高等代數(shù) 第三版§1.9 有理系數(shù)多項(xiàng)式

1、多項(xiàng)式多項(xiàng)式理論是高等數(shù)學(xué)理論是高等數(shù)學(xué)研究的基本對(duì)象之研究的基本對(duì)象之一，在整個(gè)高等代數(shù)一，在整個(gè)高等代數(shù)課程中既相對(duì)獨(dú)立，又課程中既相對(duì)獨(dú)立，又貫穿其他章節(jié)。換句話(huà)貫穿其他章節(jié)。換句話(huà)說(shuō)，多項(xiàng)式理論的討論說(shuō)，多項(xiàng)式理論的討論可以不依賴(lài)于高等數(shù)學(xué)可以不依賴(lài)于高等數(shù)學(xué)的其他內(nèi)容而自成體的其他內(nèi)容而自成體系，卻可為其他章節(jié)系，卻可為其他章節(jié)的內(nèi)容提供范例與的內(nèi)容提供范例與理論依據(jù)。理論依據(jù)。 第一章第一章 多項(xiàng)式多項(xiàng)式1 數(shù)域2一元多項(xiàng)式一元多項(xiàng)式3 整除的概念整除的概念4 最大公因式最大公因式5 因因 式式 分分 解解6 重重 因因 式式7 多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)8 復(fù)、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式復(fù)、實(shí)系數(shù)多

2、項(xiàng)式9 有理系數(shù)多項(xiàng)式有理系數(shù)多項(xiàng)式10 多元多項(xiàng)式多元多項(xiàng)式11 對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式問(wèn)題的引入問(wèn)題的引入 1. 由因式分解定理，作為一個(gè)特殊情形：由因式分解定理，作為一個(gè)特殊情形：對(duì)對(duì) 則則 可唯一分解可唯一分解 ( ) ,( )1,f xQ xf x( )f x成不可約的有理系數(shù)多項(xiàng)式的積成不可約的有理系數(shù)多項(xiàng)式的積.但是，如何作出它的分解式卻很復(fù)雜，沒(méi)有一個(gè)但是，如何作出它的分解式卻很復(fù)雜，沒(méi)有一個(gè)一般的方法一般的方法. 2. 我們知道，在我們知道，在 上只有一次多項(xiàng)式才是不可約上只有一次多項(xiàng)式才是不可約 C多項(xiàng)式；多項(xiàng)式；在在 上，不可約多項(xiàng)式只有一次多項(xiàng)式與某些上，不可約多項(xiàng)式只有

3、一次多項(xiàng)式與某些R二次多項(xiàng)式；二次多項(xiàng)式；但在但在 上有任意次數(shù)的不可約上有任意次數(shù)的不可約多項(xiàng)式如多項(xiàng)式如 Q2,.nxnZ 如何判斷如何判斷 上多項(xiàng)式的不可約性呢上多項(xiàng)式的不可約性呢? Q3. 有理系數(shù)多項(xiàng)式可歸結(jié)為整系數(shù)多項(xiàng)式的問(wèn)題有理系數(shù)多項(xiàng)式可歸結(jié)為整系數(shù)多項(xiàng)式的問(wèn)題 這是因?yàn)槿我挥欣頂?shù)可表成兩個(gè)整數(shù)的商這是因?yàn)槿我挥欣頂?shù)可表成兩個(gè)整數(shù)的商110( ),nnnnf xa xaxa 事實(shí)上，設(shè)事實(shí)上，設(shè) 則可選取適當(dāng)整數(shù)則可選取適當(dāng)整數(shù) , c使使 為整系數(shù)多項(xiàng)式為整系數(shù)多項(xiàng)式( )cf x( )( ),cf xdg x ( )cf x若若 的各項(xiàng)系數(shù)有公因子，就可以提出來(lái)，得的各項(xiàng)系

4、數(shù)有公因子，就可以提出來(lái)，得 也即也即 ( )( ),df xg xc 其中其中 是整系數(shù)多項(xiàng)式，且各項(xiàng)系是整系數(shù)多項(xiàng)式，且各項(xiàng)系數(shù)沒(méi)有異于數(shù)沒(méi)有異于 ( )g x的公因子的公因子 1 一、本原多項(xiàng)式一、本原多項(xiàng)式 設(shè)設(shè) 1110( )0,nnnng xb xbxb xb 定義定義,0,1,2, .ibZin若若 沒(méi)有沒(méi)有110,nnb bb b 則稱(chēng)則稱(chēng) 為為本原多項(xiàng)式本原多項(xiàng)式( )g x異于異于 的公因子，即的公因子，即110,nnb bb b 1 是互素的，是互素的，有關(guān)性質(zhì)有關(guān)性質(zhì)1 ( ) ,f xQ xrQ 使使( )( ),f xrg x 其中其中 為本原多項(xiàng)式為本原多項(xiàng)式(

5、)g x（除了相差一個(gè)正負(fù)號(hào)外，這種表示法是唯一的）（除了相差一個(gè)正負(fù)號(hào)外，這種表示法是唯一的） 2Gauss引理引理定理定理10 兩個(gè)本原多項(xiàng)式的積仍是本原多項(xiàng)式兩個(gè)本原多項(xiàng)式的積仍是本原多項(xiàng)式設(shè)設(shè) 110( ),nnnnf xa xaxa 110( )mmmmg xb xbxb 是兩個(gè)本原多項(xiàng)式是兩個(gè)本原多項(xiàng)式110( )( ) ( )n mn mn mn mh xf x g xdxdxd若若 不是本原的，則存在素?cái)?shù)不是本原的，則存在素?cái)?shù) ( )h x, p證：證：|,0,1,.rp drnm又又 是本原多項(xiàng)式，所以是本原多項(xiàng)式，所以 不能整除不能整除 的的( )f xp( )f x每一個(gè)

6、系數(shù)每一個(gè)系數(shù)反證法反證法令令 為為 中第一個(gè)不能被中第一個(gè)不能被 整整除的數(shù)，即除的數(shù)，即 ia01,na aap11|,.|iip ap apa 同理，同理， 本原，令本原，令 為為 中第一個(gè)不能被中第一個(gè)不能被 ( )g xjb0,mbbp整除的數(shù)，即整除的數(shù)，即 011|,|,|,.jjp bp bp bpb 又又11,ijijijda bab矛盾矛盾11|,|,|ijijijp dpa bp ab在這里在這里 故是本原的故是本原的( )h x定理定理11若一非零的整系數(shù)多項(xiàng)式可分解成兩若一非零的整系數(shù)多項(xiàng)式可分解成兩個(gè)個(gè)次數(shù)較低的有理系數(shù)多項(xiàng)式，則它一定可分解次數(shù)較低的有理系數(shù)多項(xiàng)式

7、，則它一定可分解成兩個(gè)成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積二、整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解二、整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解 設(shè)整系數(shù)多項(xiàng)式設(shè)整系數(shù)多項(xiàng)式 有分解式有分解式( )f x( )( ) ( )f xg x h x 其中其中 且且 ( ), ( ) ,g x h xQ x ( ) ,( )( ) .g xh xf x 證：證：令令 111( )( ),( )( ),( )( )f xa fxg xrgxh xsh x這里，這里， 皆為本原多項(xiàng)式，皆為本原多項(xiàng)式， 111( ),( ),( )fxgx h x,aZ ,.r sQ 于是于是 111( )( )( ).a fx

8、rsgx h x 由定理由定理10， 本原，本原，11( )( )gx h x即即.rsZ 11( )( )( ).f xrsgxh x,ars 從而有從而有 得證得證 設(shè)設(shè) 是整系數(shù)多項(xiàng)式，且是整系數(shù)多項(xiàng)式，且 是本原是本原( ), ( )f xg x( )g x推論推論的，若的，若 則則( )( ) ( ),( ) ,f xg x h xh xQ x( )h x必為必為整系數(shù)多項(xiàng)式整系數(shù)多項(xiàng)式 令令 11( )( ),( )( ),f xa fxh xch x11( ),( )fx h x本原，本原，111( )( )( )( )( )a fxg x ch xcg x h x即即 .cZ

9、1( )( )h xch x為整系數(shù)多項(xiàng)式為整系數(shù)多項(xiàng)式 證：證：,aZ cQ于是有，于是有，,ca 定理定理12 設(shè)設(shè)1110( )nnnnf xa xaxa xa 是是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，而一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，而 是它的一個(gè)有理根，是它的一個(gè)有理根， rs其中其中 是互素的，則必有是互素的，則必有 , r s0|,|.ns ar a是是 的有理根，的有理根，rs( )f x從而從而 ()|( ).sxrf x 又又 互素，互素，, r s1110( )()()nnf xsxr bxb xb ,0,1,1.ibZin比較兩端系數(shù)，得比較兩端系數(shù)，得 證：證：()|( ),rxf xs 在有理數(shù)域

10、上，在有理數(shù)域上，由上推論，有由上推論，有sxr本原本原100,.nnasbarb 所以，所以， |,| .ns ar a定理定理12是判斷整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的一個(gè)是判斷整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的一個(gè)必要條件，必要條件， 而非充分條件而非充分條件例例1求方程求方程 的有理根的有理根.432230 xxx可能有理根為可能有理根為131,3,22用綜合除法可知，用綜合除法可知，只有只有1為根為根 注意注意解：解：例例2 證明證明: 在在 上不可約上不可約 3( )51f xxxQ若若 可約，可約， ( )f x但但 的有理根只可能是的有理根只可能是( )f x1, 所以所以 不可約不可約( )f x證：

11、證：則則 至少有一個(gè)一次因式，至少有一個(gè)一次因式，( )f x也即有一個(gè)有理根也即有一個(gè)有理根而而 (1)3,f ( 1)5.f 矛盾矛盾 定理定理13 艾森斯坦因艾森斯坦因Eisenstein判別法判別法設(shè)設(shè) 1110( ),nnnnf xa xaxa xa 是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，若有一個(gè)素?cái)?shù)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，若有一個(gè)素?cái)?shù) 使得使得, p1|npa 1202|,nnp aaa 203|pa 則則 在有理數(shù)域上是不可約的在有理數(shù)域上是不可約的( )f x若若 在在 上可約，由定理上可約，由定理11，( )f xQ( )f x可分解為可分解為兩次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式積兩次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式積

12、111010( )()()llmmllmmf xb xbxbc xcxc,ijb cZl mnlmn證：證：00 0,.nlmabcab c0|,p a又又20|,pa不妨設(shè)不妨設(shè) 但但 0|p b0|.pc0|p b0|,p c或或00,.bcp不能同時(shí)整除不能同時(shí)整除 另一方面，另一方面，|.npa假設(shè)假設(shè) 中第一個(gè)不能被中第一個(gè)不能被 整除的數(shù)為整除的數(shù)為 01,lb bbp,kb比較兩端比較兩端 的系數(shù)，得的系數(shù)，得 kx01 10kkkkab cbcb c 上式中上式中 皆能被皆能被整除，整除， 10,kkabb p矛盾矛盾0|.kp bp c或或|,|.lmpbpc0|kp b c

13、故不可約故不可約( )f x例例3證明：證明： 在在 上不可約上不可約 2nx Q證：（令證：（令 即可）即可） 2p ( (可見(jiàn)存在任意次數(shù)的不可約有理系數(shù)多項(xiàng)式可見(jiàn)存在任意次數(shù)的不可約有理系數(shù)多項(xiàng)式) )例例4判斷判斷23( )1,2!3!pxxxf xxp（為素?cái)?shù)）在（為素?cái)?shù)）在 上上是否可約是否可約Qp令令 ( )! ( ),g xp f x 21!( )!,2(1)!ppppg xpp xxxxp 則則 為整系數(shù)多項(xiàng)式為整系數(shù)多項(xiàng)式 ( )g x!| 1,|, !,(1)! (2)!ppppppp, ,但但 2|!,pp解：解：( )g x在在 上不可約，上不可約，Q從而從而 在在

14、上不可約上不可約( )f xQ即即 Eisenstein判別法是判斷不可約的充分條件，而判別法是判斷不可約的充分條件，而 非必要條件非必要條件注意注意也就是說(shuō)，如果一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式也就是說(shuō)，如果一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式不滿(mǎn)足不滿(mǎn)足Eisenstein判別法條件，則它可能是可約的，判別法條件，則它可能是可約的，也可能是不可約的也可能是不可約的 有些整系數(shù)多項(xiàng)式有些整系數(shù)多項(xiàng)式 不能直接用不能直接用Eisenstein判別法來(lái)判斷是其是否可約，此時(shí)可考慮用適當(dāng)?shù)呐袆e法來(lái)判斷是其是否可約，此時(shí)可考慮用適當(dāng)?shù)拇鷵Q使?jié)M足代換使?jié)M足Eisenstein判別法條件，從而來(lái)判定原多項(xiàng)式判別法條件，從而來(lái)判定原多項(xiàng)式不

15、可約不可約( )f x( ,0),axb a bZ a()( )f aybg y( )f x有理系數(shù)多項(xiàng)式有理系數(shù)多項(xiàng)式 在有理系數(shù)上不可約在有理系數(shù)上不可約( )f x命題命題在有理數(shù)域上不可約在有理數(shù)域上不可約,(0),a bQ a對(duì)對(duì)( )()g xf axb多項(xiàng)式多項(xiàng)式例例5證明：證明： 在在 上不可約上不可約 2( )1f xxQ取取 2,p 證：證：1,xy作變換作變換2( )22,f xyy則則在上不可約，在上不可約，222yy所以所以 在上不可約在上不可約( )f x由由Eisenstein判別法知，判別法知，對(duì)于許多對(duì)于許多 上的多項(xiàng)式來(lái)說(shuō)，作適當(dāng)線(xiàn)性代換后上的多項(xiàng)式來(lái)說(shuō)，作適當(dāng)線(xiàn)性代換后Q再用再用Eisenstein判別法判定它是否可約是一個(gè)較好的