高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第四章平面向量數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入第25講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例優(yōu)選精品學(xué)案

1、最新教學(xué)推薦第25講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例高考解讀GAOKAOJIEDU考名腰求考情分析命題趨勢1 .理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2 .了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3 .掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，進行平面向量數(shù)量積的運算.4 .能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.5 .會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6 .會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題.2017全國卷I,132017全國卷m,132017天津卷，142017北京卷，122016山東卷，132016江蘇卷，13分值：5分1 .平面向量的數(shù)量積是高考的熱點，

2、主要考查平卸向量數(shù)量積的運算、幾何意義、兩向量的模與夾角以及垂直問題.2 .數(shù)量積的綜合應(yīng)用是高考的重點，常與函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、解析幾何等內(nèi)容結(jié)合考查.板塊一/考點清單，請前查漏知識梳理/1 .平面向量的數(shù)量積若兩個非零向量a與b,它們的夾角為0,則a|b|cos。叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作_ab=|a|b|cosI.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.兩個非零向量a與b垂直的充要條件是a-b=0,兩個非零向量a與b平行的充要條件是一ab=|a|b|.2 .平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a方向上的投影|b|cos。的乘積.3 .平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)

3、設(shè)a,b都是非零向量，e是單位向量，0為a與b(或e)的夾角.(1) e-a=a-e=|a|cos0.(2)非零向量a,b,ab?a-b=0.(3)當(dāng)a與b同向時，a-b=|a|b|；當(dāng)a與b反向時，a-b=|a|b|,a-a=一a2,|a|=_7aa_.a-b(4)cos0=.|a|b|(5)|ab|_|a|b|4.平面向量數(shù)量積滿足的運算律(1) a-b=_b-a_(交換律).(2)(入a)b=入(ab)=_a(入b)_(入為實數(shù)).(3)(a+b)c=a-c+b-c_.5 .平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量a=(xi,yi),b=(X2,y2),貝Ua-b=X1X2+yy.由此得到

4、：(1)若a=(x,y),則|a|2=_x2+y2或|a|=_、/x2+y2_；(2)設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),則A,B兩點間的距離|AB=|麗=(XiX2j+(yiy?j(3)設(shè)a=(xi,yi),b=(X2,公，則ab?xiX2+yiy2=0.6 .平面向量數(shù)量積運算的常用公式(i)(a+b)(ab)=a2b2.(2)(a+b)2=a2+2a-b+b2.(3)(ab)2=a22ab+b2.對總檢測.i.思維辨析(在括號內(nèi)打“或x”).(1) 一個向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量，且有正有負(fù)，也可為零.(V)(2)若a/b,則必有abw0.(x)(3)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)

5、，向量的加、減、數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量.(V)若abAb+2(ACA3=；Ab+2AC因為AE=3333入AC的 所以AD- AE=(入AC-昭一272A 入 AC+31. AC因1G入一為 / A= 60 , AB= 3, AG= 2,所以 AD, AE= - - X 9+ X X4 + 333X2X -=-3 + -23123入+入2=4,解得入窗法二平面向量的夾角與垂直問題歸納總結(jié)(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì):若a, b為非零向量,cos(夾角公式),ab?ab=0等，可知平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度、垂直問題.(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說

6、明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0說明不共線的兩向量的夾角為鈍角.【例2】(1)(2016全國卷I)設(shè)向量a=(x,x+1),b=(1,2),且ab,則x=_23.(2)(2016山東卷)已知向量a=(1,1),b=(6,4).若a，(ta+b),則實數(shù)t的值為5.(3)(2016北京卷)已知向量a=(1,、/3),b=(、/3,1),則a與b夾角的大小為_.解析(1)因為ab,所以x+2(x+1)=0,解得x=2.3(2)因為a1(ta+b)，所以a(ta+b)=0,即ta2+a-b=0,又因為a=(1,-1),b=(6,4),所以|a|=y/2,ab=1X6+(1)x(4)=10,

7、因此可得2t+10=0,解得t=-5.a-b1x5+Mx13/3ab=|a|b|=2X2=2，a與b夾角的大小為-6.考法三平面向量的綜合應(yīng)用解題技巧平面向量與三角函數(shù)綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解.(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，求向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_形式，解題思路是經(jīng)過向量的運算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等.【例3】(1)已知O為坐標(biāo)原點,向量 OA = (3sinc c cos a )OB = (2sin a , 5sina 一 4cos a ) , aOAXOB

8、,則 tanA.C.(2)已知向量a= (sin a - cos一sin 2a )OA = a bOB = a + b,若 OAB是以O(shè)為直角頂點的等腰直角三角形，則4OAB勺面積為 1解析(1)由題意知6sin 2 a + cos a a -4cos2a =0,上述等式兩邊同時除以(5sina4cosa)=0,即6sin2a+5sinacoscos2a,得6tan2a+5tana4=0,由于aC,2兀J,則tana0,解得tana=-4.故選A.23(2)由題意得|a|=snacosa(一、sin2F)2=1,OAB以O(shè)為直角頂點的等腰直角三角形，所以O(shè)AlOb|OA=|O用由OAlOb得(

9、ab)(a+b)=|a|2|b|2=0,所以|a|=|b|,由|OA=|OB,得|a-b|=|a+b|,所以ab=0.所以|a+b|2=|a|+|b|2=2,所以|OB=|OA=也，1一一故SAOAB=2X-2X212=1.遞進題組.1 .在AB3已知向量AB=(2,2),|AC=2,AB-A&4,則4八88勺面積為(C)A.4B.5C.2D.3解析.AB=(2,2),.|麗=耳22+22=2啦.屆 Ab= | 麗屈cos A= 2娘x 2cos A= 4,cosA=2,又0AAB+ACt|OA=|AB,則向量BA4Bbr向上的投影為(A)解析由2AOAbACr知o是bc的中點，即bc為abC

10、7卜接圓的直徑，所以|OA=|OB=|OC,由題意知|OA=|AB=1,故AOAB為等邊三角形，所以/ABC60.所以向!.f1.量BA在BCT向上的投影為|BAcos/ABC=1xcos60=-.故選A.3 .已知向量a,b滿足(2ab)(a+b)=6,且|a|=2,|b|=1,則a與b的夾角為解析(2a-b)-(a+b)=6,-!a2+ab-b2=6,又|a|=2,|b|=1,aba - b1, cosa, b =-|a| , |b|12,又a, be 0 ,兀,a與b的夾角為等.3(3x cosy, sinxb= cos 2.x-sin2._tI TT，且 xC J-V 3求ab及|a+

11、b|;(2)若 f(x) =a - b- |a + b| ,求f(x)的最大值和最小值.3x.3xx3xx解析(1)a-b=coscos2sinsin5=cos2x.-，a+b=Jcos3x+cos|,sin號一sinxj,| a+ b| =y+cos2j + sin y-sin 7 J3xx3xx,2+2cos2x=2|cosx|.I 兀 ,x |-T-37t,7cos x0,|a+b|=2cos x.123=錯因分析：不注意兩向量a, b夾角為銳角(鈍角)？ a b0(0)且a, b不共線.【例1】 已知向量 61, e2滿足|e1 =2, |e2| =1, e, e2的夾角為60 ,若2

12、ted7e2 與a + te2的夾角為鈍角，求實數(shù) t的取值范圍.解析 .2te1+7e2與e1 + te2的夾角為鈍角，(217e2)(e1 + te2)0, - 2te2+ (2t2+ 7)( e1 e2)+7te20. . | e =2, |e2|=1, e1 - e2=1, . 2t2+15t+70,解得一7t a, CA= b,則a - b + b - c+ a , c =- 2 .2-解析 : a, b= b, c= a, c =120 , |a| = |b| = |c| =1,- a- b = b, c=a , c = 1*1xcos 120 =-,a b + b c + a ,

13、 c = 2.課時達標(biāo)第25講解密考綱本考點重點考查平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，往往借助于數(shù)量積求模長、夾角、面積等，多以選擇題、填空題的形式考查，題目難度中等偏難.一、選擇題1.已知向量a=(x1,2) , b= (2,1),則ab的充要條件是(D )1A. x = gB. x=- 1C. x = 5卜0sx-2)-2-%n1.xC|-,L1,2cosx3_2=也1X32.3.已知向量|OA=2,|Ob=4,OAOb=4,則以O(shè)AO的鄰邊的平行四邊形的面積為(A)A.43B.23C.4D.2一，OA-OB41V解析因為cos/AO9=；-=-,所以sinZAOB=3，所以所求的平行四|Oa

14、Ob2*422邊形的面積為 OA Ob sin / AOB= 45.故選 A.4.已知平面向量a, b滿足a - (a+ b) =3,且|a| =2,|b| =1,則向量a與b夾角的正弦值為（D ）解析- a - (a+b) = a2+ a - b =22+2x 1 xcos a, b=4+ 2cosa, b =3, cosa, b12，又a, be 023 一 ,sin a, b = 11 cosa, b=2.故選 D.5.若ABC勺三個內(nèi)角 A, B, C度數(shù)成等差數(shù)列，且（Afe+AC 鼠 0,則ABC-定是（C ）A.等腰直角三角形B.非等腰直角三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形解析因

15、為（尺母麗 BC= 0所以（Ab+AC （AC-麗=0,所以 AC廟=0,即| AC=|麗，又A,B,C度數(shù)成等差數(shù)列，故2B=A+C,又A+B+0=%,所以2B=兀一B,所兀以B=不，故ABC等邊三角形.36. (2017浙江卷)如圖，已知平面四邊形ABCDABB0AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于點Q記Ii=OA-OB12=OB-OC13=OC-OD則(Al.I1I2I3B.I1I3I2D. I 2 V I 1 V I 3C.I3VI1VI2解析如圖所示，四邊形ABC比正方形，F(xiàn)為正方形的對角線的交點，易知AOAF,而ZAFB=90,AO的/CO西鈍角，/AODW/BO銳角.根

16、據(jù)題意，Ii-I2=OA-OB-OB-OC=OtB-(OA-O(C=OB-CA=|OB-ICA,cos/AOB0).IiI3)作AGLBDTG又AB-AD,，OB：BG=GKOD而OAAF=FOOC|Oa-I*Oc|Od,而cos/AOB=cos/COD0,OA-OBOCOD,即IiI3,.13IiI2.故選0.二、填空題7. (2017全國卷出)已知向量a=(2,3),b=(3,n),且ab,則亦_2_.解析因為ab,所以a-b=-2X3+3m=0,解得m=2.8. 已知AB,C為圓O上的三點，若Ad1(AMAC,則AB與AC的夾角為90。一1一一一一解析由AO2(AB+AC，可得O為BC的

17、中點，故BC為圓O的直徑，所以AB與AC的夾角為90.9. (2017北京卷)已知點P在圓x2+y2=1上，點A的坐標(biāo)為(一2,0),O為原點，則Ab-Ap的最大值為_6_.解析由題意知AO (2,0),令P(x, y),-1xAP的最大值為6.三、解答題10. 已知|a|=4,|b|=8,a與b的夾角是120.11. 求|a+b|和|4a2b|；12. 當(dāng)k為何值時，a+2b與kab垂直.解析由已知得a-b=4X8xj-1j=-16.(1) ,.|a+b|2=a2+2a-b+b2=16+2X(-16)+64=48,|a+b|=4近|4a2b|2=16a2-16ab+4b2=16X1616X(

18、16)+4X64=768,.|4a2b|=16/3.(2) .(a+2b)(ka-b),.(a+2b)(ka-b)=0,.ka2+(2k1)ab-2b2=0,即16k16(2k1)2X64=0,k=-7.故k=-7時，a+2b與kab垂直.11.如圖，O是ABCrt一點，/AOB=150,/AO匿120,向量Oa而Oc的模分別為2,5，4. .4OC cos / A0cz - 4, OB- OC= 0,求iOAfO抖Oc；(2)若OC=miOAnOb求實數(shù)mn的值.解析(1)由已知條件易知OA-OB=|OAIOBcos/AOB=3,OAOC=10Al| OAF O拼 OC = OA+ OB+ OC+ 2( OA- O跳 OA- OO OB- OC = 9, . | OAF O跳 OC =3.22(2)由OC= mOA nOB 可得 OA OC= mO件 nOA OB 且 OB OC= mOB OAF nOB,4m- 3n = - 4, cm= n = - 4.3m+ 3n= 0,2212.已知向量Ab=(6,1),鼠(x,y),Cb=(2,3).(1)若BC/DA求x與y之間的關(guān)系式；(2)在(1)的條件下，若足配求x,y的值及四邊形ABCD勺面積.解析(1).Ad