自動(dòng)控制原理 3.1典型輸入作用及時(shí)域性能指標(biāo)

1、3.1 典型輸入作用和時(shí)域性能指標(biāo) 3.1.0 時(shí)域分析 3.1.1 典型輸入作用及其拉氏變換 3.1.2 瞬態(tài)過(guò)程和穩(wěn)態(tài)過(guò)程 3.1.3 瞬態(tài)過(guò)程的性能指標(biāo) 3.1.4 穩(wěn)態(tài)過(guò)程的性能指標(biāo) 時(shí)域分析是指控制系統(tǒng)在一定的輸入信號(hào)作用下，根據(jù)輸出量的時(shí)域表達(dá)式，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。 時(shí)域分析是一種在時(shí)間域中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析的方法，具有直觀和準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)。由于系統(tǒng)的輸出量的時(shí)域表達(dá)式是時(shí)間的函數(shù)，所以系統(tǒng)的輸出量的時(shí)域表達(dá)式又稱為系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。 系統(tǒng)輸出量的時(shí)域表示可由微分方程得到，也可由傳遞函數(shù)得到。在初值為零時(shí)，可利用傳遞函數(shù)進(jìn)行研究，用傳遞函數(shù)間接的評(píng)價(jià)系統(tǒng)的性能指標(biāo)。 控制

2、系統(tǒng)的性能指標(biāo)，可以通過(guò)在輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)過(guò)程來(lái)評(píng)價(jià)。系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)過(guò)程不僅取決于系統(tǒng)本身的特性，還與外加輸入信號(hào)的形式有關(guān)。 3.1.0 時(shí)域分析這表明，在外作用加入系統(tǒng)之前系統(tǒng)是相對(duì)靜止的，被控制量及其各階導(dǎo)數(shù)相對(duì)于平衡工作點(diǎn)的增量為零。典型初始狀態(tài):規(guī)定控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)均為零狀態(tài)，即在 時(shí) 0t0)0()0()0(.yyy 在分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，需要確定一個(gè)對(duì)各種控制系統(tǒng)的性能進(jìn)行比較的基礎(chǔ)，這個(gè)基礎(chǔ)就是預(yù)先規(guī)定一些具有特殊形式的測(cè)試信號(hào)作為系統(tǒng)的輸入信號(hào)，然后比較各種系統(tǒng)對(duì)這些輸入信號(hào)的響應(yīng)。 選取測(cè)試信號(hào)時(shí)必須考慮的原則：選取的輸入信號(hào)的典型形式應(yīng)反映系統(tǒng)工作時(shí)的

3、大部分實(shí)際情況。選取外加輸入信號(hào)的形式應(yīng)盡可能簡(jiǎn)單，易于在實(shí)驗(yàn)室獲得，以便于數(shù)學(xué)分析和實(shí)驗(yàn)研究。應(yīng)選取那些能使系統(tǒng)工作在最不利情況下的輸入信號(hào)作為典型的測(cè)試信號(hào)。在控制工程中采用下列五種信號(hào)作為典型輸入信號(hào) 3.1.1 典型輸入作用及其拉氏變換 脈沖函數(shù)：階躍函數(shù)：tA)(tx0,0, 0)(tAttxA階躍幅度，A=1稱為單位階躍函數(shù)，記為1（t）。 其拉氏變換后的像函數(shù)為：sAtxL)( 斜坡函數(shù)（速度階躍函數(shù)）：0,0, 0)(tBtttxB=1時(shí)稱為單位斜坡函數(shù)。t)(txBttx)( 其拉氏變換后的像函數(shù)為：2)(sBtxL1)(000)(dttttt1)(tL提示：上述幾種典型輸入

4、信號(hào)的關(guān)系如下：21)( 1)(23322AtdtdAtdtdtAdtdtA拋物線函數(shù)（加速度階躍函數(shù)）：0,210, 0)(2tCtttxC=1時(shí)稱為單位拋物線函數(shù)。t)(tx221)(Cttx 其拉氏變換后的像函數(shù)為：3)(sCtxL正弦函數(shù)： ，式中，A為振幅， 為頻率。tASintx)( 其拉氏變換后的像函數(shù)為：22sinnnAL Ats 分析系統(tǒng)特性究竟采用何種典型輸入信號(hào)，取決于實(shí)際系統(tǒng)在正常工作情況下最常見(jiàn)的輸入信號(hào)形式。 當(dāng)系統(tǒng)的輸入具有突變性質(zhì)時(shí)，可選擇階躍函數(shù)為典型輸入信號(hào)；當(dāng)系統(tǒng)的輸入是隨時(shí)間增長(zhǎng)變化時(shí)，可選擇斜坡函數(shù)為典型輸入信號(hào)。 討論系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)時(shí)，通常選擇單

5、位階躍信號(hào)作為典型輸入信號(hào)。典型響應(yīng)： 單位脈沖函數(shù)響應(yīng)單位脈沖函數(shù)響應(yīng)：1)()(sGsY 單位階躍函數(shù)響應(yīng)單位階躍函數(shù)響應(yīng)：ssGsY1)()( 單位斜坡函數(shù)響應(yīng)單位斜坡函數(shù)響應(yīng)：21)()(ssGsY 單位拋物線函數(shù)響應(yīng)：?jiǎn)挝粧佄锞€函數(shù)響應(yīng)：31)()(ssGsY提示：上述幾種典型響應(yīng)有如下關(guān)系：?jiǎn)挝幻}沖單位脈沖函數(shù)響應(yīng)函數(shù)響應(yīng)單位階躍單位階躍函數(shù)響應(yīng)函數(shù)響應(yīng)單位斜坡單位斜坡函數(shù)響應(yīng)函數(shù)響應(yīng)單位拋物線單位拋物線函數(shù)響應(yīng)函數(shù)響應(yīng)積分積分積分積分積分積分微分微分微分微分微分微分 在典型輸入信號(hào)的作用下，任何一個(gè)控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)都由瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)兩部分組成 。1瞬態(tài)響應(yīng)：又稱為瞬態(tài)過(guò)程或

6、過(guò)渡過(guò)程。是指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)的作用下，系統(tǒng)的輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程。n 由于實(shí)際的控制系統(tǒng)存在慣性、阻尼及其它一些因素，系統(tǒng)的輸出量不可能完全復(fù)現(xiàn)輸入量的變化，瞬態(tài)過(guò)程曲線形態(tài)可表現(xiàn)為衰減振蕩、等幅振蕩和發(fā)散等形式。n 瞬態(tài)過(guò)程包含了輸出響應(yīng)的各種運(yùn)動(dòng)特性，這些特性稱為系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。n 一個(gè)可以實(shí)際運(yùn)行的控制系統(tǒng)，瞬態(tài)過(guò)程必須是衰減的。即系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。 3.1.2 瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 2穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：又稱為穩(wěn)態(tài)過(guò)程。是指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)的作用下，當(dāng)時(shí)間趨近于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)狀態(tài)。n 穩(wěn)態(tài)過(guò)程反映了系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度，包含了輸出響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)性能。n 從理論

7、上說(shuō)，只有當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)，才進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過(guò)程，但這在工程應(yīng)用中是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。因此在工程上只討論典型輸入信號(hào)加入后一段時(shí)間里的瞬態(tài)過(guò)程，在這段時(shí)間里，反映了系統(tǒng)主要的瞬態(tài)性能指標(biāo)。而在這段時(shí)間之后，認(rèn)為進(jìn)入了穩(wěn)態(tài)過(guò)程。n 控制系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)的作用下的性能指標(biāo)，由瞬態(tài)性能指標(biāo)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)兩部分組成。n 由于穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行的首要條件，因此只有當(dāng)瞬態(tài)過(guò)程收斂（衰減）時(shí)，研究系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能才有意義。n 在工程應(yīng)用上，通常使用單位階躍信號(hào)作為測(cè)試信號(hào)，來(lái)計(jì)算系統(tǒng)時(shí)間域的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。 3.1.3 瞬態(tài)過(guò)程的性能指標(biāo) 描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下，瞬態(tài)過(guò)程隨時(shí)間t的變化狀況的

8、性能指標(biāo)，稱為瞬態(tài)性能指標(biāo)，或稱為動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。 為了便于分析和比較，假定系統(tǒng)在單位階躍輸入信號(hào)作用前處于靜止?fàn)顟B(tài)，而且輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)均等于零。 穩(wěn)定控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線有衰減振蕩和單調(diào)上升兩種類(lèi)型。（一）衰減振蕩：具有衰減振蕩的瞬態(tài)過(guò)程如圖所示： 延遲時(shí)間 ：dt輸出響應(yīng)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時(shí)間。)(y 上升時(shí)間 ：rt輸出響應(yīng)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值y()所需的時(shí)間。(或指由穩(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時(shí)間)。rt 3.1.3 瞬態(tài)過(guò)程的性能指標(biāo)（衰減振蕩） 最大超調(diào)量(簡(jiǎn)稱超調(diào)量)：%100)()(%maxyyy式中： 輸出響應(yīng)的最大值； maxy)(lim)(t

9、yyt穩(wěn)態(tài)值；輸出響應(yīng)超過(guò)穩(wěn)態(tài)值達(dá)到第一個(gè)峰值ymax所需要的時(shí)間。 峰值時(shí)間 ：pt)(yptmaxy瞬態(tài)過(guò)程中輸出響應(yīng)的最大值超過(guò)穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)。 調(diào)節(jié)時(shí)間或過(guò)渡過(guò)程時(shí)間 ：st當(dāng) 和 之間的誤差達(dá)到規(guī)定的范圍之內(nèi)一般取 的5%或2%，稱允許誤差范圍，用D表示且以后不再超出此范圍的最小時(shí)間。即當(dāng) ，有：)(ty)(y)(ystt )52(%)(|)()(|或yyty)(02. 0)(05. 0yy或st 振蕩次數(shù)N N：srpttt,在上述幾種性能指標(biāo)中， 表示瞬態(tài)過(guò)程進(jìn)行的快慢，是快速性指標(biāo)；而 反映瞬態(tài)過(guò)程的振蕩程度，是振蕩性指標(biāo)。其中 和 是兩種最常用的性能指標(biāo)。N%,%st)(y

10、在調(diào)節(jié)時(shí)間內(nèi)，y(t)偏離 的振蕩次數(shù)?；蛟?tts時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過(guò)程。穩(wěn)態(tài)過(guò)程的性能指標(biāo)主要是穩(wěn)態(tài)誤差。當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)，若系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，穩(wěn)態(tài)誤差是控制系統(tǒng)精度或抗干擾能力的一種度量。)(lim)(lim0ssEteestss穩(wěn)態(tài)過(guò)程的性能指標(biāo)式中：e(t)=給定輸入值-實(shí)際輸出值（單位反饋）；E(s)是系統(tǒng)的誤差。 3.1.4 穩(wěn)態(tài)過(guò)程的性能指標(biāo) 系統(tǒng)應(yīng)該是穩(wěn)定的； 系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，應(yīng)滿足給定的穩(wěn)態(tài)誤差的要求； 系統(tǒng)在瞬態(tài)過(guò)程中應(yīng)有好的快速性。 簡(jiǎn)稱為：穩(wěn)、準(zhǔn)、快 3.1.5 對(duì)一個(gè)控制系統(tǒng)的要求 3.2 一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 3.2.1 一階系

11、統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 3.2.2 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 3.2.3 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 3.2.4 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) 3.2.5 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng) 3.2.6 一階系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：11111)()()(TssRsYsKssKsK式中， ，稱為時(shí)間常數(shù)，開(kāi)環(huán)放大系數(shù)越大，時(shí)間常數(shù)越小。KT1 由一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。其傳遞函數(shù)是 s的一次有理分式。 一階系統(tǒng)的微分方程為：)(sY-sK)(sE)(sR典型的一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。)()()(trtydttdyT 3.2.1 一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型當(dāng)一階系統(tǒng)的輸入信號(hào)為單位脈沖信號(hào)r(t)=d(t)，其

12、拉氏變換為R(s)=1，則系統(tǒng)的輸出為:TsTTsTssRsY/1/1111)()(上式的拉氏反變換稱為一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) ：01)(teTtyTt，一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線 ：一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線為單調(diào)下降的指數(shù)曲線，時(shí)間常數(shù)T越大，響應(yīng)曲線下降越慢，表明系統(tǒng)受到脈沖輸入信號(hào)后，恢復(fù)到初始狀態(tài)的時(shí)間越長(zhǎng)。單位脈沖響應(yīng)的終值均為零 。 3.2.2 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 顯然一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是一條由零開(kāi)始按指數(shù)規(guī)律單調(diào)上升并最終趨于1的曲線。ssR1)(,111)(sTssYTteTssLsTsLty1111111)(1111)()()(TssRsYs當(dāng) 時(shí)一階系統(tǒng)的單位階躍

13、響應(yīng)曲線 ： 3.2.3 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)n 單位階躍響應(yīng)曲線是單調(diào)上升的指數(shù)曲線，為非周期響應(yīng)；n 時(shí)間常數(shù)T反映了系統(tǒng)的慣性，時(shí)間常數(shù)T越大，表示系統(tǒng)的慣性越大，響應(yīng)速度越慢，系統(tǒng)跟蹤單位階躍信號(hào)越慢，單位階躍響應(yīng)曲線上升越平緩。反之，慣性越小，響應(yīng)速度越快，系統(tǒng)跟蹤單位階躍信號(hào)越快，單位階躍響應(yīng)曲線上升越陡峭。由于一階系統(tǒng)具有這個(gè)特點(diǎn)，工程上常稱一階系統(tǒng)為慣性環(huán)節(jié)或非周期環(huán)節(jié)。 3.2.3 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)-特點(diǎn)n 單位階躍響應(yīng)曲線的斜率為：1( )tTy teT0,1)(tetyTt顯然在t=0處的斜率為1/T，并且隨時(shí)間的增加斜率變小。下表表示了單位階躍響應(yīng)曲線上各點(diǎn)的值

14、、斜率與時(shí)間常數(shù)T之間的關(guān)系。 根據(jù)這一特點(diǎn)，可用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)定一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，或測(cè)定系統(tǒng)是否屬于一階系統(tǒng)。 n 一階系統(tǒng)跟蹤單位階躍信號(hào)時(shí)，輸出量和輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間減小，最后趨于零。 輸出量和輸入量之間的位置誤差： Ttetytte)()( 1)(穩(wěn)態(tài)位置誤差 ：0lim)(limTtttete當(dāng)一階系統(tǒng)的輸入信號(hào)為單位斜坡信號(hào)r(t)=t，其拉氏變換為R(s)=1/s2，則系統(tǒng)的輸出為:TsTsTssTsTssRsY/111111)()(22上式的拉氏反變換稱為一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) ：( )(1),0tTy ttTet 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線 ：曲線1表示輸入單位斜坡信

15、號(hào)r(t)=t，曲線2和曲線3分別表示系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)等于T和2T時(shí)的單位斜坡響應(yīng)曲線。 3.2.4 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)n 一階系統(tǒng)在跟蹤單位斜坡信號(hào)時(shí)，總是存在位置誤差，并且位置誤差的大小隨時(shí)間而增大，最后趨于常值T。位置誤差的大小與系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)T也有關(guān)，T越大，位置誤差越大，跟蹤精度越低。反之，位置誤差越小，跟蹤精度越高。 3.2.4 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)特點(diǎn)系統(tǒng)的輸入量和輸出量之間的位置誤差為：)1 ()()()(TteTtytrte系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置誤差為 ：TeTteTttt)1 (lim)(limn 單位斜坡響應(yīng)曲線的斜率為： ( )1tTy te 顯然在t=0時(shí)其斜率為零，并且隨

16、時(shí)間的增加斜率變大，最大斜率為1。 當(dāng)一階系統(tǒng)的輸入信號(hào)為單位加速度信號(hào)r(t)=t2/2，其拉氏變換為R(s)=1/s3，則系統(tǒng)的輸出為:上式的拉氏反變換稱為一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng) ：TsTsTsTssTsTssRsY/111111)()(222330)1 (21)(22teTTtttyTt，一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)曲線 ：曲線1表示輸入單位加速度信號(hào)r(t)=t2/2 ，曲線2和曲線3分別表示系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)等于T和2T時(shí)的單位加速度響應(yīng)曲線。 3.2.5 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)n 一階系統(tǒng)在跟蹤單位加速度信號(hào)時(shí)，總是存在位置誤差，而且位置誤差的大小隨時(shí)間而增大，最后趨于無(wú)窮大。因此，一階

17、系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)對(duì)單位加速度信號(hào)的跟蹤。n 系統(tǒng)的輸入量和輸出量之間的位置誤差為：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置誤差為： )1 ()()()(2TteTTttytrte)1 (lim)(lim2TttteTTtte 3.2.5 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)特點(diǎn)n 單位脈沖信號(hào)與單位階躍信號(hào)的一階導(dǎo)數(shù)、單位斜坡信號(hào)的二階導(dǎo)數(shù)和單位加速度信號(hào)的三階導(dǎo)數(shù)相等。n 單位脈沖響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)的一階導(dǎo)數(shù)、單位斜坡響應(yīng)的二階導(dǎo)數(shù)和單位加速度響應(yīng)的三階導(dǎo)數(shù)也相等。3.2.5 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)線性系統(tǒng)的特點(diǎn)結(jié)論一：一階系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于一階系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。結(jié)論二：這個(gè)性質(zhì)是線性定常系統(tǒng)的一個(gè)重要特性，

18、適用于任何階的線性定常系統(tǒng)，而線性時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)則不具有這個(gè)特性。由：得：n 延遲時(shí)間td ：延遲時(shí)間定義為輸出響應(yīng)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時(shí)間。 Ttde15 . 0Ttd693. 0n 上升時(shí)間tr：設(shè)一階系統(tǒng)輸出響應(yīng)達(dá)到10%穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間為t1，達(dá)到90%穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間為t2，則有: Tte111 . 0Tte219 . 0Tt10536. 01Tt30259. 22解得：所以上升時(shí)間tr為：Ttttr197. 212 3.2.6 一階系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)n 調(diào)整時(shí)間ts :假設(shè)系統(tǒng)的誤差帶寬度為,則根據(jù)調(diào)整時(shí)間的定義有:Ttse1%15324%ln，TTTts得：n 峰值時(shí)間t

19、p 和超調(diào)量%： 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線為單調(diào)上升的指數(shù)曲線，沒(méi)有振蕩，所以峰值時(shí)間和超調(diào)量不存在。 例1：已知一階系統(tǒng)的方塊圖如圖所示。試求該系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的調(diào)整時(shí)間ts；若要求ts0.1秒，求此時(shí)的反饋系數(shù)。)(sC-s100)(sR0.1解：由系統(tǒng)方塊圖求出閉環(huán)傳遞函數(shù)：11 . 010101001 . 01001100)()()(sssssRsYs由閉環(huán)傳遞函數(shù)知時(shí)間常數(shù)T=0.1秒所以：ts=3T=0.3秒（5）若要求ts0.1秒，求此時(shí)的反饋系數(shù)。 可設(shè)反饋系數(shù)為k101. 011001100)()()(skkksssRsYs當(dāng) ，則 ，即 時(shí)ts0.1秒kT01. 01 .

20、 003. 03kTts3 . 0k)(sC-s100)(sRk由此可知：對(duì)一階系統(tǒng)而言反饋加深可使調(diào)節(jié)時(shí)間減小。反饋加深對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)還有什么影響？)1 (310)(30tety由此可知：反饋加深還將使輸出幅值減小。)3011(31013010013 . 01001100)(ssssssssY 3.3 典型二階系統(tǒng)的瞬態(tài)性能 3.3.1 典型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 3.3.2 典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 3.3.3 典型二階系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo) 3.3.4 二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能的改善開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為:sssGnn2)(22閉環(huán)傳遞函數(shù)為:2222)(1)()(nnnsssGsGs)2(2nnss)(sR)

21、(sY-典型結(jié)構(gòu)的二階系統(tǒng)如右圖所示： 由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。它在控制工程中的應(yīng)用極為廣泛。許多高階系統(tǒng)在一定的條件下，也可簡(jiǎn)化為二階系統(tǒng)來(lái)研究。典型二階系統(tǒng)的微分方程 ：0)()(2)(222ttrtydtdyTdttydT， 3.3.1 典型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 稱為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)， 稱為阻尼系數(shù)， 稱為無(wú)阻尼振蕩圓頻率或自然頻率。這兩個(gè)參數(shù)稱為二階系統(tǒng)特征參數(shù)。T稱為二階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。 )(sn1212)(1)()(22222TssTsssGsGsnnn122, 1nnp其特征根為：二階系統(tǒng)的特征方程為：0222nnss注意：當(dāng) 不同時(shí)，特征根有不同的形式，系統(tǒng)的

22、階躍響應(yīng)形式也不同。它的階躍響應(yīng)有振蕩和非振蕩兩種情況。 當(dāng) 時(shí)，特征方程有一對(duì)共軛的虛根，稱為零(無(wú))阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為持續(xù)的等幅振蕩。0 當(dāng) 時(shí)，特征方程有一對(duì)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根，稱為欠阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為衰減的振蕩過(guò)程。10 當(dāng) 時(shí)，特征方程有一對(duì)相等的實(shí)根，稱為臨界阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過(guò)程。1 當(dāng) 時(shí)，特征方程有一對(duì)不等的實(shí)根，稱為過(guò)阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過(guò)程。1122, 1nnp當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)， ，有： ssR1)(ssssssYnnn121)()(222222221)()(nnnssssssY0cos1)(tttyn當(dāng) 時(shí)，極點(diǎn)為：0nj

23、p2, 1 此時(shí)輸出將以頻率 做等幅振蕩，所以, 稱為無(wú)阻尼振蕩圓頻率。nn121)()(22211sssLssLtynnn 3.3.2 典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)輸入階躍信號(hào)和階躍響應(yīng)之間的誤差 ：0cos)(1)()()(tttytytrten， 誤差曲線呈現(xiàn)等幅振蕩形式。即系統(tǒng)在無(wú)阻尼情況下，不能跟蹤輸入的單位階躍信號(hào)。 2222222121)(nnnnnnssssssssY2222)()(221nnnnnssss222)1()(1nnnnsss222222)1()()1()(1nnnnnnssss 當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)極點(diǎn)為：1022, 11nnjp 稱為阻尼振蕩頻率。 21nd0,)1sin

24、(1)1cos(1)(222tttetynntn22222222)1()(11)1()(1nnnnnnssss)sin()(22btebasbat)cos()(22btebasasat0, )11sin(11)(2122ttgtetyntn0, )11sin(11)(2122ttgtetyntnn 在欠阻尼(0-p2時(shí)，在兩個(gè)衰減的指數(shù)項(xiàng)中，后者衰減的速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于前者，即此時(shí)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)主要由前者來(lái)決定，或者說(shuō)主要由極點(diǎn)p1決定，因而過(guò)阻尼二階系統(tǒng)可以由具有極點(diǎn)-p1的一階系統(tǒng)來(lái)近似表示。 上述四種情況分別稱為二階無(wú)阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過(guò)阻尼系統(tǒng)。其阻尼系數(shù)、特征根、極點(diǎn)分布和單位階

25、躍響應(yīng)形式如下表所示：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)極點(diǎn)位置特征根阻尼系數(shù)單調(diào)上升兩個(gè)互異負(fù)實(shí)根單調(diào)上升一對(duì)負(fù)實(shí)重根 衰減振蕩一對(duì)共軛復(fù)根(左半平面） 等幅周期振蕩一對(duì)共軛虛根 無(wú)阻尼, 0njs2, 1欠阻尼, 1o22, 11nnjs臨界阻尼，1)(2, 1重根ns過(guò)阻尼，1122, 1nns可以看出：隨著 的增加，y(t)將從無(wú)衰減的周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)橛兴p的正弦運(yùn)動(dòng)，當(dāng) 時(shí)y(t)呈現(xiàn)單調(diào)上升運(yùn)動(dòng)(無(wú)振蕩)?？梢?jiàn) 反映實(shí)際系統(tǒng)的阻尼情況，故稱為阻尼系數(shù)。1（一）衰減振蕩瞬態(tài)過(guò)程 ：) 10(0, )11sin(11)(2122ttgtetyntn 上升時(shí)間 ：根據(jù)定義，當(dāng) 時(shí)， 。rtt rt1)(rty1)

26、11sin(112122tgterntrn0)11sin(212tgtrn，210211212kktgtrn 3.3.3 典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)（衰減振蕩瞬態(tài)過(guò)程）取 k=0，得： )1(111121212tgtgtdnr 稱為阻尼角，這是由于 。cos21)(tgtg而21ndrt)1(21tg2211nntgn21nj21njn 峰值時(shí)間 ：當(dāng) 時(shí)，ptptt 0)(pty0)cos(1)sin(1)(22pddtpdtntetetypnpntgttgndpd21)(整理得：,.)2 , 1 , 0( nntpd由于 出現(xiàn)在第一次峰值時(shí)間，取n=1，有：dnpt21pt0, )sin(11

27、)(2ttetydtn211tg其中0)cos()sin(pddpdntt00.10.20.30.40.50.60.70.80.910510152025rnpnttdrtdptsin11)sin(11)(212122eetyp 最大超調(diào)量 ：%max)()(ytytyp得將峰值時(shí)間 代入dpt0, )sin(11)(2ttetydtn21sinn21nj21njn211)(etyp%100) 1)(%100)()()(%pptyyyty故：%100%21e%100%10021ctgeenn最大超調(diào)量?jī)H與阻尼系數(shù)有關(guān)。 調(diào)節(jié)時(shí)間 ：st可見(jiàn)，寫(xiě)出調(diào)節(jié)時(shí)間的表達(dá)式是困難的。由右圖可知響應(yīng)曲線總在一

28、對(duì)包絡(luò)線之內(nèi)。包絡(luò)線為： 根據(jù)調(diào)節(jié)時(shí)間的定義，當(dāng)tts時(shí) |y(t) - y()| y() %。%)1tgsin(1212tedtn211)(tbnetynst%)1ln(2當(dāng)t=ts時(shí)，有： 由于實(shí)際響應(yīng)曲線的收斂速度比包絡(luò)線的收斂速度要快，因此可用包絡(luò)線代替實(shí)際響應(yīng)來(lái)估算調(diào)節(jié)時(shí)間。即認(rèn)為響應(yīng)曲線的包絡(luò)線進(jìn)入誤差帶時(shí)，調(diào)整過(guò)程結(jié)束。當(dāng) 較小時(shí)，近似?。?，且1124912. 3)02. 0ln(3996. 2)05. 0ln(時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)52,3,4nnst所以%1112snte說(shuō)明：n 調(diào)整時(shí)間與系統(tǒng)特征根的實(shí)部數(shù)值成反比。系統(tǒng)特征根距虛軸的距離越遠(yuǎn)，系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間越短。 n 由于阻尼系數(shù)z的

29、選取主要是根據(jù)對(duì)系統(tǒng)超調(diào)量的要求來(lái)確定的，所以調(diào)整時(shí)間主要由無(wú)阻尼振蕩頻率wn決定。n 若能保持阻尼系數(shù)不變而增加無(wú)阻尼振蕩頻率wn值，則可以在不改變超調(diào)量的情況下縮短調(diào)整時(shí)間。 52當(dāng)當(dāng),3,4nnst22, 11nnjp5. 振蕩次數(shù)N：振蕩次數(shù)定義為在0t1，其單位階躍響應(yīng)為： 01)11(1211)(21222121212)1(2)1(2teTTTeTTTeetyTtTtttnn，同樣可以根據(jù)確定的阻尼系數(shù) 值，由牛頓迭代法求得系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間。比如： 當(dāng)1.25時(shí)： 5/6 . 62/4 . 8，nnst過(guò)阻尼二階系統(tǒng)調(diào)整時(shí)間曲線通常，都希望控制系統(tǒng)有較快的響應(yīng)時(shí)間，即希望系統(tǒng)的阻尼系

30、數(shù)在01之間。而不希望處于過(guò)阻尼情況(1)，因?yàn)檎{(diào)節(jié)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)。但對(duì)于一些特殊的系統(tǒng)不希望出現(xiàn)超調(diào)系統(tǒng)（如液位控制）和大慣性系統(tǒng)（如加熱裝置），則可以處于(1)的情況。 需要說(shuō)明的是，在所有非振蕩過(guò)程中，臨界阻尼系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間最小。極點(diǎn)位置與階躍響應(yīng)形式的關(guān)系單位階躍響應(yīng)極點(diǎn)位置特征根阻尼系數(shù)單調(diào)上升兩個(gè)互異負(fù)實(shí)根單調(diào)上升一對(duì)負(fù)實(shí)重根 衰減振蕩一對(duì)共軛復(fù)根(左半平面） 等幅周期振蕩一對(duì)共軛虛根 無(wú)阻尼, 0njs2,1欠阻尼, 1o22, 11nnjs臨界阻尼，1)(2, 1重根ns過(guò)阻尼，1122, 1nns 3.3.3 典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)（小結(jié)） 阻尼系數(shù)、阻尼角與最大超調(diào)量的關(guān)系 =c

31、os-1 % =cos-1 %0.184.2672.90.6946.3750.278.4652.70.745.574.60.372.5437.230.707454.30.466.4225.380.7838.7420.56016.30.836.871.50.653.139.840.925.840.15極點(diǎn)位置與特征參數(shù)、n及性能指標(biāo)的關(guān)系 極點(diǎn)距虛軸的距離與系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間成反比(00.8) n是極點(diǎn)到原點(diǎn)的直線距離，距離越大振蕩頻率越高。對(duì)于臨界阻尼和過(guò)阻尼情況，此規(guī)律也存在。 為了改善系統(tǒng)性能而改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)或附加具有一定功能的環(huán)節(jié)的方法稱為對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正。附加環(huán)節(jié)稱為校正環(huán)節(jié)。比例微分

32、控制和速度反饋是較常用的校正方法。1比例微分控制：比例微分控制，通常是在系統(tǒng)的前向通道上加入比例微分控制環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)由比例環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)并聯(lián)而成，其傳遞函數(shù)為： skksGdpc)(式中，和kp和kd分別稱為比例和微分系數(shù)。 3.3.4 改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施-比例微分控制具有比例微分校正的二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為: pndnndpnksksskksRsYs2222)2()()()()(改寫(xiě)為: 2222)(1)(kdkdkdkdsszszs/2ndkdpnkdpkkk，,dpkkz 其中: 二階系統(tǒng)引進(jìn)比例微分校正后，當(dāng)比例系數(shù)kp1時(shí)，系統(tǒng)的無(wú)阻尼振蕩頻率kd和阻尼系數(shù)kd都增大了，這

33、是否表明系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間都將減小，從而使系統(tǒng)的瞬態(tài)性能得到改善呢？ 具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的零、極點(diǎn)位置： 2222)(1)(nnnsszszs22212211nnnnzzlztgtg，1-系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為： )()()2(1)2(1)()(21222222sYsYsssszssssssYnnnnnn)2(1)(,)2()(22222221nnnnnnsssszsYssssY01sin11)11sin(11)()()(22212221tteztgtetytytyntnntnn，分別為典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和附加零點(diǎn)引起的分量。 2222)(1)(nnnsszszs)2(1)(,)2(

34、)(22222221nnnnnnsssszsYssssY)(1)(12ssYzsY又：即：dttdyzty)(1)(12因此，具有附加零點(diǎn)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)還可以寫(xiě)為：dttdyztyty)(1)()(11由圖看出：由于y2的影響，使得具有附加零點(diǎn)的二階系統(tǒng)比典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)具有更快的響應(yīng)速度和更大的超調(diào)量 。 為了更加清楚地說(shuō)明附加零點(diǎn)對(duì)二階系統(tǒng)的影響，用a表示附加零點(diǎn)與典型二階系統(tǒng)復(fù)數(shù)特征根的實(shí)部之比，即：nza附加零點(diǎn)位置對(duì)y(t)的影響 隨著a的減小，即附加零點(diǎn)越趨向于虛軸，y(t)的超調(diào)量將明顯增大，附加零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響愈加顯著。 具有附加零點(diǎn)的二階系統(tǒng)主要性能指標(biāo) y

35、(t)緊湊形式： )1sin(11)(22tzletyntn2超調(diào)量%： %,1002%21)(222errzrn/21)(nrt1上升時(shí)間tr 3調(diào)整時(shí)間ts ：)5(1)ln3()2(1)ln4(，nsnszltzlta與超調(diào)量%的關(guān)系 超調(diào)量%與a的關(guān)系: 例如：當(dāng)=0.3，a=7或=0.5，a=4時(shí)，附加零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)超調(diào)量的影響可以忽略。 l 典型二階系統(tǒng)引入比例微分校正后，系統(tǒng)的無(wú)阻尼振蕩頻率wn和阻尼系數(shù)z都可以增加。從這個(gè)角度說(shuō)，系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間可以減小。l 同時(shí)系統(tǒng)的表現(xiàn)形式變?yōu)楦郊恿艘粋€(gè)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)，附加一個(gè)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)相對(duì)典型二階系統(tǒng)（在無(wú)阻尼振蕩頻率wn和阻尼系數(shù)z不變的情況下 ）來(lái)說(shuō)，超調(diào)量增大，響應(yīng)速度加快。l 綜合起來(lái)，典型二階系統(tǒng)引入比例微分校正后，只要比例系數(shù)kp和微分系數(shù)kd選擇恰當(dāng)，其瞬態(tài)性能指標(biāo)能得到較好的改善。 討論：引進(jìn)比例微分校正前后，二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線的一個(gè)例子 曲線1、2分別為未引入和引入比例微分校正后的單位階躍響應(yīng)曲線。很顯然，引入比例微分校正后，系統(tǒng)的響應(yīng)速度加快，超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間減小。2速度反饋校正： 利用系統(tǒng)輸出信號(hào)y(t)的微分作為反饋信號(hào)，與輸出