第21節(jié)正方形

1、首頁首頁末頁末頁數(shù)學數(shù)學第第2 21 1節(jié)節(jié) 正方形正方形考考 點點 梳梳 理理課課 前前 預預 習習課課 堂堂 精精 講講福州福州 中中 考考首頁首頁末頁末頁數(shù)學數(shù)學課課 前前 預預 習習A1.（2015衡陽模擬）正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（ ）A對角線相等 B對角線互相垂直平分 C對角線平分一組對角 D四條邊相等考點：考點：正方形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)正方形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)分析：分析：根據(jù)正方形與菱形的性質(zhì)即可求得答案，注意排除法在解選根據(jù)正方形與菱形的性質(zhì)即可求得答案，注意排除法在解選擇題中的應用擇題中的應用解答：解答：解：正方形的性質(zhì)有：四條邊都相等，四個角都是直角，對解：正方形

2、的性質(zhì)有：四條邊都相等，四個角都是直角，對角線互相平分垂直且相等，而且平分一組對角；菱形的性質(zhì)有：四角線互相平分垂直且相等，而且平分一組對角；菱形的性質(zhì)有：四條邊都相等，對角線互相垂直平分條邊都相等，對角線互相垂直平分正方形具有而菱形不一定具正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是：對角線相等有的性質(zhì)是：對角線相等故選故選A點評：點評：此題考查了正方形與菱形的性質(zhì)此題比較簡單，解題的關此題考查了正方形與菱形的性質(zhì)此題比較簡單，解題的關鍵是熟記正方形與菱形的性質(zhì)定理鍵是熟記正方形與菱形的性質(zhì)定理首頁首頁末頁末頁數(shù)學數(shù)學課課 前前 預預 習習C2.如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，AC、

3、BE相交于點F，則BFC為（ ） A45 B55C60 D75考點：考點：正方形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)正方形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)分析：分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)求出根據(jù)正方形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)求出ABE=15，BAC=45，再求，再求BFC解答：解答：解：解：四邊形四邊形ABCD是正方形，是正方形，AB=AD，又，又ADE是等邊是等邊三角形，三角形，AE=AD=DE，DAE=60，AB=AE，ABE=AEB，BAE=90+60=150，ABE=（180150）2=15，又又BAC=45，BFC=45+15=60故選：故選：C點評：點

4、評：本題主要是考查正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，本題的本題主要是考查正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，本題的關鍵是求出關鍵是求出ABE=15首頁首頁末頁末頁數(shù)學數(shù)學課課 前前 預預 習習3.如圖，正方形ABCD中，E點在BC上，AE平分BAC若BE= cm，則AEC面積為 cm2考點：考點：正方形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義正方形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義分析：分析：設正方形的邊長為設正方形的邊長為a，根據(jù)題意求出，根據(jù)題意求出a，然后根據(jù)由，然后根據(jù)由AEC面積面積=ABC面積面積ABE的面積計算的面積計算解答：解答：解：設正方形的邊長為解：設正方形的邊長為a，AE平分平分BAC，tanABC

5、=tan2BAE，解，解得得a=2+ ，由由AEC面積面積=ABC面積面積ABE的面積的面積= （2+ ）（）（2 ） （2 ）=2+ 故答案為：故答案為：2+ 點評：點評：本題主要考查正方形的性質(zhì)，是基礎知識，要熟練掌握本題主要考查正方形的性質(zhì)，是基礎知識，要熟練掌握首頁首頁末頁末頁數(shù)學數(shù)學課課 前前 預預 習習AB=BC或或BC=CD或或CD=DA或或DA=AB或或ACBD4.在四邊形ABCD中，已知A=B=C=D=90，若添加一個條件即可判定該四邊形是正方形，則這個條件可以是 考點：考點：正方形的判定正方形的判定專題：專題：開放型開放型分析：分析：由已知可得四邊形由已知可得四邊形ABCD

6、是矩形，則可根據(jù)有一組鄰邊相等是矩形，則可根據(jù)有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直的矩形是正方形添加條件或?qū)蔷€互相垂直的矩形是正方形添加條件解答：解答：解：由解：由A=B=C=D=90可知四邊形可知四邊形ABCD是矩形，根是矩形，根據(jù)根據(jù)有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直的矩形是正方形，得到應據(jù)根據(jù)有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直的矩形是正方形，得到應該添加的條件為：該添加的條件為：AB=BC或或BC=CD或或CD=DA或或DA=AB或或ACBD故故答案為：答案為：AB=BC或或BC=CD或或CD=DA或或DA=AB或或ACBD點評：點評：本題是考查正方形的判別方法，判別一個四邊形為正方形主本題是考查正

7、方形的判別方法，判別一個四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的概念，途經(jīng)有兩種：先說明它是矩形，再說明有要根據(jù)正方形的概念，途經(jīng)有兩種：先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等；先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角一組鄰邊相等；先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角首頁首頁末頁末頁數(shù)學數(shù)學課課 前前 預預 習習5.如圖，在ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，將ADE繞點E旋轉(zhuǎn)180得到CFE（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形（2）當ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF是正方形？請說明理由考點：考點：正方形的判定；平行四邊形的判定正方形的判定；平行四邊形的判定分析：分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得

8、出點）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出點A、E、C三點共線，點三點共線，點D、E、F三點共線，且三點共線，且AE=CD，DE=FE，即可得出答案；（，即可得出答案；（2）首先得出）首先得出CDAB，即，即ADC=90，由（，由（1）知，四邊形）知，四邊形ADCF是平行四邊形是平行四邊形，故四邊形，故四邊形ADCF是矩形進而求出是矩形進而求出CD=AD即可得出答案即可得出答案首頁首頁末頁末頁數(shù)學數(shù)學課課 前前 預預 習習解答：解答：（1）證明：）證明：CFE是由是由ADE繞點繞點E旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)180得到，得到，點點A、E、C三點共線，點三點共線，點D、E、F三點共線，且三點共線，且AE=CE，DE=FE，故四邊形

9、故四邊形ADCF是平行四邊形是平行四邊形（2）解：當）解：當ACB=90，AC=BC時，四邊形時，四邊形ADCF是正方形是正方形理由如下：在理由如下：在ABC中，中，AC=BC，AD=BD，CDAB，即即ADC=90而由（而由（1）知，四邊形）知，四邊形ADCF是平行四邊形，是平行四邊形，四邊形四邊形ADCF是矩形又是矩形又ACB=90， ，故四邊形故四邊形ADCF是正方形是正方形點評：點評：此題主要考查了平行四邊形的判定以及正方形的判定等知識此題主要考查了平行四邊形的判定以及正方形的判定等知識，得出四邊形，得出四邊形ADCF是矩形是解題關鍵是矩形是解題關鍵首頁首頁末頁末頁數(shù)學數(shù)學平行四邊形矩

10、形菱形有一個是直角互相垂直平分且相等考考 點點 梳梳 理理首頁首頁末頁末頁數(shù)學數(shù)學考點考點1 1 正方形的性質(zhì)正方形的性質(zhì)課課 堂堂 精精 講講112.51.（2015蘆溪縣模擬）如圖：延長正方形ABCD的邊BC至E，使CE=AC，連接AE交CD于F，則AFC= 度考點：考點：正方形的性質(zhì)正方形的性質(zhì)專題：專題：計算題計算題分析：分析：根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)可先求得根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)可先求得ACE及及CAE的度數(shù)，從而可求得的度數(shù)，從而可求得AFC的度數(shù)的度數(shù)解答：解答：解：如圖，解：如圖，ACE=90+45=135，CAE= =22.5，AFC=1804522.5=112.5故答案為故答

11、案為112.5點評：點評：解答和正方形有關的題目，要充分利用正方形的對角線平分每一組對角，且解答解答和正方形有關的題目，要充分利用正方形的對角線平分每一組對角，且解答時要注意時要注意45角的特殊作用角的特殊作用首頁首頁末頁末頁數(shù)學數(shù)學課課 堂堂 精精 講講2.（2015撫順）如圖，正方形ABCD的邊長為a，在AB、BC、CD、DA邊上分別取點A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1= a，在邊A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分別取點A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2= A1B2，依次規(guī)律繼續(xù)下去，則正方形AnBnCnDn的面積為 考點：考點

12、：正方形的性質(zhì)正方形的性質(zhì)解答：解答：解：在解：在RtA1BB1中，由勾股定理可知；中，由勾股定理可知；首頁首頁末頁末頁數(shù)學數(shù)學課課 堂堂 精精 講講即正方形即正方形A1B1C1D1的面積的面積= ；在在RtA2B1B2中，由勾股定理可知：中，由勾股定理可知：即正方形即正方形A2B2C2D2的面積的面積=正方形正方形AnBnCnDn的面積的面積= 故答案為：故答案為： 點評：點評：本題主要考查的是正方形的性質(zhì)和勾股定理的應用，通過計算發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律是本題主要考查的是正方形的性質(zhì)和勾股定理的應用，通過計算發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律是解題的關鍵解題的關鍵首頁首頁末頁末頁數(shù)學數(shù)學課課 堂堂 精精 講講3.（20

13、15梧州）如圖，在正方形ABCD中，點P在AD上，且不與A、D重合，BP的垂直平分線分別交CD、AB于E、F兩點，垂足為Q，過E作EHAB于H（1）求證：HF=AP；（2）若正方形ABCD的邊長為12，AP=4，求線段EQ的長考點：考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理專題：專題：證明題證明題分析：分析：（1）先根據(jù)）先根據(jù)EQBO，EHAB得出得出EQN=BHM=90根據(jù)根據(jù)EMQ=BMH得出得出EMQBMH，故，故QEM=HBM由由ASA定理得出定理得出APB HFE，故可得出結論；（，故可得出結論；（2）由勾股定理求出）由勾股定

14、理求出BP的長，根據(jù)的長，根據(jù)EF是是BP的垂的垂直平分線可知直平分線可知BQ= BP，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出QF=BQ的長，由（的長，由（1）知，知，APB HFE，故，故EF=BP=4 ，再根據(jù)，再根據(jù)EQ=EFQF即可得出結論即可得出結論首頁首頁末頁末頁數(shù)學數(shù)學課課 堂堂 精精 講講解答：解答：（1）證明：）證明：EQBO，EHAB，EQN=BHM=90EMQ=BMH，EMQBMH，QEM=HBM在在RtAPB與與RtHFE中，中， ，APB HFE，HF=AP；首頁首頁末頁末頁數(shù)學數(shù)學課課 堂堂 精精 講講（2）解：由勾股定理得，）解：由勾股定理得，

15、BP= = =4 EF是是BP的垂直平分線，的垂直平分線，BQ= BP=2 ，QF=BQtanFBQ=BQtanABP=2 = 由（由（1）知，）知，APB HFE，EF=BP=4 ，EQ=EFQF=4 = 點評：點評：本題考查的是正方形的性質(zhì)，熟知正方形的性質(zhì)及全等三角本題考查的是正方形的性質(zhì)，熟知正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關鍵形的判定與性質(zhì)是解答此題的關鍵首頁首頁末頁末頁數(shù)學數(shù)學考點考點2 2 正方形的判定正方形的判定課課 堂堂 精精 講講ABC=904.如圖，BD是ABC的角平分線，DEBC，交AB于點E，DFAB，交BC于點F，當ABC滿足條件 時，四邊形BEDF

16、是正方形考點：考點：正方形的判定正方形的判定分析：分析：由題意知，四邊形由題意知，四邊形DEBF是平行四邊形，再通過證明一組鄰邊是平行四邊形，再通過證明一組鄰邊相等，可知四邊形相等，可知四邊形DEBF是菱形，進而得出是菱形，進而得出ABC=90時，四邊形時，四邊形BEDF是正方形是正方形首頁首頁末頁末頁數(shù)學數(shù)學課課 堂堂 精精 講講解答：解答：解：當解：當ABC滿足條件滿足條件ABC=90，四邊形，四邊形DEBF是正方形是正方形理由：理由：DEBC，DFAB，四邊形四邊形DEBF是平行四邊形是平行四邊形BD是是ABC的平分線，的平分線，EBD=FBD，又又DEBC，F(xiàn)BD=EDB，則，則EBD

17、=EDB，BE=DE故平行四邊形故平行四邊形DEBF是菱形，是菱形，當當ABC=90時，菱形時，菱形DEBF是正方形是正方形故答案為：故答案為：ABC=90點評：點評：本題主要考查了菱形、正方形的判定，正確掌握菱形以及正本題主要考查了菱形、正方形的判定，正確掌握菱形以及正方形的判定方法是解題關鍵方形的判定方法是解題關鍵首頁首頁末頁末頁數(shù)學數(shù)學課課 堂堂 精精 講講5.（2015蘭州一模）如圖，AB是CD的垂直平分線，交CD于點M，過點M作MEA C，MFAD，垂足分別為E、F（1）求證：CAB=DAB；（2）若CAD=90，求證：四邊形AEMF是正方形考點：考點：正方形的判定；線段垂直平分線的

18、性質(zhì)；等腰三角形的判定正方形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)與性質(zhì)專題：專題：證明題證明題分析：分析：（1）根據(jù)）根據(jù)AB是是CD的垂直平分線，得到的垂直平分線，得到AC=AD，然后利用三，然后利用三線合一的性質(zhì)得到線合一的性質(zhì)得到CAB=DAB即可；（即可；（2）首先判定四邊形）首先判定四邊形AEMF是矩形，然后證得是矩形，然后證得ME=MF，利用鄰邊相等的矩形，利用鄰邊相等的矩形AEMF是正方形進是正方形進行判定即可行判定即可首頁首頁末頁末頁數(shù)學數(shù)學課課 堂堂 精精 講講解答：解答：（1）證明：）證明：AB是是CD的垂直平分線，的垂直平分線，AC=AD，又又ABCDCA

19、B=DAB（等腰三角形的三線合一）；（等腰三角形的三線合一）；（2）證明：）證明：MEA C，MFAD，CAD=90，即即CAD=AEM=AFM=90，四邊形四邊形AEMF是矩形，是矩形，又又CAB=DAB，MEA C，MFAD，ME=MF，矩形矩形AEMF是正方形是正方形點評：點評：本題考查正方形的判定，線段的垂直平分線的性質(zhì)及等腰三本題考查正方形的判定，線段的垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)的知識，綜合性較強，難度不大角形的判定與性質(zhì)的知識，綜合性較強，難度不大首頁首頁末頁末頁數(shù)學數(shù)學課課 堂堂 精精 講講6.如圖，在ABC中，BAC=90，AD是中線，E是AD的中點，過點A作AF

20、BC交BE的延長線于F，連接CF（1）求證：AD=AF；（2）如果AB=AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論考點：考點：正方形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線正方形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線分析：分析：（1）由）由E是是AD的中點，的中點，AFBC，易證得，易證得AEF DEB，即可得，即可得AD=BD，又由在又由在ABC中，中，BAC=90，AD是中線，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊是中線，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可證得的一半，即可證得AD=BD=CD= BC，即可證得：，即可證得：AD=AF；（2）由）由AF

21、=BD=DC，AFBC，可證得：四邊形，可證得：四邊形ADCF是平行四邊形，又由是平行四邊形，又由AB=AC，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，可得根據(jù)三線合一的性質(zhì)，可得ADBC，AD=DC，繼而可得四邊形，繼而可得四邊形ADCF是正方形是正方形首頁首頁末頁末頁數(shù)學數(shù)學課課 堂堂 精精 講講解答：解答：（1）證明：）證明：AFBC，EAF=EDB，E是是AD的中點，的中點，AE=DE，在在AEF和和DEB中，中， ，AEF DEB（ASA），），AF=BD，在在ABC中，中，BAC=90，AD是中線，是中線，AD=BD=DC= BC，AD=AF；首頁首頁末頁末頁數(shù)學數(shù)學課課 堂堂 精精 講講（2）解：四邊

22、形）解：四邊形ADCF是正方形是正方形AF=BD=DC，AFBC，四邊形四邊形ADCF是平行四邊形，是平行四邊形，AB=AC，AD是中線，是中線，ADBC，AD=AF，四邊形四邊形ADCF是正方形是正方形點評：點評：此題考查了正方形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全此題考查了正方形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的等三角形的判定與性質(zhì)此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用應用首頁首頁末頁末頁數(shù)學數(shù)學7 7. . （20102010廣東廣東）如圖，已知小正方形）如圖，已知小正方形ABCDABCD的面積為的面積為1 1，把它的各邊延長一

23、倍得到新正方形把它的各邊延長一倍得到新正方形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1；把正方形；把正方形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1邊長按原法延長一倍得到正方形邊長按原法延長一倍得到正方形A A2 2B B2 2C C2 2D D2 2；以此；以此下去下去，則正方形，則正方形A A4 4B B4 4C C4 4D D4 4的面積為的面積為 解析：解析：最初邊長為最初邊長為1，面積，面積1，延長一次為，延長一次為 ，面積，面積5，再延，再延長為長為51=5，面積，面積52=25，第二次為，第二次為5 ，面積，面積53=125，以此類推，當以此類推，當N=4時，正方形時

24、，正方形A4B4C4D4的面積為：的面積為：54=62554=625首頁首頁末頁末頁數(shù)學數(shù)學8 8. . （20072007廣東廣東）如圖，正方形）如圖，正方形ABCDABCD的邊長為的邊長為3a3a，兩動點，兩動點E E、F F分別分別從頂點從頂點B B、C C同時開始以相同速度沿同時開始以相同速度沿BCBC、CDCD運動，與運動，與BCFBCF相應的相應的EGHEGH在運動過程中始終保持在運動過程中始終保持EGHEGHBCFBCF，對應邊，對應邊EG=BCEG=BC，B B、E E、C C、G G在一直線上在一直線上（1 1）若）若BE=aBE=a，求，求DHDH的長；的長；（2 2）當）

25、當E E點在點在BCBC邊上的什么位置時，邊上的什么位置時，DHEDHE的面積取得最小值？并的面積取得最小值？并求該三角形面積的最小值求該三角形面積的最小值首頁首頁末頁末頁數(shù)學數(shù)學解析：解析：（1）可通過構建直角三角形求解連接）可通過構建直角三角形求解連接FH，則，則FHBE且且FH=BE，F(xiàn)HCD因此三角形因此三角形DFH為直角三角形為直角三角形點點E、F分別從頂點分別從頂點B、C同時開始以相同速度沿同時開始以相同速度沿BC、CD運動運動，那么，那么DF=3aa=2a，DF=2a，F(xiàn)H=a，根據(jù)勾股定理就求出了，根據(jù)勾股定理就求出了DH的長的長（2）設）設BE=x，DHE的面積為的面積為y，通過三角形，通過三角形DHE的面積的面