第七章統(tǒng)計(jì)學(xué) 參數(shù)估計(jì)

1、第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)掌握點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)2.了解樣本容量的確定方法了解樣本容量的確定方法 重點(diǎn)重點(diǎn) 1. 1. 區(qū)間估計(jì)的基本思想和原理區(qū)間估計(jì)的基本思想和原理 難點(diǎn)難點(diǎn)利用利用ExcelExcel進(jìn)行分布概率計(jì)算、進(jìn)行分布概率計(jì)算、 區(qū)間估計(jì)和分析區(qū)間估計(jì)和分析。 本章教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)本章教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)7. 1 7. 1 參數(shù)估計(jì)的一般問題參數(shù)估計(jì)的一般問題 7. 2 7. 2 一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)7. 3 7. 3 樣本量的確定樣本量的確定參數(shù)估計(jì)的一般問題參數(shù)估計(jì)的一般問題估計(jì)量與估計(jì)值估計(jì)量與估計(jì)值

2、點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)評價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)評價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)估計(jì)：就是用樣本統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)總體的參參數(shù)估計(jì)：就是用樣本統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)總體的參數(shù)數(shù)估計(jì)量估計(jì)量 (estimator)(estimator)用于估計(jì)總體參數(shù)的隨機(jī)用于估計(jì)總體參數(shù)的隨機(jī)變量變量如樣本均值，樣本比例如樣本均值，樣本比例, , 樣本方差等樣本方差等例如例如: : 樣本均值就是總體均值的一個(gè)估計(jì)量樣本均值就是總體均值的一個(gè)估計(jì)量參數(shù)用參數(shù)用 表示，估計(jì)量表示，估計(jì)量用用 表示表示估計(jì)值：估計(jì)值：( (estimated value)estimated value)估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來的統(tǒng)計(jì)量的具體值來的統(tǒng)

3、計(jì)量的具體值如果樣本均值如果樣本均值 x x =80 =80，則，則8080就是就是 的估計(jì)的估計(jì)值值參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì) (Parameter estimation)(Parameter estimation)參數(shù)估計(jì)的分類參數(shù)估計(jì)的分類點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì) (point estimate)(point estimate)用樣本的估計(jì)量直接作為總體參數(shù)的估計(jì)用樣本的估計(jì)量直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值值例如：用樣本均值直接作為總體均值的例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計(jì)估計(jì)例如：用兩個(gè)樣本均值之差直接作為總例如：用兩個(gè)樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計(jì)體均值之差的估計(jì)2.

4、2. 沒有給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息沒有給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息點(diǎn)估計(jì)的方法有矩估計(jì)法、順序統(tǒng)計(jì)量法、點(diǎn)估計(jì)的方法有矩估計(jì)法、順序統(tǒng)計(jì)量法、最大似然法、最小二乘法等最大似然法、最小二乘法等問題：問題：第一，我們?yōu)槭裁匆赃@一個(gè)而第一，我們?yōu)槭裁匆赃@一個(gè)而不是那一個(gè)統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)某個(gè)總體不是那一個(gè)統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)某個(gè)總體參數(shù)？參數(shù)？點(diǎn)估計(jì)量的優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)估計(jì)量的優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn)第二，如果有兩個(gè)以上的統(tǒng)計(jì)第二，如果有兩個(gè)以上的統(tǒng)計(jì)量可以用來估計(jì)某個(gè)總體參數(shù)，其量可以用來估計(jì)某個(gè)總體參數(shù)，其估計(jì)結(jié)果是否一致？是否一個(gè)統(tǒng)計(jì)估計(jì)結(jié)果是否一致？是否一個(gè)統(tǒng)計(jì)量要優(yōu)于另一個(gè)？量要優(yōu)于另一個(gè)？oemmx估計(jì)值的優(yōu)良

5、標(biāo)準(zhǔn)：估計(jì)值的優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn)：無偏性、有效性、一致性無偏性、有效性、一致性無偏性無偏性(unbiasedness) 無偏性：無偏性：估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)被估計(jì)的總體參數(shù) 有效性有效性( (efficiencyefficiency) )AB 的抽樣分布的抽樣分布 的抽樣分布的抽樣分布12P( )一致性一致性( (consistencyconsistency) ) 一致性：一致性：隨著樣本容量的增大，估計(jì)量隨著樣本容量的增大，估計(jì)量的值越來越接近被估計(jì)的總體參數(shù)的值越來越接近被估計(jì)的總體參數(shù)區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) (interval estimate)(in

6、terval estimate)在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量加減估計(jì)誤差而得到范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量加減估計(jì)誤差而得到根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計(jì)量與總根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度給出一個(gè)概率度量體參數(shù)的接近程度給出一個(gè)概率度量比如，某班級平均分?jǐn)?shù)在比如，某班級平均分?jǐn)?shù)在7585之間，置信水平是之間，置信水平是95% 區(qū)間估計(jì)的圖示區(qū)間估計(jì)的圖示xxzx2置信區(qū)間置信區(qū)間( (confidence intervalconfidence interval) )由樣本統(tǒng)計(jì)

7、量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間稱為置信區(qū)間區(qū)間稱為置信區(qū)間統(tǒng)計(jì)學(xué)家在某種程度上確信這個(gè)區(qū)間會統(tǒng)計(jì)學(xué)家在某種程度上確信這個(gè)區(qū)間會包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間置信區(qū)間 ,UL將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平稱為置信水平 表示為表示為 (1 - 為顯著性水平，為顯著性水平，是總體參數(shù)是總體參數(shù)未在未在區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi)的比例的比例 常用的置信水平值有常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%相應(yīng)的相應(yīng)

8、的 為為0.01，0.05，0.10置信水平置信水平( (confidence levelconfidence level) ) 置信區(qū)間與置信水平置信區(qū)間與置信水平 xxx 單個(gè)總體均值的區(qū)間估計(jì)證明單個(gè)總體均值的區(qū)間估計(jì)證明 正態(tài)總體和已知時(shí)，總體均值正態(tài)總體和已知時(shí)，總體均值的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì) 當(dāng)，由第一節(jié)已知，子樣均值，則統(tǒng)計(jì)量當(dāng)，由第一節(jié)已知，子樣均值，則統(tǒng)計(jì)量 對于給定的顯著性水平對于給定的顯著性水平 ，令，令即有即有從而有從而有即在給定顯著性水平下，總體均值在的置信水平下的置信區(qū)間為：即在給定顯著性水平下，總體均值在的置信水平下的置信區(qū)間為：),(2NX2),(2NX),(2n

9、NX)1 ,0(/NnXZ122zZzP1/22znXzP122nzXnzXP),(22nzXnzX區(qū)間估計(jì)的基本原理區(qū)間估計(jì)的基本原理7. 2 一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì) 總體比例的區(qū)間估計(jì)總體比例的區(qū)間估計(jì) 總體方差的區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)總體參數(shù)總體參數(shù)符號表示符號表示樣本統(tǒng)計(jì)量樣本統(tǒng)計(jì)量均值均值比例比例方差方差2xp2s總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì) ( 2 已知或已知或 2未知大樣本未知大樣本)1.1. 假定條件假定條件總體服從正態(tài)分布總體服從正態(tài)分布, ,且方差且方差( (

10、 ) ) 已已知知如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似 ( (n n 30) 30)2.2. 使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z z) 1 , 0( Nnxz)(22未知或nszxnzx區(qū)間估計(jì)的圖示區(qū)間估計(jì)的圖示xxx正態(tài)分布分位數(shù)正態(tài)分布分位數(shù) 與相應(yīng)的置信度（與相應(yīng)的置信度（1-a）存在）存在一一對應(yīng)關(guān)系，常一一對應(yīng)關(guān)系，常 用值及相應(yīng)的概率保證程用值及相應(yīng)的概率保證程度為度為 第六章第六章 2z常用的置信度與正態(tài)分布分位數(shù)常用的置信度與正態(tài)分布分位數(shù)2z68.27%95.45%99.73%),(2nXNxXxx2x3x2xx3x 第六章第六章

11、總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)( (例題分析例題分析) )一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對食品食品質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10g。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為的置信區(qū)間，

12、置信水平為95%25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)( (例題分析例題分析) )28.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzx36.105x總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)( (例題分析例題分析) )36個(gè)投保人年齡的數(shù)據(jù)個(gè)投保人年齡的數(shù)據(jù) 2335392736443642464

13、33133425345544724342839364440394938344850343945484532總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)( (例題分析例題分析) )63.41,37.3713.25 .393677.7645.15 .392nszx5 .39x77. 7s總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì) ( (小樣本且小樣本且方差方差( ) 未知未知) )1.假定條件假定條件總體服從正態(tài)分布總體服從正態(tài)分布, ,但方差但方差( ) 未知未知小樣本小樣本 (n 30)2. 使用使用 t 分布統(tǒng)計(jì)量分布統(tǒng)計(jì)量) 1(ntnsxtnstx2t t 分布分布總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)

14、( (例題分析例題分析) )16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)燈泡使用壽命的數(shù)據(jù) 1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)( (例題分析例題分析) )2 .1503, 8 .14762 .1314901677.24131.214902nstx1490 x77.24s總體比例的區(qū)間估計(jì)總體比例的區(qū)間估計(jì)1.假定條件假定條件總體服從二項(xiàng)分布總體服從二項(xiàng)分布可以由正態(tài)分布來近似可以由正態(tài)分布來近似 2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z) 1 , 0()1 (Nnpz3. 總體比例總

15、體比例 在在1- 置信水平下置信水平下的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為nppzp)-1 (2總體比例的區(qū)間估計(jì)總體比例的區(qū)間估計(jì)( (例題分析例題分析) )%35.74%,65.55%35. 9%65100%)651%(6596. 1%65)1 (2nppzp總體方差的區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)1.估計(jì)一個(gè)總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)一個(gè)總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差2.假設(shè)總體服從正態(tài)分布假設(shè)總體服從正態(tài)分布3. 總體方差總體方差 2 的點(diǎn)估計(jì)量為的點(diǎn)估計(jì)量為s2,且且11222nsn111122122222nsnnsn總體方差的區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)( (圖示圖示) )總體方差的區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)( (

16、例題分析例題分析) )25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3總體方差的區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)( (例題分析例題分析) )4011.12)24() 1(2975. 0212n3641.39)24() 1(2025. 022n39.18083.564011.1221.931253641.3921.9312522一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)(

17、 (小結(jié)小結(jié)) )均值均值比例比例方差方差大樣本大樣本小樣本小樣本大樣本大樣本 2 2分布分布 2 2已知已知 2 2已知已知Z Z分布分布 2 2未知未知Z Z分布分布Z Z分布分布Z Z分布分布 2 2未知未知t t分布分布區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)估計(jì)未知參數(shù)所在的可能的區(qū)間。估計(jì)未知參數(shù)所在的可能的區(qū)間。評價(jià)準(zhǔn)則評價(jià)準(zhǔn)則隨機(jī)區(qū)間隨機(jī)區(qū)間置信度置信度精確度精確度隨機(jī)區(qū)間隨機(jī)區(qū)間1)(ULP),(UL包含包含（即可靠程度（即可靠程度）越大越好。）越大越好。的概率的概率),(UL的平均長度的平均長度（誤差范圍（誤差范圍）越小越好）越小越好),(LUE一般形式一般形式)()(或或總體參數(shù)總體參數(shù)估計(jì)值估

18、計(jì)值誤差范圍誤差范圍 ：一定倍數(shù)的抽樣誤差：一定倍數(shù)的抽樣誤差nZx2例如：例如：抽樣誤差抽樣誤差 n/一定時(shí)，一定時(shí)，2Z越大，越大，x概率（可靠性）大；概率（可靠性）大；隨之增大，隨之增大，精確度就差。精確度就差。抽樣組織方式和參數(shù)的區(qū)間估計(jì)抽樣組織方式和參數(shù)的區(qū)間估計(jì)待估計(jì)參數(shù)待估計(jì)參數(shù)已知條件已知條件置信區(qū)間置信區(qū)間正態(tài)總體，正態(tài)總體，2已知已知正態(tài)總體，正態(tài)總體，2未知未知非正態(tài)總體，非正態(tài)總體，n30有限總體，有限總體，n30（不放回抽樣）（不放回抽樣）總體均值總體均值 （）nZX/2nZX/2nStXn/)1(212NnNnZX未知時(shí)，用未知時(shí)，用S未知時(shí)，用未知時(shí)，用S2221

19、21221)(nnZXX)(21XX 21)2(21121nnStpnn222121221)(nnZXX兩個(gè)正態(tài)總體兩個(gè)正態(tài)總體2221,已知已知兩個(gè)正態(tài)總體兩個(gè)正態(tài)總體2221,未知但相等未知但相等兩個(gè)非正態(tài)總體兩個(gè)非正態(tài)總體,n1，n230兩個(gè)總體兩個(gè)總體均值之差均值之差1-2待估計(jì)參數(shù)待估計(jì)參數(shù)已知條件已知條件置信區(qū)間置信區(qū)間無限總體，無限總體，np和和nq都大于都大于5總體成數(shù)總體成數(shù) （p）無限總體，無限總體， N1P15, n1q15N2P25, n2q25兩個(gè)總體兩個(gè)總體成數(shù)之差成數(shù)之差（P1-P2）有限總體，有限總體，np和和nq都大于都大于5nqPZP212NnNnqpZP2

20、22111221)(nqPnqPZPP有限總體，有限總體， N1P15, n1q15N2P25, n2q2511)(222222111111221NnNnqPNnNnqPZPP待估計(jì)參數(shù)待估計(jì)參數(shù)已知條件已知條件置信區(qū)間置信區(qū)間正態(tài)總體正態(tài)總體總體方差總體方差 兩個(gè)正態(tài)總體兩個(gè)正態(tài)總體兩個(gè)總體兩個(gè)總體方差之比方差之比)(22212222) 1(,) 1(SnSn2221/21222122221/,/FSSFSS待估計(jì)參數(shù)待估計(jì)參數(shù)已知條件已知條件置信區(qū)間置信區(qū)間有限總體不放回有限總體不放回抽樣（抽樣（n等比例等比例分配于各層）分配于各層）各層各層nh30總體均值總體均值 （）有限總體不放回有限

21、總體不放回抽樣（抽樣（n等比例等比例分配于各層）分配于各層）各層各層nh30總體成數(shù)總體成數(shù)(P)21222,)1()(),(hhLhststSNNSNnNnSXSXSZXhhhLhststqpNNNnNnPSPSZP)1(1)()(1227. 3估計(jì)總體均值時(shí)樣本量的確定估計(jì)總體均值時(shí)樣本量的確定估計(jì)總體均值時(shí)樣本量估計(jì)總體均值時(shí)樣本量n為為樣本量樣本量n與總體方差與總體方差 2、估計(jì)誤差、估計(jì)誤差E、可靠性系數(shù)、可靠性系數(shù)Z或或t之間的關(guān)系為之間的關(guān)系為與總體方差成正比與總體方差成正比與估計(jì)誤差的平方成反比與估計(jì)誤差的平方成反比與可靠性系數(shù)成正比與可靠性系數(shù)成正比樣本量的圓整法則：當(dāng)計(jì)算出的樣本量不是整樣本量的圓整法則：當(dāng)計(jì)算出的樣本量不是整數(shù)時(shí)，將小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)值一律進(jìn)位成整數(shù)，數(shù)時(shí)，將小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)值一律進(jìn)位成整數(shù)，如如24.68取取25，24.32也取也取25等等等等估計(jì)總體均值時(shí)樣本量的確定估計(jì)總體均值時(shí)樣本量的確定 2222