初中幾何輔助線大全

1、-初中數(shù)學(xué)輔助線的添加淺談人們從來就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問題的，當(dāng)問題的條件不夠時(shí)，添加輔助線構(gòu)成新圖形，形成新關(guān)系，使分散的條件集中，建立與未知的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問題，這是解決問題常用的策略。一添輔助線有二種情況：1按定義添輔助線： 如證明二直線垂直可延長使它們,相交后證交角為90°；證線段倍半關(guān)系可倍線段取中點(diǎn)或半線段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線。2按根本圖形添輔助線： 每個(gè)幾何定理都有與它相對應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做根本圖形，添輔助線往往是具有根本圖形的性質(zhì)而根本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整根本圖形，因此“添線應(yīng)該叫做“補(bǔ)圖！這樣可防止亂添線，添輔助線也

2、有規(guī)律可循。舉例如下：1平行線是個(gè)根本圖形： 當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時(shí)添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線2等腰三角形是個(gè)簡單的根本圖形： 當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時(shí)往往要補(bǔ)完整等腰三角形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時(shí)可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形。3等腰三角形中的重要線段是個(gè)重要的根本圖形： 出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線組合時(shí)可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的根本圖形。4直角三角形斜邊上中線根本圖形 出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線

3、得直角三角形斜邊上中線根本圖形。5三角形中位線根本圖形 幾何問題中出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)時(shí)往往添加三角形中位線根本圖形進(jìn)展證明當(dāng)有中點(diǎn)沒有中位線時(shí)則添中位線，當(dāng)有中位線三角形不完整時(shí)則需補(bǔ)完整三角形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與倍線段有公共端點(diǎn)的線段帶一個(gè)中點(diǎn)則可過這中點(diǎn)添倍線段的平行線得三角形中位線根本圖形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與半線段的端點(diǎn)是*線段的中點(diǎn)，則可過帶中點(diǎn)線段的端點(diǎn)添半線段的平行線得三角形中位線根本圖形。6全等三角形： 全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)兩條相等線段或兩個(gè)檔相等角關(guān)于*一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形全等三角形：或添對稱軸，或?qū)⑷切窝貙ΨQ軸翻轉(zhuǎn)。當(dāng)幾

4、何問題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一組對頂角兩邊且成一直線時(shí)可添加中心對稱形全等三角形加以證明，添加方法是將四個(gè)端點(diǎn)兩兩連結(jié)或過二端點(diǎn)添平行線7相似三角形： 相似三角形有平行線型帶平行線的相似三角形，相交線型，旋轉(zhuǎn)型；當(dāng)出現(xiàn)相比線段重疊在一直線上時(shí)中點(diǎn)可看成比為1可添加平行線得平行線型相似三角形。假設(shè)平行線過端點(diǎn)添則可以分點(diǎn)或另一端點(diǎn)的線段為平行方向，這類題目中往往有多種淺線方法。8特殊角直角三角形 當(dāng)出現(xiàn)30，45，60，135，150度特殊角時(shí)可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1：1：2；30度角直角三角形三邊比為1：2：3進(jìn)展證明9半圓上的圓周角 出現(xiàn)直徑與半圓上的點(diǎn)，

5、添90度的圓周角；出現(xiàn)90度的圓周角則添它所對弦-直徑；平面幾何中總共只有二十多個(gè)根本圖形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。二根本圖形的輔助線的畫法1.三角形問題添加輔助線方法 方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問題。方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三

6、條線段這類題目，常采用截長法或補(bǔ)短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩局部，證其中的一局部等于第一條線段，而另一局部等于第二條線段。2.平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形包括矩形、正方形、菱形的兩組對邊、對角和對角線都具有*些一樣性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有以下幾種，舉例簡解如下：1連對角線或平移對角線：2過頂點(diǎn)作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形3連接對角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過對角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線4連接頂點(diǎn)與對邊上一點(diǎn)的線段或延長這條線段，構(gòu)

7、造三角形相似或等積三角形。5過頂點(diǎn)作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.3.梯形中常用輔助線的添法梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：1在梯形部平移一腰。2梯形外平移一腰3梯形平移兩腰4延長兩腰5過梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高6平移對角線7連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。8過一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線。9作中位線當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決

8、，這是解決問題的關(guān)鍵。4.圓中常用輔助線的添法在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問題時(shí)，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，架起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見方法，對提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力是大有幫助的。1見弦作弦心距有關(guān)弦的問題，常作其弦心距有時(shí)還須作出相應(yīng)的半徑，通過垂徑平分定理，來溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。2見直徑作圓周角在題目中假設(shè)圓的直徑，一般是作直徑所對的圓周角，利用"直徑所對的圓周角是直角"這一特征來證明問題。3見切線作半徑命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過切點(diǎn)的半徑，利用"切線與半徑垂直

9、"這一性質(zhì)來證明問題。4兩圓相切作公切線對兩圓相切的問題，一般是經(jīng)過切點(diǎn)作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過公切線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。5兩圓相交作公共弦對兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來。作輔助線的方法一：中點(diǎn)、中位線，延線，平行線。如遇條件中有中點(diǎn)，中線、中位線等，則過中點(diǎn)，延長中線或中位線作輔助線，使延長的*一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點(diǎn)作邊或線段的平行線，以到達(dá)應(yīng)用*個(gè)定理或造成全等的目的。二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其

10、他條件，而旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，這時(shí)輔助線的做法就會應(yīng)運(yùn)而生。其對稱軸往往是垂線或角的平分線。三：邊邊假設(shè)相等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時(shí)邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到全等形，這時(shí)輔助線的做法仍會應(yīng)運(yùn)而生。其對稱中心，因題而異，有時(shí)沒有中心。故可分“有心和“無心旋轉(zhuǎn)兩種。四:造角、平、相似，和、差、積、商見。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關(guān)。在制造兩個(gè)三角形相似時(shí)，一般地，有兩種方法：第一，造一個(gè)輔助角等于角；第二，是把三角形中的*一線段進(jìn)展平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見。托列米

11、定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表五：兩圓假設(shè)相交，連心公共弦。如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，則輔助線往往是連心線或公共弦。六：兩圓相切、離，連心，公切線。如條件中出現(xiàn)兩圓相切外切，切，或相離含、外離，則，輔助線往往是連心線或外公切線。七：切線連直徑，直角與半圓。如果條件中出現(xiàn)圓的切線，則輔助線是過切點(diǎn)的直徑或半徑使出現(xiàn)直角；相反，條件中是圓的直徑，半徑，則輔助線是過直徑或半徑端點(diǎn)的切線。即切線與直徑互為輔助線。如果條件中有直角三角形，則作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反，條件中有半圓，則在直徑上找圓周角直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。八：弧、弦、弦心距；平行、等距

12、、弦。如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。如遇平行弦，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助線，反之，亦成立。有時(shí)，圓周角，弦切角，圓心角，圓角和圓外角也存在因果關(guān)系互相聯(lián)想作輔助線。九：面積找底高，多邊變?nèi)?。如遇求面積，在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積，往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。如遇多邊形，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。另外，我國明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補(bǔ)有二百多種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)?。三角?/p>

13、中作輔助線的常用方法舉例一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，假設(shè)直接證不出來，可連接兩點(diǎn)或延長*邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1：如圖1-1：D、E為ABC兩點(diǎn),求證:ABACBDDECE.證明：法一將DE兩邊延長分別交AB、AC 于M、N，在AMN中，AMAN MDDENE;1 在BDM中，MBMDBD； 2 在CEN中，NECE； 3 由123得： AMANMBMDNEMDDENEBDCEABACBDDEEC 法二：如圖1-2， 延長BD交 AC于F，延長CE交BF于G，在ABF和GFC和GDE中有：ABAF BDDGG

14、F 三角形兩邊之和大于第三邊1GFFCGECE同上2DGGEDE同上3由123得：ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDEABACBDDEEC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的角時(shí)如直接證不出來時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長*邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在*個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：D為ABC的任一點(diǎn)，求證：BDCBAC。分析：因?yàn)锽DC與BAC不在同一個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使BDC處于在外角的位置，BAC處于在角的位置；證法一：延長BD交AC于點(diǎn)E，這時(shí)BDC是EDC的外角，

15、BDCDEC，同理DECBAC，BDCBAC證法二：連接AD，并延長交BC于FBDF是ABD的外角BDFBAD，同理，CDFCADBDFCDFBADCAD即：BDCBAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在*三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1：AD為ABC的中線，且12,34,求證：BECFEF。分析：要證BECFEF ，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由12，34，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊

16、相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同一個(gè)三角形中。證明：在DA上截取DNDB，連接NE，NF，則DNDC，在DBE和DNE中：DBEDNE SASBENE全等三角形對應(yīng)邊相等同理可得：CFNF在EFN中ENFNEF三角形兩邊之和大于第三邊BECFEF。注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)元素相等。四、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖4-1：AD為ABC的中線，且12，34，求證：BECFEF證明：延長ED至M，使DM=DE，連接CM，MF。在BDE和CDM中，BDECDMSAS又12，34

17、1234180°平角的定義32=90°，即：EDF90°FDMEDF 90°在EDF和MDF中EDFMDF SASEFMF 全等三角形對應(yīng)邊相等在CMF中，CFCMMF三角形兩邊之和大于第三邊BECFEF注：上題也可加倍FD，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。五、有三角形中線時(shí)，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖5-1：AD為 ABC的中線，求證：ABAC2AD。分析：要證ABAC2AD，由圖想到： ABBDAD,ACCDAD，所以有ABAC BDCDADAD2AD，左

18、邊比要證結(jié)論多BDCD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去。證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，則AE2ADAD為ABC的中線 BDCD 中線定義在ACD和EBD中ACDEBD SASBECA全等三角形對應(yīng)邊相等在ABE中有：ABBEAE三角形兩邊之和大于第三邊ABAC2AD。常延長中線加倍，構(gòu)造全等三角形練習(xí)：ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖5-2， 求證EF2AD。六、截長補(bǔ)短法作輔助線。例如：如圖6-1：在ABC中，ABAC，12，P為AD上任一點(diǎn)。求證：ABAC

19、PBPC。分析：要證：ABACPBPC，想到利用三角形三邊關(guān)系定理證之，因?yàn)橛C的是線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊ABAC，故可在AB上截取AN等于AC，得ABACBN， 再連接PN，則PCPN，又在PNB中，PBPNBN，即：ABACPBPC。證明：截長法在AB上截取ANAC連接PN , 在APN和APC中APNAPC SASPCPN 全等三角形對應(yīng)邊相等在BPN中，有PBPNBN三角形兩邊之差小于第三邊BPPCABAC證明：補(bǔ)短法 延長AC至M，使AMAB，連接PM， 在ABP和AMP中ABPAMP SASPBPM 全等三角形對應(yīng)邊相等 又在PCM中有：CMPMPC(

20、三角形兩邊之差小于第三邊)ABACPBPC。七、延長邊構(gòu)造三角形：例如：如圖7-1：ACBD，ADAC于A ，BCBD于B， 求證：ADBC分析：欲證 ADBC，先證分別含有AD，BC的三角形全等，有幾種方案：ADC與BCD，AOD與BOC，ABD與BAC，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。證明：分別延長DA，CB，它們的延長交于E點(diǎn)，ADAC BCBD CAEDBE 90° 垂直的定義 在DBE與CAE中DBECAE AASEDEC EBEA 全等三角形對應(yīng)邊相等EDEAECEB 即：ADBC。當(dāng)條件缺乏時(shí)，可通過添加輔

21、助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。八 、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖8-1：ABCD，ADBC 求證：AB=CD。分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。證明：連接AC或BDABCD ADBC 12，34 兩直線平行，錯(cuò)角相等在ABC與CDA中ABCCDA ASAABCD全等三角形對應(yīng)邊相等九、有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長。例如：如圖9-1：在RtABC中，ABAC，BAC90°，12，CEBD的延長于E 。求證：BD2CE 分析：要證BD2CE，想到要構(gòu)造線段2CE，同時(shí)CE與ABC的平分線垂直

22、，想到要將其延長。證明：分別延長BA，CE交于點(diǎn)F。BECF BEFBEC90° 垂直的定義在BEF與BEC中，BEFBECASACE=FE=CF 全等三角形對應(yīng)邊相等BAC=90° BECF BACCAF90°1BDA90°1BFC90°BDABFC在ABD與ACF中ABDACFAASBDCF 全等三角形對應(yīng)邊相等 BD2CE十、連接點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖10-1；AC、BD相交于O點(diǎn)，且ABDC，ACBD，求證：AD。分析：要證AD，可證它們所在的三角形ABO和DCO全等，而只有ABDC和對頂角兩個(gè)條件，差一個(gè)條件，難以證其全等，只

23、有另尋其它的三角形全等，由ABDC，ACBD，假設(shè)連接BC，則ABC和DCB全等，所以，證得AD。證明：連接BC，在ABC和DCB中ABCDCB (SSS)AD (全等三角形對應(yīng)邊相等)十一、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如：如圖11-1：ABDC，AD 求證：ABCDCB。分析：由ABDC，AD，想到如取AD的中點(diǎn)N，連接NB，NC，再由SAS公理有ABND，故BN，ABND。下面只需證NBCNCB，再取BC的中點(diǎn)M，連接MN，則由SSS公理有NBMNCM，所以NBCNCB。問題得證。證明：取AD，BC的中點(diǎn)N、M，連接NB，NM，NC。則AN=DN，BM=CM，在ABN和D中 ABND SA

24、SABND NBNC 全等三角形對應(yīng)邊、角相等在NBM與NCM中NMBNCM，(SSS)NBCNCB 全等三角形對應(yīng)角相等NBCABN NCBD 即ABCDCB。巧求三角形中線段的比值例1. 如圖1，在ABC中，BD：DC1：3，AE：ED2：3，求AF：FC。解：過點(diǎn)D作DG/AC，交BF于點(diǎn)G 所以DG：FCBD：BC因?yàn)锽D：DC1：3 所以BD：BC1：4 即DG：FC1：4，F(xiàn)C4DG因?yàn)镈G：AFDE：AE 又因?yàn)锳E：ED2：3 所以DG：AF3：2即 所以AF：FC：4DG1：6例2. 如圖2，BCCD，AFFC，求EF：FD解：過點(diǎn)C作CG/DE交AB于點(diǎn)G，則有EF：GCA

25、F：AC因?yàn)锳FFC 所以AF：AC1：2 即EF：GC1：2，因?yàn)镃G：DEBC：BD 又因?yàn)锽CCD所以BC：BD1：2 CG：DE1：2 即DE2GC因?yàn)镕DEDEF 所以EF：FD小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了“條件中出現(xiàn)的兩條線段的交點(diǎn)處，且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。請?jiān)倏磧衫?，讓我們感受其中的微妙！?. 如圖3，BD：DC1：3，AE：EB2：3，求AF：FD。解：過點(diǎn)B作BG/AD，交CE延長線于點(diǎn)G。 所以DF：BGCD：CB因?yàn)锽D：DC1：3 所以CD：CB3：4 即DF：BG3：4，因?yàn)锳F：BGAE：EB 又因?yàn)锳E：EB2：3所以AF：BG2：3 即所以

26、AF：DF例4. 如圖4，BD：DC1：3，AFFD，求EF：FC。解：過點(diǎn)D作DG/CE，交AB于點(diǎn)G所以EF：DGAF：AD因?yàn)锳FFD 所以AF：AD1：2 圖4即EF：DG1：2 因?yàn)镈G：CEBD：BC，又因?yàn)锽D：CD1：3， 所以BD：BC1：4即DG：CE1：4，CE4DG因?yàn)镕CCEEF所以EF：FC1：7練習(xí)：1. 如圖5，BDDC，AE：ED1：5，求AF：FB。2. 如圖6，AD：DB1：3，AE：EC3：1，求BF：FC。 答案：1、1：10； 2. 9：1初中幾何輔助線一 初中幾何常見輔助線口訣人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添.把握定理和概念。還要刻苦

27、加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)歷。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點(diǎn)。梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹?。平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大

28、片。圓形半徑與弦長計(jì)算，弦心距來中間站。圓上假設(shè)有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。切線長度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。還要作個(gè)接圓，角平分線夢圓如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。外相切的兩圓，經(jīng)過切點(diǎn)公切線。假設(shè)是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。注意點(diǎn)輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假設(shè)圖形較分散，對稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。根本作圖很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂添線

29、，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。二 由角平分線想到的輔助線 口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和條件。與角有關(guān)的輔助線一、截取構(gòu)全等

30、幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是在一定的規(guī)律根本之上的，希望同學(xué)們能掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問題膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以介紹。如圖1-1，AOC=BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有OEDOFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例1 如圖1-2，AB/CD，BE平分BCD，CE平分BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD。分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線來構(gòu)造軸對稱圖形，同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來

31、證明，延長短的線段或在長的線段長截取一局部使之等于短的線段。但無論延長還是截取都要證明線段的相等，延長要證明延長后的線段與*條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與*條線段相等，進(jìn)而到達(dá)所證明的目的。簡證：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB，再證明CF=CD，從而到達(dá)證明的目的。這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。另外一個(gè)全等自已證明。此題的證明也可以延長BE與CD的延長線交于一點(diǎn)來證明。自已試一試。例2 ：如圖1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求證DCAC分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。例3 ：如圖1-4，在AB

32、C中，C=2B,AD平分BAC，求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的延長來證明呢.練習(xí)1 在ABC中，AD平分BAC，B=2C，求證：AB+BD=AC2 ：在ABC中，CAB=2B，AE平分CAB交BC于E，AB=2AC，求證：AE=2CE3 ：在ABC中，AB>AC,AD為BAC的平分線，M為AD上任一點(diǎn)。求證：BM-CM>AB-AC4 ：D是ABC的BAC的外角的平分線AD上的任一點(diǎn)，連接DB、DC。求證：BD+CD>

33、;AB+AC。二、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。例1 如圖2-1，AB>AD, BAC=FAC,CD=BC。求證：ADC+B=180分析：可由C向BAD的兩邊作垂線。近而證ADC與B之和為平角。例2 如圖2-2，在ABC中，A=90，AB=AC，ABD=CBD。求證：BC=AB+AD分析：過D作DEBC于E，則AD=DE=CE，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。例3 如圖2-3，ABC的角平分線BM、相交于點(diǎn)P。求證：BAC的平分線也經(jīng)過點(diǎn)P。分析：連接

34、AP，證AP平分BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。練習(xí)：1如圖2-4AOP=BOP=15，PC/OA，PDOA， 如果PC=4，則PD= A 4 B 3 C 2 D 12在ABC中，C=90，AD平分CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。3：如圖2-5, BAC=CAD,AB>AD，CEAB，AE=AB+AD.求證：D+B=180。4.：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD 的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC 上的點(diǎn)，F(xiàn)AE=DAE。求證：AF=AD+CF。5 ：如圖2-7，在RtABC中，ACB=90,CDAB，垂足為D，AE平分CAB交CD于F，過F作FH/AB交BC于H。求證C

35、F=BH。三：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交。例1 ：如圖3-1，BAD=DAC，AB>AC,CDAD于D，H是BC中點(diǎn)。求證：DH=AB-AC分析：延長CD交AB于點(diǎn)E，則可得全等三角形。問題可證。例2 ：如圖3-2，AB=AC，BAC=90，AD為ABC的平分線，CEBE.求證：BD=2CE。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，

36、可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3：如圖3-3在ABC中，AD、AE分別BAC的、外角平分線，過頂點(diǎn)B作BFAD，交AD的延長線于F，連結(jié)FC并延長交AE于M。求證：AM=ME。分析：由AD、AE是BAC外角平分線，可得EAAF，從而有BF/AE，所以想到利用比例線段證相等。例4 ：如圖3-4，在ABC中，AD平分BAC，AD=AB，CMAD交AD延長線于M。求證：AM=AB+AC分析：題設(shè)中給出了角平分線AD，自然想到以AD為軸作對稱變換，作ABD關(guān)于AD的對稱AED，然后只需證DM=EC，另外由求證的結(jié)果AM=AB+AC，即2AM=AB+AC，也可嘗試作ACM關(guān)于CM的

37、對稱FCM，然后只需證DF=CF即可。練習(xí)：1 ：在ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中點(diǎn)，AE是BAC的平分線，且CEAE于E，連接DE，求DE。2 BE、BF分別是ABC的ABC的角與外角的平分線，AFBF于F，AEBE于E，連接EF分別交AB、AC于M、N，求證MN=BC四、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時(shí)，常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形。或通過一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。12ACDB例4 如圖，AB>AC, 1=2，求證：ABAC>BDCD。例5 如圖，

38、BC>BA，BD平分ABC，且AD=CD，求證：A+C=180。BDCAABECD例6 如圖，ABCD，AE、DE分別平分BAD各ADE，求證：AD=AB+CD。練習(xí)：1. ，如圖，C=2A，AC=2BC。求證：ABC是直角三角形。CAB2：如圖，AB=2AC，1=2，DA=DB，求證：DCACABDC123CE、AD是ABC的角平分線，B=60°，求證：AC=AE+CDAEBDC4：如圖在ABC中，A=90°，AB=AC，BD是ABC的平分線，求證：BC=AB+ADABCD三 由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去

39、。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長補(bǔ)短法：1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下局部等于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長局部等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想方法放在一個(gè)三角形中證明。一、 在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來，可連接兩點(diǎn)或廷長*邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、 如圖1-1：D、E為ABC兩點(diǎn),求證:AB+AC>BD+DE+CE.證明：法一

40、將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N，在AMN中，AM+AN>MD+DE+NE;1在BDM中，MB+MD>BD；2在CEN中，+NE>CE；3由1+2+3得：AM+AN+MB+MD+NE>MD+DE+NE+BD+CEAB+AC>BD+DE+EC法二：圖1-2延長BD交AC于F，廷長CE交BF于G，在ABF和GFC和GDE中有：AB+AF>BD+DG+GF三角形兩邊之和大于第三邊1GF+FC>GE+CE同上2DG+GE>DE同上3由1+2+3得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DEAB+AC>BD+D

41、E+EC。二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的角時(shí)如直接證不出來時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長*邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在*個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：D為ABC的任一點(diǎn)，求證：BDC>BAC。分析：因?yàn)锽DC與BAC不在同個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使BDC處于在外角的位置，BAC處于在角的位置；證法一：延長BD交AC于點(diǎn)E，這時(shí)BDC是EDC的外角，BDC>DEC，同理DEC>BAC，BDC>BAC證法二：連接AD，并廷長交BC于F，這時(shí)BDF是ABD的外角，BDF>

42、BAD，同理，CDF>CAD，BDF+CDF>BAD+CAD，即：BDC>BAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在*三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、 有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1：AD為ABC的中線，且1=2,3=4,求證：BE+CF>EF。分析：要證BE+CF>EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由1=2，3=4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個(gè)三角形中。證

43、明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF，則DN=DC，在DBE和NDE中：DN=DB輔助線作法1=2ED=ED公共邊DBENDESASBE=NE全等三角形對應(yīng)邊相等同理可得：CF=NF在EFN中EN+FN>EF三角形兩邊之和大于第三邊BE+CF>EF。注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。四、 截長補(bǔ)短法作輔助線。例如：如圖6-1：在ABC中，AB>AC，1=2，P為AD上任一點(diǎn)求證：AB-AC>PB-PC。分析：要證：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛?/p>

44、證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再連接PN，則PC=PN，又在PNB中，PB-PN<BN，即：AB-AC>PB-PC。證明：截長法在AB上截取AN=AC連接PN,在APN和APC中AN=AC輔助線作法1=2AP=AP公共邊APNAPCSAS,PC=PN全等三角形對應(yīng)邊相等在BPN中，有PB-PN<BN三角形兩邊之差小于第三邊BP-PC<AB-AC證明：補(bǔ)短法延長AC至M，使AM=AB，連接PM，在ABP和AMP中AB=AM輔助線作法1=2AP=AP公共邊ABPAMPSASPB=PM全等

45、三角形對應(yīng)邊相等又在PCM中有：CM>PM-PC(三角形兩邊之差小于第三邊)AB-AC>PB-PC。DAECB例1如圖，AC平分BAD，CEAB，且B+D=180°，求證：AE=AD+BE。例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE，求證：ADC+B=180º例3：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。DCBA求證：BC=AB+DC。MBDCA例4如圖，RtABC中，ACB=90°，AD是CAB的平分線，DMAB于M，且AM=MB。求證：CD=DB。1如圖，ABCD，AE、DE

46、分別平分BAD各ADE，求證：AD=AB+CD。EDCBA2.如圖，ABC中，BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B，C在AE的異側(cè)，BDAE于D，CEAE于E。求證：BD=DE+CE四 由中點(diǎn)想到的輔助線 口訣：三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果一點(diǎn)是三角形*一邊上的中點(diǎn)，則首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)，然后通過探索，找到解決問題的方法。一、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖1，AD是ABC的中線，則SABD=SACD=SABC因?yàn)?/p>

47、ABD與ACD是等底同高的。例1如圖2，ABC中，AD是中線，延長AD到E，使DE=AD，DF是DCE的中線。ABC的面積為2，求：CDF的面積。解：因?yàn)锳D是ABC的中線，所以SACD=SABC=×2=1，又因CD是ACE的中線，故SCDE=SACD=1，因DF是CDE的中線，所以SCDF=SCDE=×1=。CDF的面積為。二、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：BGE=CHE。證明：連結(jié)BD，并取BD的中點(diǎn)為M，連結(jié)ME、MF，ME是BCD的中位線，ME

48、CD，MEF=CHE，MF是ABD的中位線，MFAB，MFE=BGE，AB=CD，ME=MF，MEF=MFE，從而BGE=CHE。三、由中線應(yīng)想到延長中線例3圖4，ABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長。解：延長AD到E，使DE=AD，則AE=2AD=2×2=4。在ACD和EBD中，AD=ED，ADC=EDB，CD=BD，ACDEBD，AC=BE，從而BE=AC=3。在ABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故E=90°，BD=，故BC=2BD=2。例4如圖5，ABC中，AD是BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ABC是等腰

49、三角形。證明：延長AD到E，使DE=AD。仿例3可證：BEDCAD，故EB=AC，E=2，又1=2，1=E，AB=EB，從而AB=AC，即ABC是等腰三角形。四、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5如圖6，梯形ABCD中，AB/DC，ACBC，ADBD，求證：AC=BD。證明：取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、CE，則DE、CE分別為RtABD，RtABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB，因此CDE=DCE。AB/DC，CDE=1，DCE=2，1=2，在ADE和BCE中，DE=CE，1=2，AE=BE，ADEBCE，AD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。五、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等

50、腰三角形的中線例6如圖7，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。證明：延長BA，CE交于點(diǎn)F，在BEF和BEC中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90°，BEFBEC，EF=EC，從而CF=2CE。又1+F=3+F=90°，故1=3。在ABD和ACF中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90°，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。注：此例中BE是等腰BCF的底邊CF的中線。六中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加

51、倍此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。例一：如圖4-1：AD為ABC的中線，且1=2，3=4，求證：BE+CF>EF。證明：廷長ED至M，使DM=DE，連接CM，MF。在BDE和CDM中，BD=CD中點(diǎn)定義1=5對頂角相等ED=MD輔助線作法BDECDMSAS又1=2，3=41+2+3+4=180°平角的定義3+2=90°即：EDF=90°FDM=EDF=90°在EDF和MDF中ED=MD輔助線作法EDF=FDM已證DF=DF公共邊EDFMDFSASEF=MF全等三角形對應(yīng)邊相等在CMF中，CF+CM>MF三角形兩邊之和大于第三邊BE+CF>EF上題也可加倍FD，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖5-1：AD為ABC的中線，求證：AB+AC>2AD。分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去證明：延長AD至E，使