【課件】6.4.3.2正弦定理課件-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè) (32張)

1、6.4.3.2正弦定理余弦定理余弦定理 已知三邊已知三邊, ,怎樣求三個(gè)角呢？怎樣求三個(gè)角呢？Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222acbcaB2222cosabcbaC2cos222推論：推論：C CB BA Ab ba ac c溫故知新溫故知新在RtABC中,各角與其對(duì)邊的關(guān)系:caA sincbB sin1sin C不難得到不難得到:CcBbAasinsinsinCBAabccc新課講解新課講解在非直角三角形在非直角三角形ABC中有這樣的關(guān)系嗎中有這樣的關(guān)系嗎?CcBbAasinsinsinbADcADCBsin,sin所

2、以AD=csinB=bsinC, 即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB圖1過(guò)點(diǎn)A作ADBC于D,此時(shí)有若三角形是銳角三角形, 如圖1,由上證明，可得結(jié)論：由上證明，可得結(jié)論：CCbADsinsin ）（且CcBbAasinsinsin仿銳角三角形中證明可得：D若三角形是鈍角三角形,且角C是鈍角如圖2, 此時(shí)也有cADB sin交BC延長(zhǎng)線于D,過(guò)點(diǎn)A作ADBC，CAcbB圖2在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.CcBbAasinsinsin即思考思考是否可以用其他方是否可以用其他方法證明正弦定理法證明正弦定理?探究探究O

3、C/cbaCBA,90CCCBARCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圓O,過(guò)B作直徑BC/,連AC/,RcCC2sinsinRCc2sin剖析定理、加深理解正弦定理可以解決三角形中哪類問(wèn)題：2.已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角.3.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊 的對(duì)角，進(jìn)而可求其他的邊和角.RCcBbAa2sinsinsin1.邊角互換CcBbsinsin解：由15030 或C222cba21360sin1sinsin0bBcC90ACAacBbABC, 1,60,310和求中，：在例題ACB06013正弦定理正弦定理301501802106015

4、0CC，由于已知兩邊和其中一邊的對(duì)角已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求其他邊和角求其他邊和角例 2 在ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。求 a , b (精確到0.01）.解： 且 105C)(A180 BCcBbsinsin b = CBcsinsin19.32=30sin105sin10已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角CcAasinsina = CAcsinsin14.14=21030sin45sin10BACbc)26(5a例例3 3 在在ABC中，已知中，已知c=10cm,=10cm,A=45=45。, ,C=30=30。求求

5、a , , b . .解： 且 105C)(A180 BCcBbsinsin b = CBcsinsin(cm)=30sin105sin10已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角CcAasinsina = CAcsinsin(cm)=21030sin45sin10BACabc)26(5正弦定理的常見(jiàn)變形1若ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足sinA：sinB：sinC=5：11：13，則ABC（ ） A一定是銳角三角形 B一定是直角三角形 C一定是鈍角三角形 D可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形 C C 練習(xí)練習(xí) 2設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcos

6、C+ccosB=asinA，則ABC的形狀為（ ） A銳角三角形B直角三角形 C鈍角三角形D不確定B B 三角形面積公式三角形面積公式)(21)1(邊邊上上的的高高表表示示ahahSaa AbcBacCabSsin21sin21sin21) 2 ( 例例4在 ABC中，已知a,b,A,討論三角形解探究：的情況.sinsinbAa分析：由B=,可求出角B，sinc=sinaCA從而.1.當(dāng)A為鈍角或直角時(shí):必須ab,才能有且只有一解，否則無(wú)解。0(),AB則C=1802.當(dāng)A為銳角時(shí):如果ab,那么只有一解。如果absinA,則有兩解;（2）若a=bsinA,則只有一解.（3）若absinA,則

7、無(wú)解.方法二：畫(huà)圓法方法二：畫(huà)圓法 若若A A為銳角時(shí)為銳角時(shí): :銳角一解一銳、一鈍二解直角一解無(wú)解babaAbAbaAbasinsinsinn若若A A為直角或鈍角時(shí)為直角或鈍角時(shí): :銳角一解無(wú)解baba b a b a b a b a a 已知邊a,b和 A 僅有一個(gè)解 有兩個(gè)解 僅有一個(gè)解 無(wú)解 a b CH=bsinAab a=CH=bsinA ab的情的情況，以后做題時(shí)要注意。況，以后做題時(shí)要注意。練習(xí)（練習(xí)（1 1）(2016(2016全國(guó)卷全國(guó)卷文文9)9) 103.s31,4AinABCBCBABC，則邊上的高等于中，1010.B55.C10103.DD D 10103.c

8、os31,4AABCBCBABC，則邊上的高等于中，1010.B1010.C10103.D（2 2）(2016(2016全國(guó)卷全國(guó)卷理理8)8) C C 例6 6：如圖,在ABC中, 求證: ABC的面積 .證明證明( , ),( , ).ABx yACu v 1|2SxvyuO (A)B(x,y)C(u,v)xy1| sin2SABACA 2221| sin2ABACA 2221| (1cos)2ABACA 2221|(| cos)2ABACABACA 221(|)()2ABACABAC ( , ),( , ).ABx yACu v 222221()()()2Sxyuvxuyv21()2xv

9、yu1|2xvyu(1)正弦定理適應(yīng)的范圍 A)直角三角形 B)銳角三角形C)鈍角三角形D)任意三角形(2)在三角形ABC中如果bBaAcossin，則B的值為A) 30A) 30o o B) 45 B) 45o o C) 60 C) 60o o D) 90 D) 90o o(3)在ABC中，A=60o,C=45o, b=2,則此三角形的最小邊長(zhǎng)為 _( B )( B )232( ( ) )當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂練習(xí)4.在ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊，試證明：a=bcosC+ccosB證明:由余弦定理知abcbaC2cos222cabacB2cos222右邊=cabaccabcbab222

10、22222abacacba22222222aa222左邊 aABCDcba 5. 5.在任一在任一 中，求證：中，求證： ABC 0)sin(sin)sin(sin)sin(sin BAcACbCBa證明：由于正弦定理：令證明：由于正弦定理：令 CkcBkBAkasin,sin,sin 左邊左邊 代入左邊得：代入左邊得： )sinsinsinsinsinsinBCACAB CBCABAksinsinsinsinsin(sin 等式成立等式成立=右邊右邊0 小結(jié)小結(jié); sin2 , sin2 sin2(1)CRcBRbARa ，; 2sin , 2sinB , 2sin ).3(RcCRbRaA ; sin:sin:sin: ).2(CBAcba ;sinsin ,sinsin ,sinsin ).4(AaCcCcBbBbAa )(2sinsinsin外外接接圓圓的的半半徑徑為為其其中中ABCRRCcBbAa 1.正弦定理正弦定理正弦定理的變形：正弦定理的變形：2.三角形面積公式三角形面積公式)(21)1(邊邊上上的的高高表表示示ahahSaa AbcBacCabSsin21sin21sin21) 2 ( 若若A A為銳角時(shí)為銳角時(shí): :銳角一解一銳、一鈍二解直角一解無(wú)解babaAbAbaAbasin