彎曲變形劉鴻文

1、1工工程程實實例例6.1 工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題第六章第六章 彎曲變形彎曲變形23工程實例工程實例4工程實例工程實例51.梁的梁的撓曲線撓曲線：梁軸線變形后所形成的光滑連續(xù)的曲線梁軸線變形后所形成的光滑連續(xù)的曲線。6.2 撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程BAB1Fxq qq qvyx 2.梁位移的度量：梁位移的度量：撓度撓度：梁橫截面形心的豎向位移：梁橫截面形心的豎向位移w，向下的撓度為正，向下的撓度為正轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動的角度：梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動的角度q q，順時針轉(zhuǎn)動為正，順時針轉(zhuǎn)動為正撓曲線方程撓曲線方程：撓度作為軸線坐標(biāo)的函數(shù)：撓度作為軸線坐標(biāo)的函數(shù) w

2、=f(x)轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程(小變形下小變形下)：轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系：轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系)( tanxfdxdwqq3.計算位移的目的：計算位移的目的：剛度校核、解超靜定梁、適當(dāng)施工措施剛度校核、解超靜定梁、適當(dāng)施工措施第六章第六章 彎曲變形彎曲變形6撓度、轉(zhuǎn)角的定義撓度、轉(zhuǎn)角的定義7一、撓曲線近似微分方程一、撓曲線近似微分方程EIxMx)()(11.靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系：2.幾何關(guān)系幾何關(guān)系：wwwx 2321)(1)(xMwEI 6.3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形3.撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程：yxMM00 wM，00 wM，yxMM8二、積分法求梁的撓曲線二、積分法求梁的撓

3、曲線 撓曲線方程。轉(zhuǎn)角方程；再積分一次積分一次 211)()(CxCdxdxxMEIwEICdxxMEIwq2.支承條件與連續(xù)條件支承條件與連續(xù)條件: )(xMwEI 1.式中式中C1、C2為積分常數(shù)，由梁邊界、連續(xù)條件確定。為積分常數(shù)，由梁邊界、連續(xù)條件確定。 1) 支承條件：支承條件： 2) 連續(xù)條件：連續(xù)條件：撓曲線是光滑連續(xù)唯一的撓曲線是光滑連續(xù)唯一的CxCxCxCxww|qq，y0wy0wy0; 0wwl lylwFABC9q qmaxwmaxDCxFxFLxEIwCFxFlxEIwxlFxMEIw622)()(322次：列撓曲線方程并積分兩00|00| 00DwCwxx，得：；，得

4、：數(shù)：由邊界條件決定積分常)3(6)2(22xlEIFxwxlEIFxwq為：轉(zhuǎn)角和撓曲線方程分別EIFLwwEIFLBB323max2maxqq解：建立坐標(biāo)系如圖解：建立坐標(biāo)系如圖x處彎矩方程為：處彎矩方程為： 例例6.1 圖示為鏜刀在工件上鏜孔的示意圖。為保證鏜孔精度，圖示為鏜刀在工件上鏜孔的示意圖。為保證鏜孔精度，鏜刀桿的彎曲變形不能過大。設(shè)徑向切削力鏜刀桿的彎曲變形不能過大。設(shè)徑向切削力F200N，鏜刀桿直，鏜刀桿直徑徑d10mm，外伸長度，外伸長度l50mm。材料的彈性模量。材料的彈性模量E210GPa。試求鏜刀桿上安裝鏜刀頭的截面試求鏜刀桿上安裝鏜刀頭的截面B的轉(zhuǎn)角和撓度。的轉(zhuǎn)角和

5、撓度。 yxFBAlx)()(xlFxM代入數(shù)據(jù)得代入數(shù)據(jù)得mm0805. 0rad00242. 0BBwq10例例6.3 求圖示梁受集中力求圖示梁受集中力F作用時的撓曲線方程。作用時的撓曲線方程。 FabClABxFAFB解：解： 1、求支反力、求支反力lFaFlFbFBA；xlFbEIw122ClFbxEIw)0(axAC段)(lxaCB段xlFbaxFEIw)(2222)(2ClFbxaxFEIw1136DxClFbxEIw22336)(6DxClFbxaxFEIw)(60; 000;2221212121bllFbCCwlxDDwxDDwwCCwwax，得處，得處，則，則時，)3(622

6、2xblEIlFbw)(31)(22222blxaxblEIlFw)(6222xblEIlFbxw)()(62233xblxaxblEIlFw)0(axAC段)(lxaCB段116-4 按疊加原理計算彎曲變形按疊加原理計算彎曲變形：梁的變形微小，：梁的變形微小， 且梁在線彈性范圍內(nèi)工作時，且梁在線彈性范圍內(nèi)工作時， 梁在幾項荷載梁在幾項荷載（可以是集中力（可以是集中力, 集中力偶或分布力）同時作用下的撓度和轉(zhuǎn)角，集中力偶或分布力）同時作用下的撓度和轉(zhuǎn)角， 就分別等就分別等于每一荷載單獨作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加。于每一荷載單獨作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加。 當(dāng)每一項荷載所引起當(dāng)每一項荷載

7、所引起的撓度為同一方向（如均沿的撓度為同一方向（如均沿 y 軸方向軸方向 ), 其轉(zhuǎn)角是在同一平面內(nèi)其轉(zhuǎn)角是在同一平面內(nèi) ( 如均在如均在 xy 平面內(nèi)平面內(nèi) ) 時時, 則疊加就是代數(shù)和。則疊加就是代數(shù)和。 這就是這就是疊加原理疊加原理。 例例6.4 橋式起重機的大梁的自重為均布載荷，集度為橋式起重機的大梁的自重為均布載荷，集度為q。作用于跨度中點的。作用于跨度中點的吊重為集中力吊重為集中力F。試求大梁跨度中點的撓度。試求大梁跨度中點的撓度。 P PA Aq qC CB B2l2l解：查表得：EIFlwEIqlwCFCq48384534EIFlEIqlwC48384534 例例6.5 車床主

8、軸的計算簡圖可簡化成外伸梁，如圖所示。車床主軸的計算簡圖可簡化成外伸梁，如圖所示。F1為切削力，為切削力，F(xiàn)2為為齒輪傳動力。若近似地把齒輪傳動力。若近似地把。外伸梁作為等截面梁，試求截面外伸梁作為等截面梁，試求截面B的轉(zhuǎn)角和端點的轉(zhuǎn)角和端點C的撓度。的撓度。ABDCa2l2lF2F112ABDCa2l2lF2ABDCa2l2lF2F1ABDCa2l2lF1ABDCa2l2lF1ABDCa2l2lF1MB=F1a解：將兩個載荷分別作用在原結(jié)構(gòu)上，F(xiàn)2作用查表。EIlFBF16222q0 MwEIEIalFawBFC162212q由于BC段沒有載荷，故BC段彎矩為零。代人撓曲線微分方程并積分兩次

9、得：由上式看出BC段撓曲線是直線，所以：DCxEIwCwEIEIaFwC3212EIalFEIMlBM331qF1作用時由于沒有現(xiàn)成的表格，所以將其分解：1、將B點看成固定端對BC段的變形沒有影響。直接查表，但B端轉(zhuǎn)角為零，與原結(jié)構(gòu)不同，原因是AB段的彎矩與原結(jié)構(gòu)不同；2、將F1移到B點并附加力偶MB，查表EIlaFawBMC3213qEIlFEIalFB163221qEIalFlaEIaFwwwwCCCC163222132113習(xí)題習(xí)題 一抗彎剛度為一抗彎剛度為 EI 的的 簡支梁受荷載如圖所示。簡支梁受荷載如圖所示。試按疊加原理求梁跨中點的試按疊加原理求梁跨中點的撓度撓度 wC和支座處橫截

10、面的和支座處橫截面的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角q qA , q qB 。解：將梁上荷載分為兩項簡解：將梁上荷載分為兩項簡單的荷載，如圖所示。單的荷載，如圖所示。m mA AB BC CA Aq qC CB Bm mA Aq qC CB B 例例6.6 在簡支梁的一部分上作用均布載在簡支梁的一部分上作用均布載荷。試求跨度中點的撓度，設(shè)荷。試求跨度中點的撓度，設(shè)bl/2。ABblqxdxqdx解：解：dxdx段力段力dFdFqdxqdx引起的撓度查表得：引起的撓度查表得：2222223484348blEIqbxlEIxdFdwC22202223484348blEIqbdxxlxEIqwbC按疊加法，積分得：按疊加法

11、，積分得：14EImlEIqlEImlEIqlEImlEIqlwwwBmBqBAmAqACmCqC6243241638453324qqqqqq先從表中查出兩者分別作用先從表中查出兩者分別作用時梁的相應(yīng)位移，然后按疊時梁的相應(yīng)位移，然后按疊加原理求出其代數(shù)和，即得加原理求出其代數(shù)和，即得所求的位移所求的位移A Aq qC CB Bm mA AB BC CA Aq qC CB Bm m15習(xí)題習(xí)題 試試?yán)茂B加法，利用疊加法， 求圖求圖a 所示抗所示抗彎剛度為彎剛度為EI的簡支梁跨中點的撓度的簡支梁跨中點的撓度 wC 和兩端截面的轉(zhuǎn)角和兩端截面的轉(zhuǎn)角q qA, q qB 。解：解： 如圖所示梁可視

12、為正對稱荷載如圖所示梁可視為正對稱荷載與反對稱荷載兩種情況的疊加。與反對稱荷載兩種情況的疊加。l2lA AB BC Cq qA AB B2qC CA AB B2q2q反對稱荷載作用下，反對稱荷載作用下， 可將可將AC段和段和BC段視為受均布線荷載作用且長段視為受均布線荷載作用且長度為度為 l /2 的簡支梁的簡支梁, 因此因此正對稱荷載作用下，有正對稱荷載作用下，有EIqlEIlqEIqlEIlqwBAC4824)2(7685384)2(53311441qqEIqlEIlqBA38424)2)(2(3322qq 將相應(yīng)的位移進(jìn)將相應(yīng)的位移進(jìn)行疊加行疊加, 即得即得EIqlEIqlEIqlEIq

13、lEIqlEIqlEIqlwwwBBBAAACCC384738448128338448)(76853332133321421qqqqqq16習(xí)題習(xí)題 一抗彎剛度為一抗彎剛度為EI 的外伸梁受荷載如圖的外伸梁受荷載如圖a所示所示, 試按疊加原理并利用附表試按疊加原理并利用附表, 求截面求截面B的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角q qB以及以及A端端和和BC段中點段中點D的撓度的撓度wA和和wD解：將外伸梁沿解：將外伸梁沿 B B截面截成兩截面截成兩段，將段，將AB AB 段看成段看成B B斷固定的懸斷固定的懸臂梁，臂梁，BC BC 段看成簡支梁。段看成簡支梁。A AB BC CD Da2 2q qq qa2a2 2q

14、 qA AB BqaMB2 2 2qaqaw2B B截面兩側(cè)的相互作用截面兩側(cè)的相互作用力為：力為：2qa,2qa,qaMB2 就是就是B B截面的剪力和截面的剪力和彎矩。彎矩。2 2qaqaMBq qB BC CD DA Aw1B簡支梁簡支梁BC的受力情況與外伸的受力情況與外伸梁梁AC的的BC段的受力情況相同。段的受力情況相同。因此，由簡支梁因此，由簡支梁BC 求得的求得的q q B 及及 wD 就是外伸梁就是外伸梁AC的的q qB及及 wD 。17B BC CD DqaMB2 求求BfD和和q qB BC CD D2q2qaMBq qB BC CD D2q2qafDqBqfMBDMBB查附

15、錄查附錄 1V 1V 得：得：EIqaEIaqEIqlBq324224333 )(EIqaEIaqaEIlMBBMB3232332 )(EIqaEIqlfDq245384544 EIqaEIlMfBDMB41642 EIqaMBBBqB33 EIqafffMBDDqD244 由疊加原理得由疊加原理得18求求wA由于簡支梁上由于簡支梁上B截面的轉(zhuǎn)動，代動截面的轉(zhuǎn)動，代動AB段一起作剛體段一起作剛體運動，使運動，使 A 端產(chǎn)生撓度端產(chǎn)生撓度w1懸臂梁懸臂梁AB本身的彎曲變形，使本身的彎曲變形，使A端產(chǎn)生撓度端產(chǎn)生撓度w22q2qA AB Bf22qa2qaMBq qB BC CD DA Af1B求

16、總的求總的wA因此，因此，A A端的總撓度應(yīng)為端的總撓度應(yīng)為wwwwaBA221q由附錄由附錄 1V 1V 查得查得EIqaw8)2(22代入上式得代入上式得EIEIEIqaqaqawA1243744419習(xí)題習(xí)題 如圖所示懸臂梁，其抗彎剛度如圖所示懸臂梁，其抗彎剛度EIEI為常數(shù)，求為常數(shù)，求B點轉(zhuǎn)角和撓度。點轉(zhuǎn)角和撓度。FBA2/ l2/ lqCvBqvCqq qBFvBPFBABAqC1.在在F作用下：作用下：EIFlfEIFlBFBF3,232q查表：2.在在q作用下：作用下：EIqlEIlqfEIqlEIlqCqCq1288)2/(486)2/(4433q查表：EIqllvvEIql

17、CqCqBqCqBq384724843qqqBqBFBBqBFBvvvqqq3.在在F和和q共共 同作用下：同作用下：20習(xí)題習(xí)題 已知：懸臂梁受力如圖示，已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求均為已知。求C截面的撓度截面的撓度wC和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角q qC1 1）首先，將梁上的載荷變成）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形有表可查的情形 為了利用梁全長承受均布為了利用梁全長承受均布載荷的已知結(jié)果，先將均布載荷的已知結(jié)果，先將均布載荷延長至梁的全長，為了載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效果，不改變原來載荷作用的效果，在在AB 段還需再加上集度相同、段還需再加上集度相同、方向相反

18、的均布載荷。方向相反的均布載荷。 Cy21Cy2Cy1Cy2By,841EIqlwC,248128234222lEIqlEIqllwwBBCqEIqlC631qEIqlC4832 q qEIqlwwiCiC384414213 3）將結(jié)果疊加）將結(jié)果疊加 EIqliCiC487321qq2 2）再將處理后的梁分解為簡單）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各自載荷作用的情形，計算各自C C截截面的撓度和轉(zhuǎn)角。面的撓度和轉(zhuǎn)角。 22ABalFCFABalCFaFaBC+1）考慮）考慮AB段段(BC段看作剛體段看作剛體)F作用在支座上，不產(chǎn)生變形。作用在支座上，不產(chǎn)生變形。BqFa使使AB梁

19、產(chǎn)生向上凸的變形。梁產(chǎn)生向上凸的變形。查表得：查表得：EIlFaB3)(q則則1CwawBCq1aEIlFa3)()(32EIlFa232）考慮）考慮BC段段(AB段看作剛體段看作剛體)AFaBC2Cw)(332EIFawC所以所以21CCCwww)(3332EIFaEIlFaABalCFaBq1Cw)(321EIlFawc24習(xí)題習(xí)題 圖示，一受載荷的懸臂梁，求自由端A點處的撓度和轉(zhuǎn)角解：BAqCqcyAyCBACaL在分析這種梁的時候，我們把它分成兩段來考慮：兩段來考慮：由附錄中，我們可查得：由附錄中，我們可查得： ZCEIqay84ZCEIqa63q由CA段上無載荷，CA段又是自由端，所

20、以CA段梁變形后仍保持直桿，如圖所示，由桿件的變形連續(xù)條件變形連續(xù)條件可知： ACqqCCAaLyyqZZAEIqaaLEIqay6834ZACEIqa63qq25習(xí)題習(xí)題 按疊加原理求C點撓度。 解：載荷無限分解如圖由梁的簡單載荷變形表， 查簡單載荷引起的變形。疊加EIbLbPwdPC48)43()d(32bLbqxxqPd2d)(d0bEIbLqbd24)43(322dPCqCwwEIqLbEILbLqbL240d24)43(45.00322q00.5L0.5LxdxbxwC26ABql I、超靜定梁的解法、超靜定梁的解法RB（1）將可動將可動鉸鉸鏈支座作看鏈支座作看多余約束解多余約束解除

21、多余約束，代之以約束反力除多余約束，代之以約束反力RB 。得。得到原超靜定梁的到原超靜定梁的 基本靜定系基本靜定系。qAB圖示為抗彎剛度為圖示為抗彎剛度為 EI 的一次的一次超靜定梁說明超靜定梁的解法。超靜定梁說明超靜定梁的解法。 6-5 簡單超靜定梁簡單超靜定梁0wB（2） 超靜定梁在多余約束處的超靜定梁在多余約束處的約束條件，梁的約束條件，梁的 。 （3）根據(jù)變形相容條件得）根據(jù)變形相容條件得變形幾何方程變形幾何方程wwwRBBBqB變形幾何方程為變形幾何方程為0wwRBBBq27fBqfBRB（4）將力與變形的關(guān)系代入）將力與變形的關(guān)系代入變形幾何方程得補充方程變形幾何方程得補充方程EI

22、qlwBq84EIRlRwBBB33查表得查表得RBqABqABBARB補充方程補充方程 為為03834EIlREIqlB由該式解得由該式解得qlRB83 qlRA85 qlmA281 求出該梁固定端的兩個支反力求出該梁固定端的兩個支反力RAmA28ABql代以與其相應(yīng)的多余反力偶代以與其相應(yīng)的多余反力偶 mA 得基本靜定系。得基本靜定系。mA變形相容條件為變形相容條件為0 A方法二方法二取支座取支座 A 處阻止梁轉(zhuǎn)動的約束處阻止梁轉(zhuǎn)動的約束為多余約束。為多余約束。ABql29例題例題6 67 7 ：梁梁 A C 如圖所示如圖所示, 梁的梁的 A 端用一鋼桿端用一鋼桿 AD 與梁與梁 AC 鉸

23、鉸接接, 在梁受荷載作用前在梁受荷載作用前, 桿桿 AD 內(nèi)沒有內(nèi)力內(nèi)沒有內(nèi)力, 已知梁和桿用同樣的已知梁和桿用同樣的鋼材制成鋼材制成, 材料的彈性模量為材料的彈性模量為 E, 鋼梁橫截面的慣性矩為鋼梁橫截面的慣性矩為 I, 拉桿橫拉桿橫截面的面積為截面的面積為 A, 其余尺寸見圖其余尺寸見圖 , 試求鋼桿試求鋼桿 AD 內(nèi)的拉力內(nèi)的拉力 N。a2alABCq2qD解：這是一次超靜定解：這是一次超靜定問題。將問題。將 AD 桿與梁桿與梁 AC 之間的連結(jié)絞看之間的連結(jié)絞看作多于約束。拉力作多于約束。拉力 N 為多余反力?；眷o為多余反力?；眷o定系如圖定系如圖BCq2qANADN30ADBCq

24、2qlwAwAA點的變形相容條件是拉桿和梁在變形后仍連結(jié)于點的變形相容條件是拉桿和梁在變形后仍連結(jié)于A點。即點。即NNlA1wwwANAqA變形幾何方程為變形幾何方程為lwwANAq根據(jù)疊加法根據(jù)疊加法A端的撓度為端的撓度為EIqawAq1274EINawAN3可算出可算出31拉桿拉桿 AD 的伸長為的伸長為EANll 補充方程為補充方程為EANlEINaEIqa34127由此解得由此解得)(AaIlAqaN34127 32例題例題68 ：求圖示梁的支反力，并繪梁的剪力圖和彎矩圖。：求圖示梁的支反力，并繪梁的剪力圖和彎矩圖。 已知已知 EI = 5 103 KN.m3 。4m3m2mABDC3

25、0KNmKN20解：這是一解：這是一次超靜定問題次超靜定問題取支座取支座 B 截面上的相對截面上的相對轉(zhuǎn)動約束為多余約束。轉(zhuǎn)動約束為多余約束?；眷o定系為在基本靜定系為在 B 支座支座截面上安置鉸的靜定梁，截面上安置鉸的靜定梁，如圖如圖 所示。所示。DCmKN20AB30KNMBq qBBB多余反力為分別作用于多余反力為分別作用于簡支梁簡支梁AB 和和 BC 的的 B端端處的一對彎矩處的一對彎矩 MB變形相容條件為，簡支梁變形相容條件為，簡支梁 AB的的 B 截面轉(zhuǎn)角和截面轉(zhuǎn)角和 BC 梁梁 B 截面的轉(zhuǎn)角相等截面的轉(zhuǎn)角相等。qB33EIMEIBB34244203q)34241280(EIME

26、IBEIMEIBB3556) 25 ( 2330qEIMEIB3542由表中查得由表中查得補充方程為補充方程為EIMEIB34241280EIMEIB3542解得解得mKNMB.8031 負(fù)號表示負(fù)號表示 B 截面彎矩截面彎矩與假設(shè)相反。與假設(shè)相反。34KNRA0532. KNRB3566. KNRC611. +-32.0547.9518.4011.64+-25.6831.8023.281.603m由基本靜定系的平衡方程由基本靜定系的平衡方程可求得其余反力可求得其余反力在基本靜定系上繪出剪力圖在基本靜定系上繪出剪力圖和彎矩圖和彎矩圖。CADmKN20B30KNMB35習(xí)題習(xí)題 兩根鋼制懸臂梁A

27、B和CD與長為4m的一繃緊的鋼絲BC，在無初載荷的情況下相連接，如圖所示。連接后鋼絲溫度下降500C，試求鋼絲內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)力。已知梁AB，CD和鋼絲BC的彈性模量E200GPa，梁的慣性矩I10106mm4，鋼絲橫截面面積A60mm2；鋼絲線膨脹系數(shù)a12106/0C。4m1.5m1.5mBACDMPaANkNNlwltllEANllEINlwwwNtBCtBCNCB4 .27,646. 1,2,33a36習(xí)題習(xí)題 圖示為水平放置的兩個懸臂梁，兩梁在自由端處疊加在一起，梁的長度及梁上荷載如圖所示，已知兩梁的彎曲剛度相同。試分別畫出兩梁的彎矩圖。 2aaCBAEIEIFFFEIaFEIaFFwwB

28、BBB91,3)2(3)(,3321習(xí)題習(xí)題 如圖所示懸臂梁AD和BE的抗彎剛度同為EI=24106Nm2，由鋼桿CD相連接。CD桿的l=5m,A=3104m2，E200GPa。若P=50kN，試求懸臂AD在D點的撓度。 2m2mPECDABmmwkNNmlmlmlEANllEINlwEINwEIPwlwwDCDDCNCPCDDC06. 5,6 .455,2,4,338,320,32133237 6-6 提高彎曲剛度的一些措施提高彎曲剛度的一些措施maxlwlwI、 梁的剛度校核（書中無這部分內(nèi)容）梁的剛度校核（書中無這部分內(nèi)容） 對于梁的撓度對于梁的撓度, 其許可值通常用許可的撓度與梁跨長的比值其許可值通