定積分典型例題20例答案

1、定積分典型例題20例答案例1求lim丄(訴2返孑"Vn3).nn分析將這類問題轉(zhuǎn)化為定積分主要是確定被積函數(shù)和積分上下限.若對(duì)題目中被積函數(shù)難以想到，可采取如下方法：先對(duì)區(qū)間0,1n等分寫出積分和，再與所求極限相比較來找出被積函數(shù)與積分上下限.11111解將區(qū)間0,1n等分，則每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)為Xi丄，然后把丄丄的一個(gè)因子-乘nnnnn入和式中各項(xiàng).于是將所求極限轉(zhuǎn)化為求定積分.即lim丄(訴22n2n3)=lim-(1故f(x31)2，令x3126得x3，所以f(26)3x27lim丄(訴22n2n3)=lim-(1故f(x31)2，令x3126得x3，所以f(26)3x273)=1x

2、dx-.nn2nnn,n,n0422例22xxdx=.0常2解法1由定積分的幾何意義知，0.2xx2dx等于上半圓周(x1)2y21(y0)與x軸所圍成的圖形的面積.故2xx2dx=.02解法2本題也可直接用換元法求解.令x1=sint(t),則222x2xdx=2.1sin2tcostdt=2202,1sin2tcostdt=2：cos2tdt=例3(1)若f(x)x2xtexdt,則f(x)=；(2)若f(x)0xf(t)dt,求f(x)=分析這是求變限函數(shù)導(dǎo)數(shù)的問題，利用下面的公式即可d_dxd_dxv(x)u(x)f(t)dtfv(x)v(x)fu(x)u(x).42解(1)f(x)=

3、2xexex(2)(2)由于在被積函數(shù)中x不是積分變量，故可提到積分號(hào)外即xf(x)Xof(t)dt，則可得xf(x)=0f(t)dtxf(x).x1例4設(shè)f(x)連續(xù)，且。f(t)dtx，貝Uf(26)=X31解對(duì)等式of(t)dtx兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得32f(x1)3x1,例5函數(shù)f(x)X1(31)dt(X0)的單調(diào)遞減開區(qū)間為F(x)1ii，令F(X)0得X3，解之得0X9，即©9)為所求.f(x)X0(1t)arctantdt的極值點(diǎn).f(x)=(1x)arctanx.令f(x)=0，得X1,X0.列表如下:-+一故X1由題意先求駐點(diǎn).于是例7已知兩曲線yf(x)與yg(x)在

4、點(diǎn)(0,0)處的切線相同，其中arcsinx上2g(x)門edt,x1,1,為f(x)的極大值點(diǎn)，X0為極小值點(diǎn).試求該切線的方程并求極限limnf(3).nn分析兩曲線y分析兩曲線yf(x)與yg(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線相同，隱含條件f(0)g(0)，f(0)g(0)解由已知條件得f(0)g(0)f(0)g(0)°e"dt0且由兩曲線在(0,0)處切線斜率相同知2f(0)g(0)(arcsinx)e故所求切線方程為yx.而nimnf"Iim3nf(-)n0nf(0)3f(0)3X22sintdt例8求lim宀x00xt(tsint)dt分析該極限屬于0型未定

5、式，可用洛必達(dá)法則.0X22nsintdt2x(sinx2)2解lim廠=lim=(X0xt(tsint)dtX0(9)X(Xsinx)2)lim4X-X01cosx12x2小=(2)lim=0.x0sinx注此處利用等價(jià)無窮小替換和多次應(yīng)用洛必達(dá)法則.例9試求正數(shù)a與b，使等式lim1一XrdtX0xbsinx1成立.分析易見該極限屬于0型的未定式，可用洛必達(dá)法則.01xt2解x1叫匚帛。冇水二叫彳1xt2解x1叫匚帛。冇水二叫彳2xax!=limJbcosxx2xlimx01bcosxlimx01bcosx由此可知必有l(wèi)im(1bcosx)0,得b1又由得a4.即a4,sinx丄limax

6、01為所求.2x1cosx例10設(shè)f(x)2340sintdt,g(x)xx，則當(dāng)0時(shí)，f(x)是g(x)的().A.等價(jià)無窮小.B.同階但非等價(jià)的無窮小.f(x)sin(sin2x)cosx解法1由于limlim2廠x0g(x)x03x4x1x21lim23x0x23C.高階無窮小.D.低階無窮小.故f(x)是g(x)同階但非等價(jià)的無窮小.選B.解法2將sint2展成t的幕級(jí)數(shù)，再逐項(xiàng)積分，得到1.sin42sinxf(x)0t212313(t2)3"dtsin3x3!37x，lim凹x0g(x)0o3z114sinx(sinx34234xx)ymo1.4sinx-421x2例11

7、計(jì)算1|x|dx.分析被積函數(shù)含有絕對(duì)值符號(hào)，應(yīng)先去掉絕對(duì)值符號(hào)然后再積分.22020f(t)dt是常數(shù)，記0f(t)dta，則x01|x|dx=1(x)dx0xdx=1312嚴(yán)312嚴(yán)在使用牛頓-萊布尼茲公式時(shí)，應(yīng)保證被積函數(shù)在積分區(qū)間上滿足可積條件.如丄32丄，則是錯(cuò)誤的.錯(cuò)誤的原因則是由于被積函數(shù)$在x0處間斷且在被x6x2積區(qū)間內(nèi)無界.分析本題只需要注意到定積分f(x)dx是常數(shù)(a,b為常數(shù)).解因f(x)連續(xù)，f(x)必可積,從而所以從而a，所以例13計(jì)算2x2I 1分析f(x)x3a，且1 21x23ax02f(x)xxdx.2x1o(x3a)dx10f(t)dta.3aa,由于

8、積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此首先應(yīng)考慮被積函數(shù)的奇偶性.I 2x2xdx=1x2I 2x2dx1x2dx.由于111x22x是偶函數(shù)，而11x2-疋奇11x2旦古函數(shù),111x=dx2x0,12x2x1rxydx=4dx=4x1x2(1.1x2)011.2dx=40dx40.1xdx由定積分的幾何意義可知x2dx,故4I 2x2xdx1x214dx0例14計(jì)算it2)dt，其中f(x)連續(xù).分析要求積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù),但被積函數(shù)中含有x,因此不能直接求導(dǎo)，必須先換元使被積函數(shù)中不含，然后再求導(dǎo).由于x20tf(x21x222t)dt=20f(xt)dt.故令x2990時(shí)ux；當(dāng)tx時(shí)u0，而dt

9、x22100tf(xt)dt=-x2f(u)(du，所以x2f(u)du,d_dx0tf(x2t2)dt=£2x2120f(u)du=-f(x)22x=xf(x).錯(cuò)誤解答ddxx0tf(x2t2)dtxf(x2x)xf(0).錯(cuò)解分析這里錯(cuò)誤地使用了變限函數(shù)的求導(dǎo)公式，公式中要求被積函數(shù)f(t)中不含有變限函數(shù)的自變量而f(x2t2)含有x，因此不能直接求導(dǎo)，而應(yīng)先換元.例15計(jì)算3xsinxdx.0分析被積函數(shù)中出現(xiàn)幕函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形，通常采用分部積分法.03xsinxdx；xd(cosx)x(cosx)003(cosx)dx03cosxdx例16例16計(jì)算"J

10、dx.0(3x)解qn(10(3x)2x)1dx=Qln(11x)d()3x1=ln(13x1111=1n20()dx2401x3x分析被積函數(shù)中出現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)的情形，可考慮采用分部積分法.x)00(3x)dx11In2ln3.24例17計(jì)算tsin2t20例17計(jì)算tsin2t20exsinxdx.0分析被積函數(shù)中出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形通常要多次利用分部積分法.解由于inxdx2sinxdex0exsinx2。咕cosxdxe202excosxdx,而2exsinxdx0(1)(2)將（2）式代入（1）式可得02exsinxdxe2esinxdx1,2exsinxdx1).1例18計(jì)算0xarcsinxdx.分析被積函數(shù)中出現(xiàn)反三角函數(shù)與幕函數(shù)乘積的情形，通常用分部積分法.2221.1xx11x2100xarcsinxdx0arcsinxd()arcsinxod(arcsinx)將（2）式代入（1）式中得1eXarcsinxdx08(0).例19設(shè)f(x)0,上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f()3且0f(x)f(x)cosxdx2,求分析被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式，可考慮用分部積分法求解.解由于0f(x)f(x)cosx