二隨機變量1大學數(shù)學概率統(tǒng)計

1、1 離散型隨機變量及其分布律離散型隨機變量及其分布律 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量隨機變量及其分布函數(shù)隨機變量及其分布函數(shù)實例實例1 在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個球在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個球,觀察摸出球的顏色觀察摸出球的顏色.S=紅色、白色紅色、白色 非數(shù)量非數(shù)量將將 S 數(shù)量化數(shù)量化 ?可采用下列方法可采用下列方法 S紅色紅色 白色白色)(eXR10即即有有 X (紅色紅色)=1 , ., 0, 1)(白色白色紅色紅色eeeXX (白色白色)=0.這樣便將非數(shù)量的這樣便將非數(shù)量的 S=紅色，白色紅色，白色 數(shù)量化了數(shù)量化了.實例實例2 拋擲骰子拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)觀察出現(xiàn)的點

2、數(shù)., 3) 3(, 2) 2(, 1) 1 ( XXX, 6)6(, 5)5(, 4)4( XXX).6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1(,61 iiXPS=1，2，3，4，5，6樣本點本身就是數(shù)量樣本點本身就是數(shù)量恒等恒等變換變換且有且有eeX )(則有則有下圖給出樣本點下圖給出樣本點w w與實數(shù)與實數(shù)X X (w w )對應(yīng)的示意圖對應(yīng)的示意圖 W1w2w3wx2.1 隨機變量及其分布隨機變量及其分布例例 (1)(1)隨機地擲一顆骰子，隨機地擲一顆骰子，表示所有的樣本點表示所有的樣本點, ,: : 出現(xiàn)出現(xiàn)1 1點點 出現(xiàn)出現(xiàn)2 2點點 出現(xiàn)出現(xiàn)3 3點點 出現(xiàn)出現(xiàn)4 4點點 出

3、現(xiàn)出現(xiàn)5 5點點 出現(xiàn)出現(xiàn)6 6點點X X(): 1 2 3 4 5 6(): 1 2 3 4 5 6 (2)(2)某人接連不斷地對同一目標進行射擊某人接連不斷地對同一目標進行射擊, ,直至射中為直至射中為止，止，表示射擊次數(shù)，則表示射擊次數(shù)，則 射擊射擊1 1次次 射擊射擊2 2次次 . . 射擊射擊n n次次 .X() 1 2 . n . X() 1 2 . n . (3) (3) 某車站每隔某車站每隔1010分鐘開出一輛公共汽車分鐘開出一輛公共汽車, ,旅客在任意旅客在任意時間到達車站時間到達車站,表示該旅客的候車時間表示該旅客的候車時間, , 候車時間候車時間X() 0, 10X()

4、0, 10一、隨機變量的概念一、隨機變量的概念等表示。、丁字母、或大寫的拉一般用希臘字母、隨機變量稱之為上的單值函數(shù)得到一個定義在這樣就與之對應(yīng)有一個實數(shù)中每一個元素如果對空間為是隨機試驗，它的樣本設(shè)ZYXeXXeXeE.),(,)(, WWW定義定義2.1。注意注意 隨機變量是一個實值單值函數(shù)，它與微積分隨機變量是一個實值單值函數(shù)，它與微積分中討論的函數(shù)有別。中討論的函數(shù)有別。隨機變量是定義在樣本空間隨機變量是定義在樣本空間上的，而不一定是實數(shù)軸上；上的，而不一定是實數(shù)軸上；隨機變量取值是隨隨機變量取值是隨機的，它取每一個值都有一定的概率；機的，它取每一個值都有一定的概率；隨機變量隨機變量是

5、隨機事件的數(shù)量化。是隨機事件的數(shù)量化。 按照隨機變量取值情況，可以把隨機變量分為兩類： （1）離散型隨機變量只可能取有限個或無限可列個值； （2）非離散型(即連續(xù)性)隨機變量可以在整個數(shù)軸上取值，或至少有部分值取某實數(shù)區(qū)間的全部值。 第二節(jié)第二節(jié) 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布分布律常用表格分布律常用表格形式表示如下：形式表示如下：X x1x2xkpkp1p2pk定義定義2.2如果隨機變量如果隨機變量所有的可能取值為有限個或可所有的可能取值為有限個或可數(shù)無窮多個，而且以確定的概率取這些不同的值，則數(shù)無窮多個，而且以確定的概率取這些不同的值，則稱稱這種隨機變量為這種隨機變量為離散型

6、隨機變量離散型隨機變量。,.2 , 1 kpxXPkk 設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為的可能取值為xk (k=1,2,),事事件件 發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為pk ,即即稱為稱為隨機變量隨機變量X的概率或分布律的概率或分布律。kxX 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回分布律的兩條分布律的兩條基本性質(zhì)基本性質(zhì)： 11)2(kkp0)1( kp, 2 , 1 k上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回的分布。即寫出來描述廢品出現(xiàn)的情況用隨機變量行檢驗，從中任意抽取一個進一批產(chǎn)品廢品率為例%51列成概率分布表如下：，即”表示“產(chǎn)品是廢品”而“，格率，即其概率為這批產(chǎn)品的合”，”表示“產(chǎn)品為合格品

7、兩個值?！盎蛉≈荒鼙硎緩U品的個數(shù)，顯然解：這個試驗中，用P1%95%510P010 也可以用下面等式來表示： （）（）-（，）1.兩點分布兩點分布 若在一次試驗中若在一次試驗中X只可能取只可能取x1 或或x2 兩值兩值(x1x2),它的概率分布是它的概率分布是則稱則稱X服從兩點分布。服從兩點分布。 ,1),(0 121pxXPppxXP kkpxP其概率函數(shù)為)2 , 1(k.-分布分布當規(guī)定當規(guī)定x1=0,x2=1時兩點分布稱為（時兩點分布稱為（01）分布。）分布。簡記為簡記為X(0-1)分布。分布。X 0 1pk 1-p p上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回kkppk1)1 (P其概率函數(shù)為

8、)1 ,0(k 例2 產(chǎn)品有一、二、三等品及廢品4種，其一、二、三等品率及廢品率分別為60%，10%，20%、10%，任取一個產(chǎn)品檢驗其質(zhì)量，用隨機變量描述檢驗結(jié)果。 解：令“=k”與產(chǎn)品為“k等品”（k=1,2,3）相對應(yīng)， “=0”與產(chǎn)品為“廢品”相對應(yīng)。是一個隨機變量，它可以取0，1，2，3這4個可能值。則，p(=0)=0.1， p(=1)=0.6， p(=2)=0.1， p(=3)=0.2，列成概率分布表0123p0.2 例3 用隨機變量去描述擲一顆骰子的試驗情況。 解:令表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，它可以取1到6共6個自然數(shù)，相應(yīng)概率都是1/6，列成概率分布表： 3.

9、均勻分布123456p1/61/61/61/61/61/6服從離散型均勻分布。，則稱時且當），（如果有概率函數(shù)：jikxxjinknxp.211 例4 社會上定期發(fā)行某種獎券，每券1元，中獎率為p。某人每次購買1張獎券，沒有中獎下次再購買1張，直至中獎為止。求該人購買次數(shù)的分布。 解：=1表示第一次購買的獎券中獎，以題意p=1=p；=2表示購買兩次獎券，但第一次未中獎，其概率為1-p，而第二次中獎，其概率為p。由于各期獎券中獎與否是相互獨立的，所以p=2= （1-p ）p； =i表示購買i次，前i-1次都未中獎，而第i次中獎， p=i= （1-p ）i-1p。由此得的概率函數(shù)為 p=i= （1

10、-p ）i-1p，（i=1,2,） (*) 稱形如(*)式概率函數(shù)的隨機變量服從幾何分布。 例5 盒內(nèi)裝有外形與功率均相同的15個燈泡，其中10個螺口，5個卡口，燈口向下放著?，F(xiàn)在需用1個螺口燈泡，從盒中任取一個，如果取到卡口燈泡就不再放回去。求在取到螺口燈泡之前已取出的卡口燈泡數(shù)的分布。 解：=0表示第一個就取到了螺口燈泡，=1表示第一個取到卡口燈泡而第二個才取到螺口燈泡，因此p=0=10/15=2/3， p=1=（5/15）(10/14)=5/21，同樣方法，可以依次計算出p=k(k=2,3,4,5),列成概率分布表 易見012345p2/35/2120/2735/27310/3003 1

11、/3003501kkp 練習1.一袋中有5只乒乓球，編號為1，2，3，4，5，在其中同時取3只，以X表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律. 【解解】353524353,4,51(3)0.1C3(4)0.3CC(5)0.6CXP XP XP X 故所求分布律為X345P 練習2設(shè)在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個數(shù)，求： X的分布律。 解：313315122133151133150,1,2.C22(0).C35C C12(1).C35C1(2).C35XP XP XP X 故X的分布律為x012p22/35 12/35 1/35 練習3射手向目標獨立地進行了3次射擊，每次擊中率為0.8，求3次射擊中擊中目標的次數(shù)的分布律及分布函數(shù)，并求3次射擊中至少擊中2次的概率. 【解解】設(shè)X表示擊中目標的次數(shù). 則X=0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8) 0.20.384(3)(0.8)0.512P XP XP XP X 故X的分布律為x0123p0.0080.0960.3840.