數(shù)學(xué)論文關(guān)于函數(shù)不動點的性質(zhì)及應(yīng)用

1、-2021屆本科畢業(yè)論文(設(shè)計)題目：關(guān)于函數(shù)不動點的性質(zhì)及應(yīng)用所在學(xué)院：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院專業(yè)班級：數(shù)學(xué)09-3班學(xué)生：帕孜麗婭·阿布都熱習(xí)題指導(dǎo)教師：塔實甫拉提 副教授辯論日期：2021年5 月5 日 *師大學(xué)教務(wù) . z-目 錄引言11 函數(shù)不動點的根本概念11.1 函數(shù)不動點的定義與定理及推論12 函數(shù)不動點的性質(zhì)22.1不動點的不唯一33 函數(shù)不動點的應(yīng)用43.1 求函數(shù)的不動點43.2 利用函數(shù)不動點求函數(shù)解析式73.3 利用函數(shù)不動點解方程83.4 利用函數(shù)不動點求數(shù)列通項93.5 利用函數(shù)不動點求函數(shù)極限114 總結(jié)13參考文獻(xiàn)13致13. z-關(guān)于連續(xù)函數(shù)的不動點及應(yīng)用摘

2、要：不動點定理是20世紀(jì)數(shù)學(xué)開展中的重大課題，其影響普及整個數(shù)學(xué)界。此定理涉及數(shù)學(xué)分析、拓?fù)鋵W(xué)、非線性分析等多種問題，運(yùn)用不動點定理，可以解決數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的許多問題，簡單、方便、實用。本論文以介紹布勞威爾不動點定理為主線，詳細(xì)研究迭代法的思想，簡介不動點定理的起源和根本容，考慮了連續(xù)函數(shù)和單調(diào)函數(shù)的不動點問題，最后研究了不動點定理在數(shù)列極限中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：不動點定理；迭代法；函數(shù)；數(shù)列極限。. z-引言不動點定理的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)開展史上的一次重大突破，它涉及諸多數(shù)學(xué)分支，其應(yīng)用十分廣泛，相關(guān)領(lǐng)域的研究至今仍呈現(xiàn)勃勃生機(jī)。數(shù)學(xué)中的許多重要的定理，如隱函數(shù)定理、微分方程解的存在性定理等，都可以用不動點

3、定理給出簡潔的證明。本論文簡單粗淺地介紹了對不動點定理的認(rèn)識、理解，以及它的應(yīng)用。1 函數(shù)不動點的根本概念1.1 函數(shù)不動點的定義與定理及推定義1.1.1 對函數(shù)，假設(shè)存在實數(shù)，滿足，則稱為的不動點。對此定義有兩方面的理解：1代數(shù)意義：假設(shè)方程有實數(shù)根，則有不動點；2幾何意義：假設(shè)函數(shù)與有交點，則為的不動點。關(guān)于一元函數(shù)的不動點是一重要研究課題，而連續(xù)函數(shù)是一類重要函數(shù)，連續(xù)函數(shù)不動點存在定理目前有如下結(jié)論：結(jié)論1.2.1 在上連續(xù)，且值域為，則在上存在不動點。【4】結(jié)論1.2.2 在上滿足，的值域為，則存在不動點。【4】結(jié)論1.2.3 在上嚴(yán)格單減，且，則存在不動點?！?】本文給出連續(xù)函數(shù)存

4、在不動點的3個定理。定理1.2.1 在區(qū)間上連續(xù)，且是的滿射，假設(shè)，則存在惟一的不動點。定理在上有有限個可去連續(xù)點，在連續(xù)點的極限不為，則在上存在不動點。定理在上連續(xù)。設(shè)為曲線的端點，假設(shè)與線段相交，則一定存在不動點。2 函數(shù)不動點的性質(zhì)性質(zhì)2.1 函數(shù)如有不動點，不動點必為函數(shù)的圖象與直線的交點。性質(zhì)2.2 奇函數(shù)如有不動點，則點也是它的不動點。性質(zhì)2.3 函數(shù)的反函數(shù)為，假設(shè)是的不動點則也是的不動點。證明 由，可得，所以是的不動點。性質(zhì)2.4 定義在R上的奇函數(shù)圖像上存在有限個不動點，則不動點有奇數(shù)個。證明 是奇函數(shù)，。又，令，則，0是的不動點。設(shè)是奇函數(shù)的一個不動點，則。，也是函數(shù)的一個

5、不動點，且，這說明奇函數(shù)的非零不動點如果存在，則必成對出現(xiàn)。又根據(jù)題設(shè)只有有限個不動點，故函數(shù)的不動點數(shù)目是奇數(shù)個。但對于偶函數(shù)沒有相應(yīng)的結(jié)論，即“定義在R上的偶函數(shù)的不動點的個數(shù)為偶數(shù)個此命題是不成立的。例如： 是偶函數(shù)，設(shè)是的不動點，則一方面，另一方面，由此得。因此有且只有一個不動點。性質(zhì)2.5假設(shè)是的不動點，則是的不動點。證明 因為，則是的不動點，假設(shè)是的不動點，即，則，由數(shù)學(xué)歸納法知是的不動點，所以是的不動點。性質(zhì)2.6 函數(shù)有兩個關(guān)于原點對稱的不動點的充分必要條件是。證明 設(shè)的一個不動點，是它的另一個不動點，則有方程，整理，得由題意，方程有兩個根，絕對值相等，符號相反，故。2.1不動

6、點不必唯一如以下列圖1、2中就分別畫出了三個不動點。 圖1 圖24并非所有函數(shù)都存在不動點。在上連續(xù)的函數(shù)，或者值域包含，或者值域含在中，均存在不動點，而其它情形則不一定有不動點。參見以下列圖3、4、5圖3的值域包含， 圖4的值域含于之中， 有一不動點c 。 有一不動點 。 圖5的值域既不含于， 也不包含，沒有不動點。3 函數(shù)不動點的應(yīng)用不動點理論是泛函分析理論的重要組成局部，我們可以看到多種不同形式的不動點定理，這些定理對不動點的存在性及個數(shù)進(jìn)展廣泛而深入的研究。不動點定理在數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用。3.1 求函數(shù)的不動點求解函數(shù)的不動點時需要運(yùn)用各種方法與技巧，才能使問題迅速獲解。對于任意定義在

7、區(qū)間上的函數(shù)，假設(shè)實數(shù)滿足，則稱為函數(shù)在上的一個不動點。求函數(shù)在上的不動點。解 設(shè)是在上的不動點，則，解得，即1是在上的不動點。是形如的實變量的非零函數(shù)集，且是具有以下性質(zhì)：假設(shè)，則，其中定義；假設(shè)，且，則反函數(shù)也屬于，這里；對中每一個，存在一實數(shù)，使得。求證：總存在一個實數(shù)，對所有有。證明 條件說明，對每一個，都有一個不動點，使得。現(xiàn)要證集合中所有函數(shù)，必有一個公共不動點。設(shè)的不動點為，即。假設(shè)，則任何實數(shù)都是的不動點。假設(shè)，則的不動點不存在，這時。因此，只需證明：當(dāng)時，必有為常數(shù)，這時取，則對任何，有。首先證明，假設(shè)。于是，由性質(zhì)，有。由性質(zhì)知，存在不動點，故。其次，對形如的函數(shù)，當(dāng)時，；

8、當(dāng)時，對任何實數(shù)有。故只須考慮中形如的函數(shù)。設(shè)；。則，由性質(zhì)，得。則，即。此式說明，對任何，是常數(shù)。取，則，即知題中結(jié)論成立。 設(shè)是取正整數(shù)值的嚴(yán)格遞增數(shù)列。，當(dāng)互質(zhì)時，。求證：證明 此題是在題設(shè)條件下證明取自然數(shù)時均為不動點。事實上，由，有但。下面用反證法證明：假設(shè)命題不真。假設(shè)的最小正整數(shù)，則故只能。又是嚴(yán)格遞增的，當(dāng)時，有下面分兩種情況討論:(1)當(dāng)是奇數(shù)時，2和互素，則又因，則。從而式與式矛盾。(2)當(dāng)為偶數(shù)時，2和互素，同理，有又因，則。從而式與式矛盾。綜上知，式不成立。所以，。例3.1.4 函數(shù)。(1)當(dāng)時，求函數(shù)的不動點；(2)假設(shè)對任意實數(shù)，函數(shù)恒有兩個相異的不動點，求的取值圍

9、；(3)在(2)的條件下，假設(shè)圖象上兩點的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動點，且兩點關(guān)于直線對稱，求的最小值。解 (1)當(dāng)時，由，得，解得 。的不動點為。(2)由于對于任意實數(shù)函數(shù)恒有兩個相異的不動點，所以對任意實數(shù)，方程，即 恒有兩個相異的實數(shù)根。于是對任意實數(shù)恒成立。，解得 。故恒有兩個相異的不動點時，的取值圍為。(3)由題意，兩點在直線上，設(shè)。關(guān)于直線對稱，。設(shè)的中點為，是方程的兩個根，。點在直線上，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號。故的最小值為。3.2 利用函數(shù)不動點求函數(shù)解析式 試確定符合以下條件的所有多項式：解 由所給條件，有即有無窮多個不動點。因 是多項式，故方程是代數(shù)方程。而一元次代數(shù)方程只有個根，所以

10、，。另一方面，滿足及是所求的惟一多項式。例3.2.2 假設(shè)，又的不動點是，則函數(shù)的次迭代函數(shù)的解析式可以用的不動點表示如下：。證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)時，結(jié)論成立。假設(shè)時結(jié)論成立，既有。則，當(dāng)時，有。所以，當(dāng)時結(jié)論也成立。綜上知，對于時結(jié)論都成立。例3.2.3 函數(shù)。求一次函數(shù)的解析式。解 設(shè)一次函數(shù),由例3.2.2知，即有。因此，所求一次函數(shù)的解析式為。評述：求解次迭代函數(shù)的解析式時，利用函數(shù)不動點?？山o解題帶來較大的方便。3.3 利用函數(shù)不動點解方程 假設(shè)是二次函數(shù)的兩個不動點，則也是四次函數(shù)的兩個不動點。證明 由消去可得。則所以，是的兩個不動點。從例3.3.1的證明中看出：的另兩個不動

11、點，可由方程給出。假設(shè)不求另外兩個不動點，直接代入更方便。就是說，4個不動點為的4個根。例3.3.2 解方程。解 原方程變形為。令，則的兩個不動點分別是和由函數(shù)不動點定義，得，解得。由例3.3.1的結(jié)論知，和也是的兩個不動點。的另兩個不動點，可由方程，即 解得，。所以，方程的4個根分別為，即為原方程的解。由此可見，對于代數(shù)方程，可轉(zhuǎn)化為同解方程，求的不動點，即可得的根。3.4 利用函數(shù)不動點求數(shù)列通項利用遞推數(shù)列的不動點，可將*些由遞推關(guān)系所確定的數(shù)列轉(zhuǎn)化為較易求通項的數(shù)列如等差數(shù)列或等比數(shù)列，這種方法稱為不動點法。定理3.4.1 假設(shè)，的不動點，滿足遞推關(guān)系，則，即是公比為的等比數(shù)列。證明

12、是的不動點，。由，得是公比為的等比數(shù)列。例3.4.1 數(shù)列中，求。解 令，求出不動點，由，得說所以，是以首項為，公比為的等比數(shù)列，這樣，即 。定理3.4.2 設(shè)，滿足遞推關(guān)系，且，(1)假設(shè)有兩個相異的不動點則,其中。(2)假設(shè)只有惟一不動點，則其中。該定理可通過直接計算證明，其過程可叁看下面兩個例題。例3.4.2 設(shè)滿足，求的通項公式。解 由方程求出不動點，于是。構(gòu)造數(shù)列，此數(shù)列為等比數(shù)列，首項為，公比為，解得 。例3.4.3 數(shù)列中，求。解 由，求出惟一不動點，于是為等差數(shù)列，首項為，公差為，解得 。3.5 利用函數(shù)不動點求函數(shù)極限不動點是泛函分析中的重要概念，特別是不動點定理在泛函分析中

13、有著十分廣泛的應(yīng)用。在這里給出用不動點定理求迭代數(shù)列極限的方法，這種方法的使用不但表達(dá)了該定理在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用，而且也為學(xué)習(xí)泛函分析起了良好的鋪墊作用，并且在特殊的迭代形式下，用不動點構(gòu)造出新的數(shù)列的通項，從而推導(dǎo)出迭代數(shù)列的通項，進(jìn)而判斷所求數(shù)列的極限是否存在。定義3.5.1 假設(shè)存在一個常數(shù)，且，使得任意，有成立，則稱是上的一個壓縮映照。引理設(shè)是上的一個壓縮映照，則是上的連續(xù)函數(shù)。定理設(shè)是上的一個壓縮映照，且，假設(shè)對于任意的，則在上存在惟一的不動點，且。推論3.5.1 設(shè)在上連續(xù)，在可導(dǎo)，且存在，對于任意的使得，則為的一個壓縮映照。推論3.5.2 設(shè)是上的一個連續(xù)函數(shù)，且，假設(shè)，則對于任

14、意的，有。例3.5.1 設(shè)數(shù)列，證明數(shù)列收斂并求極限。解 根據(jù)迭代數(shù)列，構(gòu)造函數(shù)，其中，因為在上單調(diào)遞增，則.又因為，所以是上的一個壓縮映照。由定理3.5.1知數(shù)列收斂，且，所以即 得 定理3.5.2 數(shù)列滿足其中，設(shè)是惟一的不動點，則數(shù)列是一個等差數(shù)列。例3.5.2 設(shè)數(shù)列滿足證明數(shù)列收斂并求極限。證明 根據(jù)迭代數(shù)列，構(gòu)造函數(shù)，易知有惟一的不動點，且可以變形為根據(jù)定理3.5.2可知，則即數(shù)列是以首項為，公差為的等差數(shù)列。則對應(yīng)的通項公式為解出，得顯而易見。4 總結(jié)不動點理論是20世紀(jì)數(shù)學(xué)中的一支奇葩，半個多世紀(jì)以來，它一直是世界數(shù)學(xué)家追逐的目標(biāo)之一，其影響可以說普及整個數(shù)學(xué)界。運(yùn)用不動點定理

15、，可以使許多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，例如論文中提到的函數(shù)的不動點和不動點定理在數(shù)列極限中的應(yīng)用，等等。因此，不動點定理是我們學(xué)習(xí)并掌握更多的數(shù)學(xué)理論的必要工具。不動點理論描寫了運(yùn)動的函數(shù)、映射，反映了世界萬物處于變化之中，但是，變中有不變，運(yùn)動之中有不動，不動點理論正是在動與靜這對矛盾展開中出現(xiàn)的規(guī)律性結(jié)果。只要世界還在運(yùn)動，不動點理論就會繼續(xù)存在，繼續(xù)開展，繼續(xù)得到更廣泛的應(yīng)用參考文獻(xiàn)：1 惟峰.不動點的性質(zhì)及應(yīng)用J.理科教學(xué)研究，2006，(3).1920.2 常立新.例談不動點法求數(shù)列通項公式J.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2005，(5).4647.3 .關(guān)于函數(shù)的不動點J. 高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，200

16、5，(5).48.4 薛孝樂.命題新亮點不動點J.?數(shù)理天地?高中版.2006，(11).2324.5 鄧光發(fā).函數(shù)不動點在解題中的應(yīng)用(上) J.中等數(shù)學(xué). 2003，(3).1416.6 云芷，秋紅.關(guān)于連續(xù)函數(shù)的不動點J.師?？茖W(xué)校學(xué)報. 2007，(2).89.7 王勇.“不動點問題的解題思路J. 高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2003，(9).1214.8 鄧光發(fā).函數(shù)不動點在解題中的應(yīng)用(下) J.中等數(shù)學(xué). 2003，(4).1316.9 肖翔，許伯生.不動點在求迭代數(shù)列極限中的應(yīng)用J.工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報.2021，(9).265267.10 大中.一個不動點問題的特殊解J.大學(xué)學(xué)報,2005(3):11-13.致大學(xué)四年很快就要完畢了，在這珍貴的四年學(xué)習(xí)過程中，我認(rèn)識了數(shù)學(xué)系的各級領(lǐng)導(dǎo)、教師和我親愛的同學(xué)們，得到了他們熱心的幫助和關(guān)心，使我能夠順利的完成學(xué)業(yè)，同時我的道德修養(yǎng)在身邊優(yōu)秀的教師和同學(xué)的感染下得到了很大的提高