《數(shù)學物理方法》期末測試卷及答案

第1頁共2頁《數(shù)學物理方法》考試試卷（閉卷時間120分鐘）一、單項選擇題（每小題2分,共10分）1．如果冪級數(shù)的收斂半徑為，則該冪級數(shù)一定（）A．在點收斂；B．在點發(fā)散；C．在點收斂；D．在點發(fā)散．2．設，若為解析函數(shù)，則（）A．；B．；C．；D．．3．函數(shù)的傅里葉變換結果為A．；B．；C．；D．．4．偏微分方程為A．齊次線性方程；B．非齊次非線性方程；C．非齊次線性方程；D．齊次非線性方程．5．（為正整數(shù)）階第一類貝塞爾函數(shù)的零點個數(shù)為（）A．0個；B．1個；C．個；D．無數(shù)個．二、填空題（每空2分，共10分）6．計算函數(shù)．7．設為逆時針方向沿圓周的簡單閉合曲線，則積分．8．函數(shù)在孤立奇點處的留數(shù)為．9．拉普拉斯變換．10．設為勒讓德多項式，則．三、簡答題（10分）11．二階線性常微分方程的標準形式為：，試簡述方程的常點和正則奇點，并寫出常點和正則奇點鄰域內方程級數(shù)解的形式．四、證明題（10分）12．證明函數(shù)在點可導，但在復平面上處處不解析．五、計算題（每小題10分，共60分）13．計算積分．14．分別在區(qū)域和內將以為中心展開為羅朗級數(shù)．15．求函數(shù)的傅里葉變換．16．求函數(shù)的拉普拉斯變換．17．由達朗貝爾公式求解初值問題．18．應用分離變量法求解如下定解問題．《數(shù)學物理方法》考試試卷參考答案一、單項選擇題（每小題2分，共10分）1．A；2．B；3．C；4．A；5．D．二、填空題（每空2分，共10分）6．；7．；8．；9．；10．1．三、簡答題（10分）11．如果和在點的鄰域內解析，則為方程的常點．如果和在點的鄰域內解析，則為正則奇點．在常點的鄰域內方程存在一解析解，可展開為泰勒級數(shù)．在正則奇點的鄰域內方程至少存在一個如下形式的級數(shù)解．四、證明題（10分）12．已知，所以，．偏導數(shù)，，，，它們均存在且連續(xù)．在點，，，滿足柯西-黎曼條件，所以函數(shù)在點可導，且導數(shù)．在以外的點，函數(shù)的偏導數(shù)存在且連續(xù)，但不滿足柯西-黎曼條件，因此導數(shù)不存在．所以函數(shù)在整個復平面上不解析．五、計算題（每小題10分，共60分）13．函數(shù)在圓周內只有一個三階極點，可得留數(shù)．由留數(shù)定理可得．14．當時，，當時，，．15．．16．，．17．由達朗貝爾公式可得，．18．（1）令，代入泛定方程可得兩個常微分方程，．代入齊次邊界條件可得：．（2）求解本征值問題可得本征值：，本征函數(shù)