2-2-收斂數(shù)列的性質(zhì)與收斂判定

1、南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系12010年8月1.唯一性唯一性2.有界性有界性3.保號(hào)性保號(hào)性4.保不等式性保不等式性5.迫斂性（夾逼性）迫斂性（夾逼性）6.四則運(yùn)算法則四則運(yùn)算法則7.子數(shù)列的收斂性子數(shù)列的收斂性收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系22010年8月1、唯一性、唯一性定理定理 每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限. .證證,lim,limbxaxnnnn 又又設(shè)設(shè)由定義由定義,使得使得., 021NN ;1 axNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng);2 bxNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng) ,max21NNN 取取時(shí)有時(shí)有則當(dāng)則當(dāng)Nn )()(axbxbann a

2、xbxnn .2 .時(shí)才能成立時(shí)才能成立上式僅當(dāng)上式僅當(dāng)ba 故收斂數(shù)列極限唯一故收斂數(shù)列極限唯一.南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系32010年8月2、有界性有界性例如例如,;1 nnxn數(shù)列數(shù)列.2nnx 數(shù)列數(shù)列數(shù)軸上對(duì)應(yīng)于有界數(shù)列的點(diǎn)數(shù)軸上對(duì)應(yīng)于有界數(shù)列的點(diǎn)nx都落在閉區(qū)間都落在閉區(qū)間,MM 上上.有界有界無(wú)界無(wú)界南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系42010年8月定理定理 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義, 1 取取, 1, axNnNn時(shí)恒有時(shí)恒有使得當(dāng)使得當(dāng)則則. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆有皆有

3、則對(duì)一切自然數(shù)則對(duì)一切自然數(shù) .有界有界故故nx注意：注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論推論 無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散. .南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系52010年8月若 ，則對(duì)任何 ,存在數(shù)N，使得當(dāng)nN時(shí)，有 lim0nnaa 3、保號(hào)性保號(hào)性(0,)aa naa 意義：收斂數(shù)列極限的符號(hào)決定了該數(shù)意義：收斂數(shù)列極限的符號(hào)決定了該數(shù)列中絕大部分項(xiàng)的符號(hào)列中絕大部分項(xiàng)的符號(hào)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系62010年8月4.保不等式性保不等式性定理定理 設(shè),nnyx皆收斂，若,limlimnnnnyx則，。nnyxN時(shí)，當(dāng)nN,南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)

4、學(xué)系72010年8月推論推論 , 0limbynn若則，N時(shí)，當(dāng)nN,. 02|byn推論推論若使N,nnxy則N成立，對(duì)n .limlimnnnnyx南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系82010年8月5.極限的夾逼性極限的夾逼性本性質(zhì)既給出了判別數(shù)列收斂的方法；又提本性質(zhì)既給出了判別數(shù)列收斂的方法；又提供了一個(gè)計(jì)算數(shù)列極限的方法。供了一個(gè)計(jì)算數(shù)列極限的方法。南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系92010年8月解：解： 記記 ， 這里這里 ，注意注意: :,.利利用用夾夾逼逼準(zhǔn)準(zhǔn)則則求求極極限限關(guān)關(guān)鍵鍵是是構(gòu)構(gòu)造造出出與與并并且且與與 的的極極限限是是容容易易求求的的nnnnyzyz例例1 求數(shù)列求數(shù)列

5、 的極限。的極限。nnnnnhna 1)1(0 nhn12111 nhann則有：則有：左右兩邊的極限均為左右兩邊的極限均為1， 故由夾逼性本例得證故由夾逼性本例得證。南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系102010年8月例例2 2 ).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼性得由夾逼性得. 1)12111(lim222 nnnnn南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系112010年8月6.極限的四則運(yùn)算極限的四則運(yùn)算定理定理 設(shè)設(shè),lim,limbyaxnnnn則則,l

6、imlim)(limbayxyxnnnnnnn。)0(limlimlimbbayxyxnnnnnnn（1）（這里（這里,為常數(shù)）。為常數(shù)）。（2）。abyxyxnnnnnnnlimlim)(lim（3）南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系122010年8月 000,0, 和和 為為非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)abmk 00101101, ,lim0, , ,mmmkknkakmba na nakmb nbnbkm例例3 求求101101limmmmkknka na nab nb nb 南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系132010年8月練習(xí)練習(xí)n1 求求 ，其中，其中 。n2 求求 。lim1nnnaa 1 a)1

7、(limnnnn 南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系142010年8月7、子數(shù)列的收斂性、子數(shù)列的收斂性 定定義義：在在數(shù)數(shù)列列中中任任意意抽抽取取無(wú)無(wú)限限多多項(xiàng)項(xiàng)并并保保持持這這些些項(xiàng)項(xiàng)在在原原數(shù)數(shù)列列中中的的先先后后次次序序，這這樣樣得得到到的的一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)列列稱稱為為原原數(shù)數(shù)列列的的子子數(shù)數(shù)列列（或或子子列列）nnnxxx,21nixxxx,21knnnxxx .在在子子數(shù)數(shù)列列中中，一一般般項(xiàng)項(xiàng)是是第第項(xiàng)項(xiàng)，而而在在原原數(shù)數(shù)列列中中卻卻是是第第項(xiàng)項(xiàng)，顯顯然然，kkknnnnkkxxkxxnnk 注意：注意：例如，例如，南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系152010年8月定理定理 收斂數(shù)列的任一

8、子數(shù)列也收斂且極限相同收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂且極限相同證證 的任一子數(shù)列的任一子數(shù)列是數(shù)列是數(shù)列設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列nnxxk,limaxnn ., 0, 0 axNnNn恒有恒有時(shí)時(shí)使使,NK 取取,時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)Kk .NnnnKkk . axkn.limaxknk 證畢證畢南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系162010年8月推論推論 若數(shù)列存在兩個(gè)子數(shù)列分別收斂于不若數(shù)列存在兩個(gè)子數(shù)列分別收斂于不同的極限，則這個(gè)數(shù)列必發(fā)散。同的極限，則這個(gè)數(shù)列必發(fā)散。注注 該推論是證明數(shù)列必發(fā)散的很好的工具。該推論是證明數(shù)列必發(fā)散的很好的工具。南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系172010年8月例例41( 1).證證

9、明明數(shù)數(shù)列列 是是發(fā)發(fā)散散的的nnx 證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義,21 對(duì)于對(duì)于,21,成立成立有有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng)則則 axNnNn),21,21(, aaxNnn時(shí)時(shí)即當(dāng)即當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度為區(qū)間長(zhǎng)度為1.,1, 1兩個(gè)數(shù)兩個(gè)數(shù)無(wú)休止地反復(fù)取無(wú)休止地反復(fù)取而而 nx不可能同時(shí)位于不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為1的的區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi)., ,但卻發(fā)散但卻發(fā)散是有界的是有界的事實(shí)上事實(shí)上nx南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系182010年8月用子數(shù)列刻畫(huà)數(shù)列不收斂于用子數(shù)列刻畫(huà)數(shù)列不收斂于a 數(shù)數(shù)列列不不收收斂斂于于naa 000 存存在在的的子子列列以以及及，滿滿足足kknnnaaaa 南京航空航天大

10、學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系192010年8月數(shù)列極限的兩大問(wèn)題數(shù)列極限的兩大問(wèn)題n數(shù)列極限的存在性；數(shù)列極限的存在性； （此問(wèn)題為最關(guān)鍵的問(wèn)題）（此問(wèn)題為最關(guān)鍵的問(wèn)題）n數(shù)列極限值的大??；數(shù)列極限值的大?。?（存在性成立后，（存在性成立后， 才想辦法計(jì)算極限）才想辦法計(jì)算極限）南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系202010年8月幾種證明極限存在的方法：幾種證明極限存在的方法：n按照數(shù)列極限的定義證明。按照數(shù)列極限的定義證明。n按照奇、偶子列的收斂性證明。按照奇、偶子列的收斂性證明。n利用夾逼準(zhǔn)則證明。利用夾逼準(zhǔn)則證明。最簡(jiǎn)單的思想是利用數(shù)列本身的性質(zhì)最簡(jiǎn)單的思想是利用數(shù)列本身的性質(zhì)證明數(shù)列極限的存在性證明數(shù)

11、列極限的存在性南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系212010年8月數(shù)列極限存在的判別準(zhǔn)則數(shù)列極限存在的判別準(zhǔn)則n1. 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則n2. 數(shù)列極限的歸并原理數(shù)列極限的歸并原理n3. Weierstrass定理定理n4. 柯西柯西(Cauchy)收斂原理收斂原理南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系222010年8月x1x2x3x1 nxnx滿足條件滿足條件如果數(shù)列如果數(shù)列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列幾何解釋幾何解釋:AM一、單調(diào)有界準(zhǔn)則一、單調(diào)有界準(zhǔn)則定理定理 1 單調(diào)有界數(shù)列必收斂。單調(diào)有界數(shù)列必收斂。南京航空航天大學(xué) 理學(xué)

12、院數(shù)學(xué)系232010年8月幾點(diǎn)說(shuō)明：幾點(diǎn)說(shuō)明： 通常該準(zhǔn)則變通為：通常該準(zhǔn)則變通為： 1） 單調(diào)遞增有上界的數(shù)列存在極限。單調(diào)遞增有上界的數(shù)列存在極限。 2） 單調(diào)遞減有下界的數(shù)列存在極限。單調(diào)遞減有下界的數(shù)列存在極限。 本定理只是證明了存在性本定理只是證明了存在性。 本定理只對(duì)一類特殊的數(shù)列可以判別存在性。本定理只對(duì)一類特殊的數(shù)列可以判別存在性。 此定理的條件為充分非必要條件。此定理的條件為充分非必要條件。 ,.2 , 1,1)1( nnann南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系242010年8月證明：證明： 遞增顯然，下面證明有上界，事實(shí)上遞增顯然，下面證明有上界，事實(shí)上： 例例1 設(shè)設(shè)其中其中

13、 ，證明，證明 收斂。收斂。,.2 , 1,1.31211 nnan 2 nana2221.31211nan ,.2 , 1,12 nnnn )1(1.3212111 南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系252010年8月例例2 證明證明 存在存在。nnn)11(lim 證明：證明：111111.11.11)1(1111 nkknnnnnCnnnankknnnnnCnnna 1.1.1111 nknnknkknnnnCkkkn11.2111!1 1!)1).(1(1南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系262010年8月 nnnnnnknnknan11.2111!1 11.2111!1 .11! 2111

14、的展開(kāi)式中共有的展開(kāi)式中共有 項(xiàng)，每一項(xiàng)為正數(shù)項(xiàng)，每一項(xiàng)為正數(shù)。na1 n南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系272010年8月 11.121111)!1(1 111.121111!1 111.121111!1 .111! 21111nnnnnnnnnnnknnknan 的展開(kāi)式中共有的展開(kāi)式中共有 項(xiàng)，每一項(xiàng)為正數(shù)項(xiàng)，每一項(xiàng)為正數(shù)。1 na2 n南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系282010年8月不難發(fā)現(xiàn)有不難發(fā)現(xiàn)有： 111.121111!111.2111!1nknnknknnk即即 的第的第 項(xiàng)小于項(xiàng)小于 的第的第 項(xiàng)，項(xiàng)，此外此外 比比 還多了一個(gè)正數(shù)項(xiàng)，故還多了一個(gè)正數(shù)項(xiàng)，故nana1 na1

15、 nakk,.2 , 1,1 naann嚴(yán)格增加嚴(yán)格增加南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系292010年8月!1.! 31! 212nan nn )1(1.32121231-3 n下面證明有上界下面證明有上界：南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系302010年8月二、數(shù)列極限的歸并原理二、數(shù)列極限的歸并原理數(shù)列收斂與其子數(shù)列收斂的密切聯(lián)系：數(shù)列收斂與其子數(shù)列收斂的密切聯(lián)系：n1 若數(shù)列收斂，則其任意子數(shù)列也收斂（并且收斂到同一極限）n2 若數(shù)列的奇數(shù)列和偶數(shù)列都收斂到同一極限，則原數(shù)列也收斂到該極限南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系312010年8月歸并原理歸并原理limnnaa 數(shù)列收斂數(shù)列收斂 A. l

16、im的的每每個(gè)個(gè)子子列列都都有有 kknnnkaaaa B. 的的每每個(gè)個(gè)子子列列都都收收斂斂， 并并且且至至少少一一個(gè)個(gè)極極限限為為knnaaa任意子數(shù)列收斂任意子數(shù)列收斂南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系322010年8月三、三、Weierstrass 定理定理考慮有界數(shù)列和收斂數(shù)列之間的關(guān)系考慮有界數(shù)列和收斂數(shù)列之間的關(guān)系收斂數(shù)列一定有界收斂數(shù)列一定有界有界數(shù)列未必收斂有界數(shù)列未必收斂WeierstrassWeierstrass定理定理 有界數(shù)列必有收斂子數(shù)列有界數(shù)列必有收斂子數(shù)列南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系332010年8月四、四、柯西柯西收斂原理收斂原理（一）（一）Cauchy數(shù)列（基

17、本數(shù)列）數(shù)列（基本數(shù)列）:nx Cauchynx則則稱稱是是數(shù)數(shù)列列（基基本本數(shù)數(shù)列列）定義定義 如果對(duì)如果對(duì)|,nmxx ,Nn mN，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系342010年8月（二）柯西收斂原理（二）柯西收斂原理定理定理 7 7 ( (柯西收斂原理柯西收斂原理) )nx收斂收斂nx為基本數(shù)列。為基本數(shù)列。南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系352010年8月柯西柯西(Cauchy)收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則 na數(shù)數(shù)列列收收斂斂0,mnNm nN aa使使得得0,N ,npnNnNpaa 使使得得及及南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系362010年8月柯西柯西(Cauchy)收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則 n

18、a數(shù)數(shù)列列不不收收斂斂000,mnNm nNaa使使得得000,N ,npnnpaa 使使得得南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系372010年8月柯西柯西(Cauchy)收斂準(zhǔn)則的意義收斂準(zhǔn)則的意義n收斂數(shù)列的各項(xiàng)越到后面，項(xiàng)之間幾乎收斂數(shù)列的各項(xiàng)越到后面，項(xiàng)之間幾乎“擠擠”在了一起。在了一起。n判別判別 的收斂性只要根據(jù)本身滿足的特的收斂性只要根據(jù)本身滿足的特性就可以判別，不需要引入別的數(shù)列作參性就可以判別，不需要引入別的數(shù)列作參照。照。n把數(shù)列項(xiàng)與其極限的關(guān)系變換為數(shù)列各個(gè)把數(shù)列項(xiàng)與其極限的關(guān)系變換為數(shù)列各個(gè)項(xiàng)之間的關(guān)系。項(xiàng)之間的關(guān)系。 na南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系382010年8月例例

19、3 1111,.23nnaan設(shè)設(shè)證證明明發(fā)發(fā)散散 na數(shù)數(shù)列列發(fā)發(fā)散散000,N ,npnnpaa 使使得得利用：利用：可以?。嚎梢匀。?12pn ，南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系392010年8月柯 西 柯西（柯西（Cauchy，Augustin Louis1789-1857），十九世紀(jì)前半世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)），十九世紀(jì)前半世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家。家。 他的特長(zhǎng)是在分析學(xué)方面，他對(duì)微積分給出了嚴(yán)密的基礎(chǔ)。他還證明了復(fù)變函數(shù)他的特長(zhǎng)是在分析學(xué)方面，他對(duì)微積分給出了嚴(yán)密的基礎(chǔ)。他還證明了復(fù)變函數(shù)論的主要定理以及在實(shí)變數(shù)和復(fù)變數(shù)的情況下微分方程解的存在定理，這些都是很重論的主要定理以及在實(shí)變數(shù)和復(fù)變數(shù)的情況下微分方程解的存在定理，這些都是很重要的。他的全集卷，僅次于歐拉，居第二位。要的。他的全集卷，僅次于歐拉，居第二位。柯西是歷史上有數(shù)的大分析學(xué)家之一。幼年時(shí)在父親的教導(dǎo)下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。拉格朗柯西是歷史上有數(shù)的大分析學(xué)家之一。幼年時(shí)在父親的教導(dǎo)下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)