數(shù)字電路 康華光(第五版)ch2邏輯代數(shù)

1、12 .邏輯代邏輯代數(shù)數(shù)2.1 邏輯代數(shù)邏輯代數(shù) 2.2 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法 2本章要求：本章要求：1 1、熟悉邏輯代數(shù)常用基本定律、恒等式熟悉邏輯代數(shù)常用基本定律、恒等式和規(guī)則，掌握邏輯函數(shù)的變換和代數(shù)化簡法。和規(guī)則，掌握邏輯函數(shù)的變換和代數(shù)化簡法。2 2、掌握邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法。、掌握邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法。3 2.1.1 邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式2.1 邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)2.1.3 邏輯函數(shù)的變換及代數(shù)化簡法邏輯函數(shù)的變換及代數(shù)化簡法2.1.2 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則邏輯代數(shù)的基本規(guī)則42.1 邏輯代數(shù)邏輯代數(shù) 邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)是分析和

2、設(shè)計現(xiàn)代數(shù)字邏輯電路不可是分析和設(shè)計現(xiàn)代數(shù)字邏輯電路不可缺少的數(shù)學(xué)工具。邏輯代數(shù)有一系列的定律、定理和缺少的數(shù)學(xué)工具。邏輯代數(shù)有一系列的定律、定理和規(guī)則，用于對數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行處理，以完成對邏輯電規(guī)則，用于對數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行處理，以完成對邏輯電路的化簡、變換、分析和設(shè)計。路的化簡、變換、分析和設(shè)計。 邏輯關(guān)系邏輯關(guān)系指的是事件產(chǎn)生的條件和結(jié)果之間的指的是事件產(chǎn)生的條件和結(jié)果之間的因果關(guān)系。在數(shù)字電路中往往是將事情的條件作為輸因果關(guān)系。在數(shù)字電路中往往是將事情的條件作為輸入信號，而結(jié)果用輸出信號表示。條件和結(jié)果的兩種入信號，而結(jié)果用輸出信號表示。條件和結(jié)果的兩種對立狀態(tài)分別用邏輯對立狀態(tài)分別用邏輯“

3、1” 和和“0”表示。表示。51 1、邏輯常量運(yùn)算公式、邏輯常量運(yùn)算公式0+0 = 00+1 = 11+0 = 11+1 = 11 = 00 = 100 = 001 = 010 = 011 = 12.1.12.1.1邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式62 2、邏輯常量、變量運(yùn)算公式、邏輯常量、變量運(yùn)算公式真值表證明法真值表證明法:變量的取值只能為變量的取值只能為0或或1，分別代入，等式左，分別代入，等式左右兩邊均相等，即可驗證右兩邊均相等，即可驗證 A+0 = AA+1 = 1A+A = AA+A = 1A=AA0 = 0A1 = AAA = AAA = 073 3、邏輯代數(shù)

4、的基本定律、邏輯代數(shù)的基本定律 邏輯代數(shù)的基本定律是化簡和變換邏輯函數(shù)式，分析、邏輯代數(shù)的基本定律是化簡和變換邏輯函數(shù)式，分析、設(shè)計邏輯電路的重要工具。設(shè)計邏輯電路的重要工具。1 1）與普通代數(shù)相似的定律）與普通代數(shù)相似的定律普通代數(shù)不適用A+B = B+AAB = BAA+(B+C) = (A+B)+C = B+(A+C)A(BC) = (AB) C = B(AC)A (B+C) = AB+ACA+(BC) = (A+B) (A+C)82 2） 吸收律吸收律BCABCACABACABA)()(BAAABAAABAABA)1 (AABABAA)(BA AABAABAA)(BABAABCACAB

5、A)(93) 3) 包含律包含律AB+AC+BC=AB+AC證：證：AB+AC+BC=AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+AC推論：推論：AB+AC+BCDEF=AB+AC104 4） 反演律（摩根定律）反演律（摩根定律） BABABAAB( (真值表證明法真值表證明法) )011 = 001+1=00 01 1110 = 101+0=00 11 0101 = 100+1=01 00 1100 = 110+0=11 10 0A+BA+BA B A BABA B11“異或異或”運(yùn)算運(yùn)算A A=0A A=1A 0=AA 1=AA B=A B

6、=(A B) 1A B=B AA (B C)=(A B) CA(B C)=(AB) (AC)12 2.1.2 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則邏輯代數(shù)的基本規(guī)則 代入規(guī)則代入規(guī)則 在包含變量在包含變量A邏輯等式中，如果用另一個函數(shù)式代入式中邏輯等式中，如果用另一個函數(shù)式代入式中所有所有A的位置，則等式仍然成立。的位置，則等式仍然成立。例例：B (A + C) = BA+BC，用用A + D代替代替A，得，得B (A +D) +C = B(A +D) + BC = BA + BD + BCl 代入規(guī)則可以擴(kuò)展所有基本公式或定律的應(yīng)用范圍代入規(guī)則可以擴(kuò)展所有基本公式或定律的應(yīng)用范圍13 對于任意一個邏輯函數(shù)表達(dá)

7、式對于任意一個邏輯函數(shù)表達(dá)式L，若將其中所有的，若將其中所有的 與（與（ ）換成或（）換成或（+），或（），或（+）換成與（）換成與（）；）； 原變量換為反變量，反變量換為原變量；原變量換為反變量，反變量換為原變量； 將將1換成換成0，0換成換成1； 則得到的結(jié)果就是原函數(shù)的則得到的結(jié)果就是原函數(shù)的非函數(shù)非函數(shù)。2. 2. 反演規(guī)則反演規(guī)則)(1)(DCBADCB)(AL 0CDBAL例：例：試求試求 的非函數(shù)的非函數(shù)解：按照反演規(guī)則，得解：按照反演規(guī)則，得 14LABAC 對于任何邏輯函數(shù)式，若將其中所有的對于任何邏輯函數(shù)式，若將其中所有的 與（與（ ）換成或（）換成或（+），或（），或（+

8、）換成與（）換成與（）；）； 并將并將1換成換成0，0換成換成1； 那么，所得的新的函數(shù)式就是那么，所得的新的函數(shù)式就是L的的對偶式對偶式，記作，記作 。 L()()LAB A C例例: 邏輯函數(shù)邏輯函數(shù) 的對偶式為的對偶式為3. 3. 對偶規(guī)則對偶規(guī)則對偶規(guī)則：對偶規(guī)則：當(dāng)某個邏輯恒等式成立時，則該恒等式兩當(dāng)某個邏輯恒等式成立時，則該恒等式兩側(cè)的對偶式也相等。側(cè)的對偶式也相等。15化簡的主要方法：化簡的主要方法：公式法（代數(shù)法）公式法（代數(shù)法） 圖解法（卡諾圖法）圖解法（卡諾圖法）代數(shù)化簡法：代數(shù)化簡法：運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式進(jìn)行化簡。運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式進(jìn)行化簡。 最簡與

9、最簡與- -或表達(dá)式：或表達(dá)式：包含的與項數(shù)最少，且每個與項中變量數(shù)最少。包含的與項數(shù)最少，且每個與項中變量數(shù)最少。化簡的意義：化簡的意義：由真值表直接寫出的邏輯式及由此畫出的邏由真值表直接寫出的邏輯式及由此畫出的邏輯圖，一般比較復(fù)雜。若經(jīng)過簡化，則可使用較少的邏輯輯圖，一般比較復(fù)雜。若經(jīng)過簡化，則可使用較少的邏輯門實(shí)現(xiàn)同樣的邏輯功能，從而可節(jié)省器件，降低成本，提門實(shí)現(xiàn)同樣的邏輯功能，從而可節(jié)省器件，降低成本，提高電路工作的可靠性。高電路工作的可靠性。 2.1.3 邏輯函數(shù)的化簡與變換邏輯函數(shù)的化簡與變換1、邏輯函數(shù)的化簡、邏輯函數(shù)的化簡16例：例：a) 并項法并項法b) 吸收法吸收法例：例：

10、運(yùn)用公式運(yùn)用公式 ，將兩項合并為一項，并消去一個變量。，將兩項合并為一項，并消去一個變量。1 AACBACBABACCBA)(運(yùn)用公式運(yùn)用公式 ，消去多余的與項。，消去多余的與項。AABA)(FEBCDABABA2、代數(shù)化簡法、代數(shù)化簡法17 在不能直接運(yùn)用公式化簡時，可通過乘在不能直接運(yùn)用公式化簡時，可通過乘 或加或加 ，進(jìn)行配項再化簡。，進(jìn)行配項再化簡。c) 消去法消去法d) 配項法配項法運(yùn)用公式運(yùn)用公式 ，消去多余因子。，消去多余因子。BABAACBCAABCBAAB)(CABABCAB1)( AA0)(AA18)()(CBACACABABCBAACAAB)(CBACABCAABCBCA

11、ABLABABCCABLABABABABCCABABABCABCAB)(ABABCABCABCBAABCCBACABCABABCABABCABCABABABCCAB)(CAAB191. 邏輯代數(shù)與普通代數(shù)的公式易混淆，化簡過程要求對所邏輯代數(shù)與普通代數(shù)的公式易混淆，化簡過程要求對所有公式熟練掌握；有公式熟練掌握；2. 代數(shù)法化簡技巧性強(qiáng)，無一套完善的方法可循，而是依代數(shù)法化簡技巧性強(qiáng)，無一套完善的方法可循，而是依賴于人的經(jīng)驗和靈活性，因此較難掌握；賴于人的經(jīng)驗和靈活性，因此較難掌握；3.判斷用代數(shù)法化簡后得到的邏輯表達(dá)式是否為最簡式有判斷用代數(shù)法化簡后得到的邏輯表達(dá)式是否為最簡式有一定困難。一

12、定困難。代數(shù)法化簡在使用中遇到的困難：代數(shù)法化簡在使用中遇到的困難：20“或或-與與”表達(dá)式表達(dá)式“與非與非-與非與非”表達(dá)式表達(dá)式 “與與- -或或- -非非”表達(dá)式表達(dá)式“或非或非或非或非” 表達(dá)式表達(dá)式“與與- -或或” 表達(dá)式表達(dá)式DCACLDCAC)(DCCA)()(C+DCADCCA3 3、邏輯函數(shù)的變換、邏輯函數(shù)的變換邏輯代數(shù)變換，可用不同的門電路實(shí)現(xiàn)相同的邏輯功能。邏輯代數(shù)變換，可用不同的門電路實(shí)現(xiàn)相同的邏輯功能。21b) b) 應(yīng)用應(yīng)用“與非與非”門構(gòu)成門構(gòu)成“與與”門電路門電路AL&B&ABL AB&LAa) a) 應(yīng)用應(yīng)用“與非與非”門構(gòu)成門構(gòu)成“

13、非非”門電路門電路AL AA22d) d) 用用“與非與非”門構(gòu)成門構(gòu)成“或非或非”門門LBA&c) c) 應(yīng)用應(yīng)用“與非與非”門構(gòu)成門構(gòu)成“或或”門電路門電路BAL&BABALBABABABAL23)()(CCDBADBADDABLDBADBA=AB)(DDBAABBAABBAAB BAABCDBADCBAABDDBADABL 例例:已知邏輯函數(shù)表達(dá)式為已知邏輯函數(shù)表達(dá)式為要求：（要求：（1）化簡得最簡的與）化簡得最簡的與-或表達(dá)式；或表達(dá)式； （2）僅用與非門，畫出最簡表達(dá)式的邏輯圖。）僅用與非門，畫出最簡表達(dá)式的邏輯圖。 B A L AB BA & & &

14、amp; & & 解：解： 242.2 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法2.2.2 邏輯函數(shù)的最小項表達(dá)式邏輯函數(shù)的最小項表達(dá)式2.2.1 最小項的定義及性質(zhì)最小項的定義及性質(zhì)2.2.4 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)2.2.3 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)用卡諾圖表示邏輯函數(shù)25n個變量個變量X1, X2, , Xn的的最小項最小項是是n個因子的乘積，每個因子的乘積，每個變量都以它的原變量或非變量的形式在乘積項中出現(xiàn)，個變量都以它的原變量或非變量的形式在乘積項中出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次。且僅出現(xiàn)一次。n個變量應(yīng)有個變量應(yīng)有2n個最小項。個最小項。 ABCCBAACBA

15、BA、)(不是最小項。不是最小項。例如：例如：A、B、C三個邏輯變量的最小項有三個邏輯變量的最小項有8（23）個，即）個，即 ABCCABCBACBABCACBACBACBA、1、最小項的定義、最小項的定義2.2.1 最小項的定義及其性質(zhì)最小項的定義及其性質(zhì)26l對于任意一個最小項，有且只有一組變量取值使得它的值為對于任意一個最小項，有且只有一組變量取值使得它的值為1；l對于變量的任一組取值，有且只有一個最小項的值為對于變量的任一組取值，有且只有一個最小項的值為1 。2、最小項的性質(zhì)、最小項的性質(zhì) ABC000001010011100101110111010000000010000000001

16、00000010000000001000000001000000001CBABCACBACBACBACABABCCBA三個變量的所有最小項的真值表三個變量的所有最小項的真值表 10000000273、最小項的編號、最小項的編號 三個變量的所有最小項的真值表三個變量的所有最小項的真值表 m0m1m2m3m4m5m6m7最小項的表示：最小項的表示：通常用通常用m i表示最小項，表示最小項，m 表示最小項表示最小項, ,下標(biāo)下標(biāo)i (使該最小項為使該最小項為1的變量取值所對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)的變量取值所對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù))為最小項號。為最小項號。 ABC0001000000000101000000010001

17、000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001CBABCACBACBACBACABABCCBA28 2.2.2 邏輯函數(shù)的最小項表達(dá)式邏輯函數(shù)的最小項表達(dá)式 = m7m6m3m1 邏輯函數(shù)的邏輯函數(shù)的最小項表達(dá)式最小項表達(dá)式 為為“與與- -或或”邏輯表達(dá)式；邏輯表達(dá)式； 在在“與與- -或或”式中的每個乘積項都是最小項。式中的每個乘積項都是最小項。CBABCACABABCCBAL),(例例: : 將將變換成最小項表達(dá)式變換成最小項表達(dá)式。CAABCBAL),(CBBACCABCBAL)()(),(CBABCACABAB

18、C)7 , 6 , 3 , 1 (m29( , ,)()L A B CABABC AB 例例: : 將將 化成最小項表達(dá)式?；勺钚№棻磉_(dá)式。 a.a.去掉非號去掉非號()()L A,B,CABABCAB()AB AB CAB()()AB AB CABb. .去括號去括號ABCABCAB()ABCABCAB CCABCABCABCABC3576(3,5,6,7)mmmmm302.2.3 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)用卡諾圖表示邏輯函數(shù)1、卡諾圖的引出、卡諾圖的引出將將n個變量的全部最小項都用小方塊表示，并將這些小方個變量的全部最小項都用小方塊表示，并將這些小方塊按一定規(guī)則排列起來（使具有塊按一定規(guī)則排

19、列起來（使具有邏輯相鄰的最小項邏輯相鄰的最小項在幾何位在幾何位置上也相鄰），這樣得到的圖形叫置上也相鄰），這樣得到的圖形叫n變量的變量的卡諾圖卡諾圖。邏輯相鄰的最小項：邏輯相鄰的最小項：如果兩個最小項有且只有一個變?nèi)绻麅蓚€最小項有且只有一個變量互為反變量，那么，就稱這兩個最小項在邏輯上相鄰。量互為反變量，那么，就稱這兩個最小項在邏輯上相鄰。如如: :最小項最小項m6=ABC 與與m7 =ABC 在邏輯上相在邏輯上相鄰鄰m7m631LAB10100100011110三變量卡諾圖三變量卡諾圖四變量卡諾圖四變量卡諾圖BABABAAB兩變量卡諾圖兩變量卡諾圖m0m1m2m3ACCCBABCACBABC

20、ACBACBACBAABCCAB m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7ADBB一變量卡諾圖一變量卡諾圖10AAm0m1L m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m110001111000011110ABCDLLAAB32各小方格對應(yīng)于變量不同的最小項，而且上下左右各小方格對應(yīng)于變量不同的最小項，而且上下左右在幾何上相鄰的方格內(nèi)有且只有一個因子不同在幾何上相鄰的方格內(nèi)有且只有一個因子不同;水平方向同一行里，最左和最右端的方格也符合上水平方向同一行里，最左和最右端的方格也符合上述相鄰規(guī)律；述相鄰規(guī)律；垂直方向同一列里，最上和最

21、下端的方格也符合上垂直方向同一列里，最上和最下端的方格也符合上述相鄰規(guī)律述相鄰規(guī)律。2、卡諾圖的特點(diǎn)、卡諾圖的特點(diǎn)CBABCACBABCACBACBACBAABCCABABLC333、已知邏輯函數(shù)畫卡諾圖、已知邏輯函數(shù)畫卡諾圖當(dāng)邏輯函數(shù)為最小項表達(dá)式時，在卡諾圖中找出和表達(dá)當(dāng)邏輯函數(shù)為最小項表達(dá)式時，在卡諾圖中找出和表達(dá)式中最小項對應(yīng)的小方格填上式中最小項對應(yīng)的小方格填上1，其余的小方格填上，其余的小方格填上0（有時（有時也可用空格表示），就可以得到相應(yīng)的卡諾圖。也可用空格表示），就可以得到相應(yīng)的卡諾圖。任何邏輯函任何邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖中為數(shù)都等于其卡諾圖中為1的方格所對應(yīng)的最小項之和的方

22、格所對應(yīng)的最小項之和。例：例：畫出畫出）（15,14,11,10, 8 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0),(mDCBAL的卡諾圖的卡諾圖。ACDB 0 1 2 3 4 5 6 7 12 131415 89 10 110001111000011110ABCDL 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 134例例: 畫出下式的卡諾圖畫出下式的卡諾圖解解:1) 將邏輯函數(shù)化為最小項表達(dá)式將邏輯函數(shù)化為最小項表達(dá)式)15,13,10, 6 , 0(m)()()(),(DCBADCBADCBADCBADCBADCBALDCBADBCADCBADCABABCDLDCBADBCA

23、DCBADCABABCDDCBADBCADCBADCABABCDL35ACDB 0 1 2 3 4 5 6 7 12 131415 89 10 110001111000011110ABCDL2) 填寫卡諾圖填寫卡諾圖)15,13,10, 6 , 0(mDCBADBCADCBADCABABCDL 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 136ACDB m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m110001111000011110ABCDL 2.2.4 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù) 1、化簡的依據(jù)、化簡的依

24、據(jù)DABDADBADBACDBADCBA BDABCDADCBA ADABDDBA DADDA 372、化簡的步驟、化簡的步驟用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟如下：用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟如下：(4) 將所有包圍圈對應(yīng)的乘積項相加，即可得最簡與將所有包圍圈對應(yīng)的乘積項相加，即可得最簡與-或表或表達(dá)式。達(dá)式。(1) 將邏輯函數(shù)寫成最小項表達(dá)式將邏輯函數(shù)寫成最小項表達(dá)式;(2) 按最小項表達(dá)式填卡諾圖，凡式中包含了的最小項，按最小項表達(dá)式填卡諾圖，凡式中包含了的最小項，其對應(yīng)方格填其對應(yīng)方格填“1”，其余方格填，其余方格填“0”。(3) 合并最小項，即將相鄰的合并最小項，即將相鄰的“1”方格圈成一組方

25、格圈成一組(包圍圈包圍圈)，每，每一組含一組含2n個方格，對應(yīng)每個包圍圈寫成一個乘積項。個方格，對應(yīng)每個包圍圈寫成一個乘積項。38畫包圍圈時應(yīng)遵循的原則：畫包圍圈時應(yīng)遵循的原則： （1 1）包圍圈內(nèi)的方格數(shù)一定是）包圍圈內(nèi)的方格數(shù)一定是2n個，且包圍圈必須呈矩形。個，且包圍圈必須呈矩形。（2）循環(huán)相鄰特性包括上下底相鄰，左右邊相鄰和四角相鄰。循環(huán)相鄰特性包括上下底相鄰，左右邊相鄰和四角相鄰。（4）所以）所以“1”方格都必須被包圍；方格都必須被包圍；同一方格可以被不同的包圍同一方格可以被不同的包圍圈重復(fù)包圍多次，但新增的包圍圈中一定要有原有包圍圈未曾圈重復(fù)包圍多次，但新增的包圍圈中一定要有原有包

26、圍圈未曾包圍的方格。包圍的方格。（3）一個包圍圈的方格數(shù)要盡可能多一個包圍圈的方格數(shù)要盡可能多, ,包圍圈的數(shù)目要可能少。包圍圈的數(shù)目要可能少。 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 00 01 11 10 AB CD 00 01 11 10 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 00 01 11 10 AB CD 00 01 11 10 39DBBDL BD 例例: 用卡諾圖法化簡下列邏輯函數(shù)用卡諾圖法化簡下列邏輯函數(shù)（2）畫包圍圈合并最小項，得最簡與）畫包圍圈合并最小項，得最簡與-或表達(dá)式或表達(dá)式 解：解：(1) 由由L 畫出卡諾圖畫出卡諾圖)15,13,10, 8 , 7 , 5 , 2 , 0(),(mDCBAL L C 1 0 0 1 0 1 1 0 0