有限元理論基礎(chǔ)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上有限元理論基礎(chǔ)2.1 數(shù)值模擬技術(shù)2.1.1數(shù)值模擬技術(shù)簡(jiǎn)介在工程技術(shù)領(lǐng)域中許多力學(xué)問題和場(chǎng)問題，實(shí)質(zhì)上就是在一定的邊界條件下求解一些微分方程。對(duì)于少數(shù)簡(jiǎn)單問題，人們可以通過建立它們的微分方程與邊界約束求出該問題的解析解。但是對(duì)于比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)方程問題以及不規(guī)則的邊界條件通過激吻戲法往往難以求解，而需要借助各種數(shù)值模擬方法活的相應(yīng)的工程數(shù)值解，這就是所謂的數(shù)值模擬技術(shù)。在實(shí)際工程領(lǐng)域中，用數(shù)值模擬技術(shù)可以對(duì)復(fù)雜的工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行受力和響應(yīng)分析，這樣可以在設(shè)計(jì)或者加工前預(yù)知實(shí)體結(jié)構(gòu)工作狀態(tài)下的大概情況。目前在工程實(shí)際應(yīng)用中，常用的數(shù)值求解方法有：有限單元法、有限差分法、邊界

2、元等但從實(shí)用性和使用范圍來說，有限單元法則是隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展而被廣泛應(yīng)用的一種行之有效的數(shù)值計(jì)算方法。2.2.2 有限元法有限元法是一種基于能量原理的數(shù)值計(jì)算方法，是解決工程實(shí)際問題的一種有效的數(shù)值計(jì)算工具。它是里茨法的另一種表示形式，它可應(yīng)用里茨法分析的所有彈性理論。限元法是處理連續(xù)的結(jié)構(gòu)體離散或有限個(gè)單元集合，也就是將連續(xù)的求解域離散為一定數(shù)量的單元集合體。且每個(gè)單元都具有一定的節(jié)點(diǎn)，相鄰單元通過節(jié)點(diǎn)相互連續(xù)，同時(shí)使用等效節(jié)點(diǎn)力代替作用于單元上的力和選定場(chǎng)函數(shù)的節(jié)點(diǎn)值作為基本未知量。并在每一單元中假設(shè)一個(gè)近似插值函數(shù)以表示單元中場(chǎng)函數(shù)的分布規(guī)律：進(jìn)而利用力學(xué)中的某些變分原理去建立用以求

3、解節(jié)點(diǎn)未知量的有限元法方程，從而將一個(gè)連續(xù)域中的無(wú)限自由度問題化為離散域中的有限自由度問題。求解后，可利用解出的節(jié)點(diǎn)值和設(shè)定的插值函數(shù)確定整個(gè)單元集體上的場(chǎng)函數(shù)。有限元求解問題中的單元分析：式中：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)作用力。 :單元?jiǎng)偠染仃嚒?：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)位移。通過單元分析確定單元?jiǎng)偠染仃嚕卧?jié)點(diǎn)作用力和單元為伊關(guān)系。有限元求解問題時(shí)建立的結(jié)構(gòu)整體平衡方程：式中：P結(jié)構(gòu)整體等效點(diǎn)力載荷 K結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣 U結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移陣列單元內(nèi)力的計(jì)算：式中：D彈性矩陣 P應(yīng)變矩陣整個(gè)結(jié)構(gòu)的有限元分析就是一句上述方程而進(jìn)行的具體的有限元求解過程如圖結(jié)構(gòu)離散生成有限元網(wǎng)格求解線性代數(shù)方程結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移陣

4、列引入約束條件計(jì)算并輸出單元應(yīng)輸出節(jié)點(diǎn)位移 2.2有限元法的基礎(chǔ)理論2.2.1 有限元法理論在有限元法中，單元的應(yīng)變位移關(guān)系可表示為：式中：t應(yīng)變向量 u位移向量 B應(yīng)變位移變換矩陣單元的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系表示為：式中：應(yīng)力向量 D材料相關(guān)系數(shù)在線彈性材料條件下，D矩陣是一個(gè)常量：在非線性彈性材料中，D矩陣上市應(yīng)變t的函數(shù)。有限元?jiǎng)偠确匠虨椋菏街校篜結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣 K單元?jiǎng)偠染仃嚻渲袉卧獎(jiǎng)偠染仃嘖為：式中：V積分域 對(duì)于非線性彈性材料而言，D矩陣和單元?jiǎng)偠染仃嘖均是應(yīng)變t和位移u的函數(shù)。在小變形問題中，矩陣B與位移u沒有相關(guān)關(guān)系。而在大變形問題時(shí)，矩陣B和單元?jiǎng)倓偠?矩陣K則均是位移u的函數(shù)。在輪

5、胎分析中，輪胎由于充氣和垂直載荷等作用，輪胎結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生較大的變形，輪胎集合結(jié)構(gòu)的這種變形屬于集合非線性問題。輪胎結(jié)構(gòu) 本身又是多種材料構(gòu)成的復(fù)合體，其材料屬性既有各向同性又有各項(xiàng)異性，這屬于材料非線性問題。在輪胎的靜態(tài)解觸、自由滾動(dòng)和動(dòng)態(tài)接觸狀態(tài)下，輪胎與路面之間的接觸，又涉及到接觸非線性問題提。2.2.2應(yīng)力應(yīng)變理論有限元是里茨法的另一種表示形式，它可應(yīng)用里茨法分析的所有彈性理論，而應(yīng)力應(yīng)變理論則是里茨分析法的彈性理論的基礎(chǔ)。因此在有限元分析中，一般使用彈性理論俺就載荷作用下物體中的內(nèi)力狀態(tài)和變形規(guī)律。1. 應(yīng)力 物體收到外力的作用時(shí)發(fā)生變形，這種變形改變了物體內(nèi)各分子間的間距，在物體內(nèi)形成

6、了一個(gè)內(nèi)立場(chǎng)。當(dāng)內(nèi)力和外力相互平衡時(shí)，變形不再繼續(xù)，物體達(dá)到穩(wěn)定平衡狀態(tài)。 這種由于物體受外力的作用因其物體的變形，而導(dǎo)致內(nèi)部各部分之間因相對(duì)位置改變而因其的相互作用，這種相互作用成為內(nèi)力。所謂應(yīng)力，就是指分布內(nèi)力系在物體內(nèi)某一點(diǎn)處的強(qiáng)弱的相互作用。為了研究物體內(nèi)某一點(diǎn)C處的內(nèi)力，假設(shè)用以經(jīng)過點(diǎn)C的截面mm將物體分開，在這選取包含點(diǎn)C的一個(gè)部分進(jìn)行研究。如圖2.2所示。圍繞點(diǎn)C取微笑面積，上存在著分布內(nèi)力系的合力，如圖2.2b所示。的大小和方向與點(diǎn)C的位置和的大小密切相關(guān)。的比值成為平均應(yīng)力。 為一矢量，表示在范圍內(nèi)，單位面積上內(nèi)力的平均集度，稱作平均應(yīng)力。隨著的逐漸變小，的大小和方向都將逐漸

7、變化。當(dāng)趨近于零時(shí)，的大小和方向都將趨近于一定極限P，即C點(diǎn)應(yīng)力P為應(yīng)力P是分布內(nèi)力系在點(diǎn)C處的集度，反應(yīng)了分布內(nèi)力系在點(diǎn)C處的強(qiáng)弱成都。對(duì)于應(yīng)力P，威力表征其與無(wú)提議的形變或者材料的相關(guān)性，通常將應(yīng)力P分解成垂直于截面的分量正應(yīng)力和切與截面的分量切應(yīng)力。2. 應(yīng)變 應(yīng)變表示物體收到外力的作用時(shí)發(fā)生變形的強(qiáng)弱程度。在圖2.2a中，物體中的M點(diǎn)因變形位移到點(diǎn)，為無(wú)體統(tǒng)變形時(shí)M點(diǎn)的位移。這里假設(shè)物體受到約束，沒有剛性位移，M點(diǎn)的位移全是由變形引起的，假想在M點(diǎn)附近取平面與坐標(biāo)平面平行的正六面體（當(dāng)正六面體的邊長(zhǎng)趨于無(wú)限小時(shí)為單元體），設(shè)該六面體的棱邊邊長(zhǎng)分別為。變形后其邊長(zhǎng)和棱邊夾角都發(fā)生微小變化

8、將單元體投影到xy平面，如圖2.3b所示。變形前單元體平行于x軸的邊長(zhǎng)長(zhǎng)度為，變形后，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別位移到點(diǎn)和點(diǎn)。的長(zhǎng)度為，且比值：表示單元體邊長(zhǎng)的平均長(zhǎng)度變化，成為平均應(yīng)變。當(dāng)長(zhǎng)度趨近于0時(shí)，則的極限為：2.2.3 大變形的有限元數(shù)學(xué)描述在輪胎結(jié)構(gòu)分析中，輪胎變形問題屬于集合非線性范疇，此時(shí)小變形情況下的幾何方程不再適合輪胎的結(jié)構(gòu)分析，為此必須重新定義新的平衡方程。這主要是方程和平衡方程不能消除剛性運(yùn)動(dòng)的影響，從而無(wú)法度量大變形物體的形態(tài)。在度量物體的變形時(shí)，需要選取一個(gè)特定的結(jié)構(gòu)為基準(zhǔn)在變形問題中，一般有兩種參考構(gòu)型。設(shè)初始時(shí)刻t=0,時(shí)質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)為，表示任意時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的位置。當(dāng)選擇初始構(gòu)型

9、為參考構(gòu)型時(shí)則為自變量。應(yīng)變表達(dá)式為：式中：為格林應(yīng)變 為克朗內(nèi)記號(hào)。若選擇現(xiàn)時(shí)構(gòu)型，即作為自變量，其應(yīng)變表達(dá)式為：式中：為阿爾曼西應(yīng)變。2.2.4 大變形狀態(tài)下的平衡方程描述在變形情況下，應(yīng)力是和應(yīng)變相關(guān)的，在外部載荷的作用下，物體發(fā)生形變，并在變形后重新達(dá)到平衡。因此，用變形后狀態(tài)即現(xiàn)時(shí)構(gòu)型構(gòu)成的Cauchy應(yīng)力平衡方程更是合適。設(shè)物體在現(xiàn)時(shí)構(gòu)型中占據(jù)的區(qū)域?yàn)閂，它的邊界為A，其中A由兩部分構(gòu)成，同事設(shè)現(xiàn)時(shí)構(gòu)型的單位體積的體積載荷和表面載荷分別為，如圖所示。這時(shí)在區(qū)域V的Cauchy應(yīng)力平衡方程為：應(yīng)力邊界條件：式中：為現(xiàn)時(shí)構(gòu)型邊界的外法線方向余弦。結(jié)合Cauchy應(yīng)力張量和Kirchoh

10、off應(yīng)力張量可以將大變形問題的平衡方程表述為：2.2.5 大變形增量問題 輪胎的充氣和與路面接觸分析都與其變形過程有著密切關(guān)系，對(duì)于這些非線性問題要想獲得一個(gè)合適解，就必須采用增量法。所謂增量法，即將時(shí)間歷程離散或時(shí)間序列，即在的增量階段，需要選用一個(gè)參考構(gòu)型，一般使用兩種方式：一種是完全拉格朗日方程，即選取某一時(shí)刻t的構(gòu)型為參考構(gòu)型。通常在輪胎這類大變形問題中，一般選用拉格朗日方程求解比較合適。2.2.6接觸問題在輪胎的靜態(tài)接觸、自由滾動(dòng)和動(dòng)態(tài)接觸狀態(tài)下，輪胎與路面之間發(fā)生接觸行為。在ANSYS中，接觸屬于一種高度的狀態(tài)非線性行為，它是狀態(tài)非線性類型中一個(gè)特殊而又比較重要的子集部分。接觸問

11、題主要體現(xiàn)在（1）接觸區(qū)域的大小、相互接觸物體的相對(duì)位置以及接觸的具體狀態(tài)事先都是都是未知的；（2）接觸無(wú)提議之間不可相互侵入，接觸界面間的法向作用只存在壓力，切向可以滑移，這些條件共同構(gòu)成高度非線性的單邊性不等式約束。在狀態(tài)非線性分析中，剛度矩陣K相關(guān)于位移矩陣x。 式中：力與位移的關(guān)系是非線性的。其關(guān)系如圖所示接觸一般分為剛?cè)峤佑|和柔柔接觸，接觸方式一般分為三種形式：面面接觸、點(diǎn)面接觸和點(diǎn)點(diǎn)接觸。 輪胎路面接觸屬于典型的剛?cè)崦婷娼佑|。在剛?cè)崦婷娼佑|中，需要把一個(gè)個(gè)面設(shè)置為“目標(biāo)”面，而把另一個(gè)面設(shè)置為“接觸面”，通常選擇剛性路面為“目標(biāo)面”，而接觸面選擇柔性的胎面花紋表面。這兩個(gè)面共同組成“接觸對(duì)”，使用相同的實(shí)常數(shù)號(hào)，有限元程序則是通過這組相同的實(shí)常數(shù)號(hào)來識(shí)別該接觸對(duì)。接觸分析中，接觸區(qū)域需要同時(shí)滿足運(yùn)動(dòng)和力學(xué)兩方面約束條件。運(yùn)動(dòng)約束條件是指接觸的兩個(gè)物體在接觸邊界上法向無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，即無(wú)提議之間不存在相互滲透。