高數A(2)習題課(5)多元函數微分學1

1、課件制作：胡合興課件制作：胡合興 易學軍易學軍二、二、 作業(yè)講析作業(yè)講析三、三、 典型例題講解典型例題講解四、四、 練習題練習題一、一、 內容總結內容總結一、內容總結1.多元函數的概念2.多元函數的極限和連續(xù)性A.極限的定義，二重極限和二次極限的區(qū)別B.連續(xù)性C.有界閉區(qū)域上連續(xù)函數的性質連續(xù)。在點，則稱00MM)()()(lim0MMfMfMf3.偏導數的定義、計算以及幾何意義5.復合函數偏導數的鏈式法則syyusxxusu4.全微分的定義，形式不變性；可微和偏導數存在、偏導數連續(xù)，連續(xù)之間的關系tyyutxxutu二、作業(yè)講析二、作業(yè)講析 略略例1. 若22(,)yf xyxyx+=-求(

2、 , )f x y解解: 22(,)()()yf xyxyxy xyx+=-=-+221()()1yxyxxyxyyxyx-=+=+21( , )1yf x yxy-=+三、典型例題講解三、典型例題講解7例例2 2 求極限 22200sin()lim.xyx yxy+解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 2220 x yxy x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 證明函數22222( , )()x yf x yx yxy=+-

3、解解: 22222000lim(lim)lim00()xyxx yx yxy=+-同理在（0,0）的兩個二次極限存在，但二重極限不存在例3. 22222000lim(lim)lim00()yxyx yx yxy=+-22422224222000limlim()(1)xxyx yx kykxx yxyx kxk=+-+-令但特別取 得兩個不同的極限0,1；故二重極限不存在。0,1k =9習題 證明 不存在 證26300limyxyxyx 取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨k的不同而變化，故極限不存在說明 二重極限Ayxfyyx

4、x),(lim00存在要求點(x,y)在定義域內沿任何路徑以任何方式趨于點(x,y)證明函數(0,0)00( , )(0, )00limlim0yyf x yfyyyy-=解解: 5226(0,0)00200( , )( , )0(0)limlim1lim11xxxxf x yf x yxxxxxx-+=+在點（0,0）處關于x,y的偏導數存在，但在（0,0）點不連續(xù)又5226,( , )(0,0)( , )()0,( , )(0,0)xx yf x yyxxx y=-+= 可見函數在（0,0）點極限不存在，更不連續(xù)但可偏導.例4. 52600001lim( , )limlimxxxyxf x

5、 y yxxx= 例5（1）).,(),(,),(yxfyxfxyxfyxy求設.ln,1xxyxfyxyxfyyyx，解（2）.,),sin(22yzxzyxz求設（1）).cos(2)2)(cos(),cos(22)cos(22222222yxyyyxyzyxxxyxxz（2）例6 設，),(),(yxyxyxf其中),(yx在點）（ 0 , 0連續(xù)，問),(yx在什么條件下偏導數和)0 , 0(xf 存在？)0 , 0(yf 解 利用偏導數定義討論xxxxfxffxxx0)0 ,(lim)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(00要使上式極限存在，左右極限都應存在且相等。)0 , 0

6、()0 ,(lim)0 ,(lim00 xxxxxxxx)0 , 0()0 ,(lim)0 ,(lim00 xxxxxxxx)0 , 0()0 , 0(當時，只能。0)0 , 0(所以當)0 , 0(0)0 , 0(xf 時，存在且. 0)0 , 0(xf同理，當)0 , 0(0)0 , 0(yf 時，存在且. 0)0 , 0(yf例7.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz求，具有二階連續(xù)偏導數設解)1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx xyzyxz 22)(2214fxfxx

7、 )(2)(4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx .2422114213f yf yxfxfx 例8 設, 0 00),(2222 122yxyxeyxfyx討論函數 在點),(yxf），（ 00的可微性。解 由),(yxf可微的定義，只要討論極限dzf 0lim是否趨于0。0)0 , 0(02lim21lim1lim lim)0 , 0()0 ,(lim)00(222210132010100yxxxxxxxxxxfexexexxexfxff同理，02lim21lim1limlimlim)0 , 0()0 , 0()0 , 0(),(lim2222221013201

8、010221)0, 0(,22)0, 0(,eeeeyxeyxyfxffyxfyxyxyxyx）（）（所以， 在點),(yxf），（ 00處可微。則,),0 , 0(),(22yxyyxxfyxff證明連續(xù)函數x,y的兩個偏導數存在但并非可微分.但在（0,0）點關于解解:顯然與k值有關，故不存在從而不可微分( , )f x yxy=02220( , )(0,0)(0,0)(0,0)limlim1xyf x yffxfyxykykxxykrrr-=+同理(0,0)00( , )( ,0)(0,0)0limlim00 xxf x yf xfxxx-=-習題. (0,0)( , )0f x yy=例

9、9.,),(2zyudufzyyxfu有二階連續(xù)偏導數，求設解法1 利用全微分的定義dzfzydyfzfyxdxfydzzyzfdyzyyfyxyfdxyxxfdzdydxduzuyuxu22212122111)(1 )()()()( 解法2 利用一階全微分形式的不變性dzfzydyfzfyxdxfydzzydyzfdyyxdxyfzyfyxdfdu2221212221211)(1 )1()1( )()(于是2222312222222212121122221222121 1)(01)(0 1)(1)(1)(fzfzyfyzxfzzyffzzyffyxfzfzzfzyxzyufzfyxyu 例例

10、10. 設其中 f 與F分別具(),( , , )0,zx f xyF x y z=+=解法解法1 方程兩邊對 x 求導, 得ddzx=32(0)x f FF +ddzx=1F +32 x f FF=-231 x fFF-21x ffx fFF-+-122xF fxF ff F-有一階導數或偏導數, 求ddddyzx ffx fxx-+=+231ddddyzFFFxx+= -f +x f d(1)dyx+.ddxz2ddyFx+3d0dzFx=解法解法2 (),( , , )0zx f xyF x y z=+=方程兩邊求微分, 得化簡消去 即可得yd.ddxz2dFy+3d0Fz+=dx fy+d0z-=dd(dd )zfxx fxy=+123ddd0FxFyFz +=()dfx fx+1dFx )0 , 0(的二次極限和二重極限二、求下列函數在點yxyxyxfyxyxyxyxf1sin1sin)(),(. 2)(),(. 122222練習題 xyarctg(2)u )ln() 1 ( 222yxxz數四、求下例函數的偏導yzxzxyyxueu222)4()cos()3(22.,222222zuyuxuzyxu求設三、五、驗證下列各式02),()(. 20),(. 12222222yuyx