2015年山西省太原市第五中學高三五月月考試卷 數(shù)學(理)

1、2015屆山西省太原市第五中學高三五月月考試卷數(shù)學(理)一選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一選項是符合題目要求的）1. 已知集合, ， 則= （ ）A. B. C. D. 2. 在復平面內(nèi)，復數(shù)的共軛復數(shù)的虛部為 ( )A- B Ci D- i3將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則的一個可能取值為( )A. B. C. 0 D. - 4閱讀程序框圖，若輸入，則輸出分別是（ ） A B C D5某校在一次期中考試結(jié)束后，把全校文、理科文科141312118 6 69 8 810 9 8 9 80 12 6 8 86 9 96第（5

2、）題 圖理科總分前10名學生的數(shù)學成績（滿分150分）抽出來進行對比分析，得到如圖所示的莖葉圖.若從數(shù)學成績高于120分的學生中抽取3人，分別到三個班級進行數(shù)學學習方法交流，則滿足理科人數(shù)多于文科人數(shù)的情況有( )種A 3081 B 1512 C 1848 D 2014 6某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是邊長為1的正方形，則此四面體的外接球的體積為 （ ）正視圖側(cè)視圖俯視圖A B C D7下列說法正確的是（ ）A命題“若 , 則 ”的逆否命題是“若, 則或”;B命題“, ”的否定是“, ”；C“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的充要條件；D已知命題；命題 , 則 “為真命題”.

3、8. 已知點M是DABC的重心，若A=60°，則的最小值為（ ）A B C D29設(shè)分別是方程和的根(其中), 則的取值范圍是( )A. B. C. D. 10已知數(shù)列的前項和為，且，在等差數(shù)列中，且公差.使得成立的最小正整數(shù)為（ ）A2 B3 C4 D5 11已知為拋物線的焦點，點A、B在該拋物線上且位于軸兩側(cè)，且（O為坐標原點），則與面積之和的最小值為( )A. 4 B. C. D. 12已知函數(shù)設(shè)函數(shù)且函數(shù)的零點均在區(qū)間內(nèi),則的最小值為（ ） 二填空題（本題共4個小題，每小5分，滿分20分）13已知，則展開式中的常數(shù)項為_14任取,直線與圓相交于兩點，則的概率是 15. 已知數(shù)

4、列的前項和為， 滿足， 則 16已知， 若 且（a,b,cÎR），則實數(shù)的取值范圍是 三解答題(本大題共6小題，滿分70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17( 本小題滿分12分) 在中，若，且 （1）求角的大??； （2）求的面積.18. ( 本小題滿分12分) 某高校在上學期依次舉行了“法律、環(huán)保、交通”三次知識競賽活動，要求每位同學至少參加一次活動.該高校2014級某班50名學生在上學期參加該項活動的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示. （1）從該班中任意選兩名學生，求他們參加活動次數(shù)不相等的概率.活動次數(shù)參加人數(shù)512510152032第18題圖（2）從該班中任意選兩名學生，用表示這兩

5、人參加活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.（3）從該班中任意選兩名學生，用表示這兩人參加活動次數(shù)之和，記“函數(shù)在區(qū)間（3，5）上有且只有一個零點”為事件A，求事件A發(fā)生的概率.19(本題滿分12分)已知四棱錐中，且底面是邊長為1的正方形，是側(cè)棱上的一點(如圖所示).（1）如果點在線段上，且，求的值；PCDABEF第19題圖（2）在（1）的條件下，求二面角的余弦值.20(本題滿分12分)已知橢圓的離心率為,且過點,拋物線的焦點坐標為.（1）求橢圓和拋物線的方程；(2)若點是直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別是，直線交橢圓于兩點.(i)求證：直線過定點，并求出該定點的坐

6、標；(ii)當?shù)拿娣e取最大值時，求直線的方程.OxyMBALQP第20 題圖21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)（1）若直線是曲線的切線，求的值；（2）若直線是曲線的切線，求的最大值；（3）設(shè)是曲線上相異三點，其中求證：ACPDOEF B選做題：請考生在22,23,24題中任選一題作答，如果多選則按所做的第一題記分，作答時，請涂明題號.22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖,的直徑的延長線與弦的延長線相交于點,為上一點,AEAC ,交于點,且, （I）求的長度. （II）若圓F與圓內(nèi)切，直線PT與圓F切于點T，求線段PT的長度23.(本小題滿分10分）選修44：坐標系與參數(shù)方程已

7、知直線的參數(shù)方程是，圓C的極坐標方程為(1)求圓心C的直角坐標；(2)由直線上的點向圓C引切線，求切線長的最小值24.(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講已知函數(shù) (1) 解關(guān)于的不等式； (2) 若函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方，求的取值范圍.2015屆山西省太原市第五中學高三五月月考試卷參考答案數(shù)學(理)一CBBAC BDBAC BC 二13 _-20_ ；14. ；15.- ；16. , 三解答題17. 解：（1）由題可知：在DABC中，÷÷ = 2, ×cosC + ×cosA = ×sinB，因為： + ，×cosC +

8、 ×cosA = （+）×sinB，即：（cosC sinB） + （cosA sinB） -2分而、是兩不共線向量，所以：Þ cosC cosA，0 < A,C < p , A = C , DABC 為等腰三角形.在等腰DABC中，A + B + C p ， 2A + B = p , A = - ；由上知：cosA = cos( - )= sin = sinB, sin = 2sincos, cos , 0 < < , = , B = ,-6分（2）由（1）知：則A = C = , 由正弦定理得：= , ÷÷ = 2

9、, SDABC = ÷÷×÷÷sin = ×2×2 ×= -12分18.解：（1）從該班任取兩名學生，他們參加活動的次數(shù)恰好相等的概率：P = = ,故P = 1 - = .-4分(2) 從該班中任選兩名學生，用x表示這兩學生參加活動次數(shù)之差的絕對值，則x的可能取值分別為：0 ，1，2，于是P(x = 0)= , P(x = 1)= = ,P(x = 2)= = , 從而x的分布列為：x 0 1 2P Ex = 0´+ 1´ + 2´ = .-8分(3) 因為函數(shù)f(x) = x2 -

10、 hx 1 在區(qū)間(3,5)上有且只有一個零點，則f(3)×f(5) < 0 , 即：(8 - 3h)(24- 5h) < 0 , < h < -10分又由于h的取值分別為：2,3,4,5,6,故h = 3或4, 故所求的概率為：P(A)= = .-12分19解：(1)連接CF并延長交AB于K，連接PK，因為：EF/平面PAB ,EFÌ 平面PCK，平面PCKÇ平面PAB = PK， EF/ PK，因為DF=3FB，AB/CD ， CF=3KF，又因為：EF/ PK， CE= 3PE, = -4分(2) 以C 為原點，CD，CB，CP所在直

11、線為x軸，y軸，z軸建立空間坐標系PCDABEF第19題圖Kxyz（如圖所示）則有：C(0,0,0) , D(1,0,0),A(1,1,0)B(0,1,0),P(0,0,2), E(0,0, ),F(,0)故= (,- ),= (,- ,0)= (,0)-6分設(shè)= (x1 ,y1 ,z1)是平面BEF的一個法向量則有：,取x=1得：= (1，1，)-8分同理：平面CEF的一個法向量為：= (3,-1,0) -10分cos<,> = = 所以：二面角BEFC的余弦值為：- .-12分20解：(1)橢圓C1：+ y2=1；C2：x2=-2y -4分(2)(i)設(shè)點M(x0,y0),且滿

12、足2x0-4y0+3=0,點A(x1,y1) ,B(x2 ,y2), 對于拋物線y= - ,y¢ = - x , 則切線MA的斜率為-x1 ,從而切線MA的方程為：yy1=-x1(x-x1),即：x1x+y+y1=0 ,同理：切線MB的方程為：x2x+y+y2=0 ， 又因為同時過M點，所以分別有：x1x0+y0+y1=0和x2x0+y0+y2=0，因此A，B同時在直線x0x+y+y0=0上，又因為：2x0-4y0+3=0，所以：AB方程可寫成：y0(4x+2)+(2y-3x)= 0,顯然直線AB過定點：(- ,- ).-6分(ii)直線AB的方程為：x0x+y+y0=0，代入橢圓方

13、程中得：(1+4x02)x2+8x0y0x+4y02-4=0令P(x3,y3),Q(x4,y4) , D = 16(4x02- y02+1)>0,x3+x4 = - ；x3x4 = |PQ| = ·= ·-8分點O到PQ的距離為：d= 從而SDOPQ = ·|PQ|·d = ×·×= 2×£ =1 -10分當且僅當y02 = 4x02- y02+1時等號成立,又2x0-4y0+3=0聯(lián)立解得：x0= ,y0= 1或x0= - ,y0= ；從而所求直線AB的方程為：x+2y+2=0 或x-14y-10

14、=0-12分21.解：(1)設(shè)切點為(x0,lnx0), k=f¢(x)= = ,x0 = 2 ,切點為(2,ln2),代入y= x + m得：m = ln2-1.-4分(2)設(shè)y = ax+b切f(x)于(t,lnt)(t>0), f¢(x)= , f¢(t)= ,則切線方程為：y = (x-t)+lnt ,y = x+lnx-1 , a= ,b= lnt-1ab= (lnt-1), 令g(t)= (lnt-1), g¢(t)= - (lnt-1)+ = 若tÎ(0,e2)時，g¢(t)>0， g(t)在(0,e2)上單

15、調(diào)增；tÎ(e2,+¥)時，g¢(t)<0, g(t)在(e2,+¥)上單調(diào)遞減；所以，當t= e2時，ab的最大值為：g(e2)= (lne2-1)= -8分(3)先證：<< ,即證：<< , 只證：1- <ln< - 1 , 令= t >1, 設(shè)h(m) =lntt +1 ,h¢(m)= - 1<0 , 所以：h(t)在(1,+ ¥)上單調(diào)遞減，則h(t)<h(1)=ln1-1+1=0,即證：ln< 1. 以下證明：1- <ln令p(t)= lnt+-1 , p¢(t)= - >0 , 所以：p(t)= lnt+-1在(1,+ ¥)上單調(diào)遞增，即：p(t)>p(1)= 0 ,即有：lnt+-1>0, 1- <ln 獲證.故<< 成立 ,同理可證：<< ，綜上可知：> 成立-12分選做題：請考生在22,23,24題中任選一題作答，如果多選則按所做的第一題記分，作答時，請涂明題號.22.解：（I）連結(jié),由同弧對應(yīng)的圓周角與圓心角之間的關(guān)系A(chǔ)CPDOEF B結(jié)合題中條件弧長等于弧長可得,又,從而,故, 4分