微積分B版-上冊-講義-2-5隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、一般地，不必要求寫出具體的復(fù)合關(guān)系，只一般地，不必要求寫出具體的復(fù)合關(guān)系，只要記住哪些是中間變量，將中間變量的表達(dá)要記住哪些是中間變量，將中間變量的表達(dá)式看成一個(gè)整體，由外向內(nèi)，逐層求導(dǎo)即可。式看成一個(gè)整體，由外向內(nèi)，逐層求導(dǎo)即可。),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè).)(dxdvdvdududydxdyxfy 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) 2arcsin(),yxy練習(xí)：設(shè)求2arcsin(),xyxey練習(xí)：設(shè)求31tan,xyey練習(xí)：設(shè)求2.5 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義定義: :如果變量如果變量x,yx,y之間的函數(shù)關(guān)系由一個(gè)方程之間的函數(shù)關(guān)系由一個(gè)方程.)(形式稱為顯函數(shù)形式稱為顯

2、函數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問題問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)0),( yxF確定，那么這種函數(shù)叫做隱函確定，那么這種函數(shù)叫做隱函數(shù)數(shù)例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對方程兩邊對x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxx

3、exyedxdy. 1 求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，只需將確定的隱函數(shù)的方求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，只需將確定的隱函數(shù)的方程兩邊對自變量程兩邊對自變量x求導(dǎo)，凡遇到含有因變量求導(dǎo)，凡遇到含有因變量y的項(xiàng)時(shí)，把的項(xiàng)時(shí)，把y看作看作x的函數(shù)，按復(fù)合函數(shù)的求的函數(shù)，按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，然后從所得的等式中解出導(dǎo)法則求導(dǎo)，然后從所得的等式中解出dy/dxsincos()0yxxy練習(xí)：求由下列方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例例2 2.,)23,23(,333線通過原點(diǎn)線通過原點(diǎn)在該點(diǎn)的法在該點(diǎn)的法并證明曲線并證明曲線的切線方程的切線方程點(diǎn)點(diǎn)上上求過求過的方程為的方程為設(shè)曲線設(shè)曲線CCxyyxC 解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對方程

4、兩邊對xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為,xy 即即顯然通過原點(diǎn)顯然通過原點(diǎn).2()ln()yxxyxy例3：求由下列方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)1:-2(1)ln()()yxyyxyxyxy解：關(guān)于自變量 求導(dǎo)1:12ln()yxy 解得221(2ln()(1)2ln()2ln()1()2ln()xyyxyxyyxyxy y代入求隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，在得到的一階導(dǎo)數(shù)的求隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，在得到的一階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式后，再進(jìn)一步求二階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，此表達(dá)式

5、后，再進(jìn)一步求二階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，此時(shí)，要注意將一階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式代入其中時(shí)，要注意將一階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式代入其中31()2ln()yxyxy 二、對數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)方法求出導(dǎo)數(shù).-對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函xvxu例例3 3解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1

6、ln(ln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)例例4 4解解.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxylnsinln 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxu

7、xvxf (cos )(sin ) ,sin0,cos0 xyyxxyy設(shè)其中求ln(cos )ln(sin )ln(cos )ln(sin )xyyxxyyx解：兩邊分別求對數(shù)：sincos ln(cos )ln(sin )cossinyxxyyyxyyx分別求導(dǎo)：lncoscottanlnsinyyxyxyx得：三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)問題問題: : 消參困難或無

8、法消參如何求導(dǎo)消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?t),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可導(dǎo)都可導(dǎo)再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx ,)()(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)若函數(shù)若函數(shù) tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即例例5 5解

9、解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程處的切線處的切線在在求擺線求擺線2)cos1()sin( ttayttax.),12(,2ayaxt 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即6 1 sin3 例 .求心形線在點(diǎn)處的法線方程 cos(1 sin )cossin(1 sin )sinxy解.利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系，有：(1 sin )cos sin2cos(1 sin )cos cos2sindydx3將代入以上各式。例例7 7解解.sincos33表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求由方程求由方程 taytaxdydydtydxdxdt)sin(cos3cossin322ttatta ttan d d ddddddyyttyxtxtttatsincos3sec22 tatsin3sec4 221d ,1dxtytxytt 例8 設(shè)參數(shù)方程求2222d11d1dd1d11dyytttyxxttt解：2322222324d dd d4(1)dd1ddd(1)dtyyyttttyxtxtxttt五、小結(jié)隱函數(shù)求