991199219931994199519961997銷量4.946.217.18 7.748.38 8.45 8.73 9.42 10.24 y=10.73x0.48520.7782t10.73是市場的飽和點是市場的飽和點差分的環(huán)比為常數(shù)數(shù)學(xué)特點：倒數(shù)的一階模型形式：二、皮爾曲線btaeLy1皮爾：美國生物學(xué)家和人口統(tǒng)計學(xué)家(Raymond Pearl，18701940年)， 皮爾曲線有時也被稱作邏輯斯蒂(logistic)曲線或生長曲線。由于該曲線可以反映生物的生長過程，所以皮爾曲線在生物繁殖、人口發(fā)展統(tǒng)計和產(chǎn)品生命周期分析等方面都有著廣泛的應(yīng)用。L為時間序列中Y值的極限值。 皮爾曲線模型與龔珀茲曲線一樣都可以描述產(chǎn)品市場的導(dǎo)入、成長、成熟和衰退。對于同一預(yù)測問題，只不過龔珀茲曲線在靠近市場極限值的時候，增長速度比皮