中南大學材料力學課件第1章

1、 111 變形能的普遍表達式變形能的普遍表達式112 卡氏定理卡氏定理113 莫爾定理莫爾定理(單位力法單位力法)111 變形能的普遍表達式變形能的普遍表達式一、能量原理：一、能量原理：二、桿件變形能的計算：二、桿件變形能的計算：1.1.軸向拉壓桿的變形能計算：軸向拉壓桿的變形能計算：LxEAxNUd2)( 2niiiiiAELNU122 或21:u比能 彈性體內部所貯存的變形能，在數值上等于外力所作的功，即WU 利用這種功能關系分析計算可變形固體的位移、變形和內力的方法稱為能量方法。2.2.扭轉桿的變形能計算：扭轉桿的變形能計算：LPnxGIxMUd2)( 2niPiiiniIGLMU122

2、 或21:u比能3.3.彎曲桿的變形能計算：彎曲桿的變形能計算：LxEIxMUd2)( 2niiiiiIELMU122 或21:u比能5 變形能的大小與加載過程的先后次序無關，而只決定于載荷及其相應位移的最終值；相互獨立的力（矢）引起的變形能可以相互疊加。nnPPPWU2121212211即：克拉貝依隆原理克拉貝依隆原理三、變形能的普遍表達式：三、變形能的普遍表達式：細長桿，剪力引起的變形能可忽略不計。xEIxMxGIxMxEAxNULLPnLd2)(d2)(d2)(222LxEAxQd2)( 2S剪切撓度因子SxEIxMxGIxMxEAxNULLPnLd2)(d2)(d2)(222對于桿狀構

3、件：7四、變形能的特點：四、變形能的特點：1.產生同一種基本變形的一組外力在桿內所產生的變形能，不等于各力分別作用時產生的變形能之和。EAlPPU2)(221EAlPU2211EAlPU22222.變形能的大小與加載過程的先后次序無關，而只決定于載荷及其相應位移的最終值。nnPPPWU2121212211互等定理： 9互等定理： 表明：第一組力第一組力在第二組力引起的位移上位移上所作的功的功，等于第二組力第二組力在第一組力引起的位移上位移上所作的功的功，這就是功的功的互等定理互等定理。10位移互等定理： 2111 如 則 11 例如：外伸梁，在C點的力FP單獨作用下截面的轉角為A= FPal

4、/ (6EI)。求梁僅在A處的力偶矩M作用下C的撓度。 又如： 為測定懸臂梁在砝碼G作用在自由端B時，截面1、2、3、4、5的撓度，如圖所示?，F僅有一個撓度計（千分表），且限定只能安裝一次，試問該如何測定。MN 例例1 1 圖示半圓形等截面曲桿位于水平面內，在A點受鉛垂力P的作用，求A點的垂直位移。解：用能量法（外力功等于應變能）求內力sin)(:PRMT彎矩)cos1 ()(: PRMN扭矩APROQMTAAPNB TO外力功等于應變能變形能：LLPLxEIxMxGIxMxEAxNUd2)( d2)( d2)( 22n202220222d2)(sind2)cos1(REIRPRGIRPPEI

5、RPGIRPP4433232UfPWA2EIPRGIPRfPA22333 例例2 用能量法求C點的撓度。梁為等截面直梁。CPfW21解：外力功等于應變能LxEIxMUd2)( 2)0( ; 2)(axxPxM應用對稱性，得：EIaPxxPEIUa12d)2(2123202EIPafUWC63思考：分布荷載時，可否用此法求C點位移？qCaaAPBf112 莫爾定理莫爾定理(單位力法單位力法)ACfUUU10LxEIxMUd2)( 2LxEIxMUd2)( 200LCxEIxMxMUd2)()( 20LAxEIxMxMfd)()( 0求任意點A的位移f A 。一、定理的證明：一、定理的證明：aA圖

6、fAq(x)圖c A0P =1q(x)fA圖b A=1P0 莫爾定理莫爾定理( (單位力法單位力法) )二、普遍形式的莫爾定理二、普遍形式的莫爾定理xEIxMxMfLAd)()(0LPnnLAxGIxMxMxEAxNxNd)()(d)()(00 xEIxMxMLd)()(0。 三、使用莫爾定理的注意事項：三、使用莫爾定理的注意事項：M0(x)與M(x)的坐標系必須一致，每段桿的坐標系可 自由建立。莫爾積分必須遍及整個結構。M0去掉主動力，在所求 點，沿所求的方向加時，結構產生的內力。M(x)：結構在原載荷下的內力。所加廣義單位力與所求廣義位移之積，必須為功的量綱。18 四、單位力的施加四、單位

7、力的施加 例例3 3 用能量法求C點的撓度和轉角。梁為等截面直梁。2)(2qxaqxxM)2( ; )2(2)0( ; 2)(0axaxaxaxxxM解：畫單位載荷圖求內力BAaaCqBAaaC0P =1x d)()(d)()(2000aaaCxEIxMxMxEIxMxMfaxEIxMxM00d)()(2對稱性對稱性EIqaxxqxqaxEIa245d2)2(2402變形BAaaC0P =1BAaaCqx( )求轉角，重建坐標系（如圖）aaxaxqxqaxEIxaxqxqaxEI022222011211d2)2(1d2)2(12)( :211qxqaxxMAC axxM2)( 10 2)( :

8、222qxqaxxMBCaxxM2)(20qBAaaCx2x1BAaaCMC0=1 d)()( )()()(00)(00aBCaABxEIxMxMdxEIxMxMc=022 AvB例例 13 如圖所示剛架，AB段受均布載荷q作用。試求A點的鉛垂位移 和B截面轉角 。 例例4 4 拐桿如圖，A處為一軸承，允許桿在軸承內自由轉動，但不能上下移動，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B點的垂直位移。PxxMAB)(xxMAB)(0PxMnCA3 . 0)(13 . 0)(10 xMCAn解：畫單位載荷圖求內力510 20A300P=60NBx500Cx1510 20A300Bx500C=1P0P

9、xxMAB)(xxMAB)(0PxMnCA3 . 0)(13 . 0)(10 xMCAnLLPnnBxEIxMxMxGIxMxMd)()( d)()( 011013 . 0025 . 001dd3 . 03 . 0 xEIPxxGIPPPACABABABGILPLLEIPL33333101052103123 . 0603410202104 . 0325 . 03 . 0603 . 0mm22. 8變形( )25 例16 一桁架如圖，各桿EA相同，節(jié)點B承受集中力F和2F作用，求桿BC的轉角。26 1. 用卡氏定理、摩爾積分法求圖示梁中B點的撓度和C截面的轉角，比較兩種方法的特點。已知EI為常數

10、。 課堂練習課堂練習27 2. 試用卡氏定理求圖示剛架截面A的轉角和截面C的鉛垂位移。EI為已知常數。 28 3. 試用卡氏定理求圖示剛架C點兩側截面的相對轉角。EI已知。29 4. 由桿系及梁組成的混合結構如圖所示。設FP、a、E、A、I均為已知。試求C點的垂直位移。 30 5. 半圓形小曲率曲桿的A端固定，在自由端作用扭轉力偶矩Me。曲桿橫截面為圓形，其直徑為d。試用卡氏定理求B端的扭轉角。 113 卡氏定理卡氏定理給Pn 以增量 dPn ，則：),.,(21nPPPUU nnPPUUUd11. 先給物體加P1、 P2、 Pn 個力，則：2.先給物體加力 dPn ，則：)d()d(212n

11、nPU一、定理證明一、定理證明 1P2P nnP再給物體加P1、 P2、Pn 個力，則：)d(21nnPUUUnnPU 1P2P nnPn nPU 第二卡氏定理第二卡氏定理 意大利工程師阿爾伯托卡斯提安諾(Alberto Castigliano， 18471884)二、使用卡氏定理的注意事項：二、使用卡氏定理的注意事項：U整體結構在外載作用下的線 彈性變形能 Pn 視為變量，結構反力和變形能 等都必須表示為 Pn的函數為 Pn 作用點的沿 Pn 方向的變形。當無與 對應的 Pn 時，先加一沿 方向的 Pn ，求偏導后， 再令其為零。1P2P nnP三、特殊結構（桿）的卡氏定理：三、特殊結構（桿

12、）的卡氏定理：LLPLxEIxMxGIxMxEAxNUd2)( d2)( d2)( 22n2LnLnnPLnnnxPxMEIxMxPxMGIxMxPxNEAxNPUd)()( d)()( d)()( n 例例5 5 結構如圖，用卡氏定理求A 面的撓度和轉角。變形求內力解：求撓度，建坐標系xPxPxMA)(EIPL33將內力對PA求偏導xPxMA)(LAAAxPxMEIxMPUfd)()( LxEIPx02dALPEIxO ( )求轉角 A求內力AMxPxM)(沒有與A向相對應的力（廣義力），加之。EIPL22 “負號”說明 A與所加廣義力MA反向。( )EIPLA22 將內力對MA求偏導后，令

13、M A=01)(0AMAMxMLAAxMxMEIxMd)()( LxEIPx0d求變形（ 注意：M A=0）LxO APMA 例例6 結構如圖，用卡氏定理求梁的撓曲線。解：求撓曲線任意點的撓度 f（x）求內力將內力對Px 求偏導后，令Px=0沒有與f（x）相對應的力，加之。)()()(111xxPxLPxMxAB)()(11xLPxMBCxxPxMPxAB10)(x0)(0 xxBCPPxMPALxBPx CfxOx1變形（ 注意：Px=0）LxxxPxMEIxMPUxfd)()( )(xxxxxLPEI0111d)(1)2)(3(223LxxxLxEIP 例例7 等截面梁如圖，用卡氏定理求B

14、 點的撓度。求內力解：1.依 求多余反力，0 Cf將內力對RC求偏導)5 . 0()()(xLPxLRxMCAB)()(xLRxMCBCxLRxMCAB)(取靜定基如圖xLRxMCBC)(PCAL0.5 LBfxOPCAL0.5 LBRC變形LCCCxRxMEIxMRUfd)()( LCLxxLRxxLxLPEI025 .00d)(d)()5 .0(10)3485(133LRPLEIC165PRC2.求Bf將內力對P求偏導)5 .0()(165)(xLPxLPxMAB)(165)(xLPxMBC16311)(LxPxMAB16)(5)(xLPxMBC求內力變形LBxPxMEIxMPUfd)()

15、( LLLxxLPxLxPEI5 .0225 .002d)()165(d)16311(1EIPL76873( )變形解：畫單位載荷圖求內力 例例8 結構如圖，求A、B兩面的拉開距離。PPAB1144 第十一章第十一章 練習題練習題 一、抗拉（壓）剛度為一、抗拉（壓）剛度為EIEI的等直桿，受力如圖，的等直桿，受力如圖，其變形能是否為：其變形能是否為： 二、試述如何用卡氏定理求圖示梁自由端的撓度。二、試述如何用卡氏定理求圖示梁自由端的撓度。 三、剛架受力如圖，已知三、剛架受力如圖，已知EIEI為常數，試用莫爾為常數，試用莫爾定理求定理求A A、B B兩點間的相對位移（忽略兩點間的相對位移（忽略CDCD段的拉伸變段的拉伸變形）。形）。 ?22222121EALPEALPU45解：解： aaEIxMxME