大學(xué)一年級高數(shù)期末考試題及答案

1、學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試卷答案計算題(本題滿分 35 分，共有 5 道小題，每道小題 7 分)，所以，有x2ax b = B 1 x2D x 12=B D x22Dx B D.比較上式兩端的系數(shù)，有1 B D, a=2D, b=B，D所以，得b=11 1 求極限lim O+cosx)/x屮sin3x解:limx )01 c o 2x 423xxk2 2 設(shè)x 0時，f x與是等價無窮小，.f t dt與Axk等價無窮小，求常數(shù)k與A20解:3X由于當(dāng)x 0時，.ft dt與Axk等價無窮小，所以03Xf t dtlim -一 l= 1而xa Axk所以，lim13=1因此，k -1, A-1xT

2、6Akx6x2ax b3 3 如果不定積分2廠dx中不含有對數(shù)函數(shù)，求常數(shù)a與b應(yīng)滿足的條件.x 11 x2解:x2亠ax亠b將-化為部分分式，有x 121 x2x2ax bx 121x2B Cx D廠廠，1 + x2ax b因此不定積分一2dx中不含有對數(shù)函數(shù)的充分必要條件是上式中的待定系數(shù)(x + 1% +x2)x2ax b即 -x 121 x2x 1D B 1x2D x 12十-=-彳 +2f、.21 x(x +1 Y(1 +x2525 5 計算定積分mi n、1,052d所以，min：1,01x -2 dx二1dx0解：j2 x=x21x : 11 _x _22：x_ 3x 3一3日5

3、 5 設(shè)曲線C的極坐標(biāo)方程為r =asin，求曲線C的全長.3解：3日日曲線r =asin 周的定義域為0，即0 _二_ 3二.因此曲線C的全長為333二 _3二srrd” .00O C甘OA日OHa2si n a2si n col d3333兀as i0二.（本題滿分 45 分，共有 5 道小題，每道小題 9 分），6 6 .求岀函數(shù)f x = lim-sin x2n的所有間斷點，并指岀這些間斷點的類型.1 2x解:sin二xsin二xx企1 +(2xfX 121x =-21x二2x1211因此x1與x2是函數(shù)22f x的間斷點.l i m f x = lim0=0,1 -1 xx221li

4、m f x二lim si n二x= T，因此x是函數(shù)1 1 2x_2x二2f x的第一類可去型間斷點.x_2 dx213x dx x - 2 dx二28lim f x二lim sin：x =1，lim f x二lim 0 = 0，因此1 - 1 1 1亠xxx2X r間斷點.匕求極限lim7 b解：7 7 設(shè)是函數(shù)f x =arcsinx在區(qū)間0,b I上使用 LagrangeLagrange（拉格朗日） 中值定理中的中值”f X二arc s ixT在區(qū)間0, b l上應(yīng)用 LagrangeLagrange 中值定理，知存在-三0, b，使得1arcs in b -arcs in0b - 0所

5、以，2=1 -b- iarcs inb丿因此,令t =arcs inb,則有所以，lim17 b38 8 設(shè)f(x)= feyf dy，求f f (x Jdx0 0解:1二在方程f X二ey2dy中，令x =1，得01二0f (1 )= Jey(2_ydy = Jey(2_ydy = 0001丄再在方程f X二ey 2dy兩端對X求導(dǎo)，得x - -e10111因此，f x dx = xf x:一xf x dx二一xf x dx0001 122二xe1dx = e , xe dx =0 0(1 / =e一eJ 2 J,9 9 研究方程ex=ax2a 0在區(qū)間-：，：內(nèi)實根的個數(shù).解:X = 是函

6、數(shù)f X類可去型設(shè)函數(shù)f x二ax2 3 4e1,f x = 2axe公ax2e二ax 2-x e*.令fi=o，得函數(shù)f x的駐點Xi=0, X2=2.由于a 0，所以lim f x二lim ax2e1二：，X)二x .因此，得函數(shù)f x的性態(tài)2e2 若4ae，-1 . 0，即a時，函數(shù)fx=axe-1在-：:,0、0, 2、2,二 內(nèi)各4有一個零點，即方程ex二ax2在-：:，亠內(nèi)有3個實根.22.2 若4ae -1=0，即a時，函數(shù)f x = ax e -1在-, 0、0, :內(nèi)各有一個零42e22 若4ae-1 -0，即a時，函數(shù)f xi=ax e*-1在:0有一個零點，即方程ex=a

7、x4在1.7兒：內(nèi)有 1 1 個實根.1010 設(shè)函數(shù)f x可導(dǎo)，且滿足f：；：-x = x f x ?-1，f 0 = 0.試求函數(shù)f x的極值.解：在方程f - x =x f x -1中令t -x，得t - -t-1T，即f X = -X f I.-X廠1f (x )+ xf ( X )=X在萬程組丿中消去f ( x),得-xf (x )+ f (-X )= -Xlim f x = lim ax2eX ) :：x .2x-1 = a limx-1 = a limexx:ex2x亠alimj1.i 化ex2點，即方程e=ax在- ：，：內(nèi)有 2 2 個實根.2fX二尸1 +x積分，注意f 0

8、 =0，得f x - f 0二.1 dt即01+tt +t5 6 7 812f x2dt=x In 1 x -arctanx01+t225応1Jef0 krctan xdx =，f (1)=002丄2X X由f X21 +x2得函數(shù)f x的駐點Xi=0,X2- -1而f ” Xi戶1 2x - x2k 所以,(1 + x2)f 0 =10,f-1：024三應(yīng)用題與證明題（本題滿分20 分，共有 2 道小題，每道小題 10 分），1111 求曲線y二.x的一條切線，使得該曲線與切線I及直線X= 0和*=2所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積為最小.解:1由y，可知曲線y在t, . t處的切線方程

9、為2磁1 1y-. tx-t，或yx，t2Jt2Jt因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為所以，f 0戶0是函數(shù)f x極小值；f一1=一1ln2是函數(shù)f x極大值.設(shè)切點坐標(biāo)為t, t,所以，理dt-8r2=0得駐點t二4 . 3t2JI士*，舍去t = _由于-33d2Vdt2方程為y164 3t220，因而函數(shù)V在t處達(dá)到極小值，而且也是最小值因此所求切線V31212 設(shè)函數(shù)f x在閉區(qū)間0,11上連續(xù)，在開區(qū)間0,1內(nèi)可導(dǎo)，且解:因為f x在閉區(qū)間0, 1 1上連續(xù), 所以由積分中值定理，知存在ne |0,-丨，使得1風(fēng)21efarctan二一.再由f 1 =0，得兀2efJarctan口 =少=efC)arctan1.4作函數(shù)gx=efxarctanx，則函數(shù)在區(qū)間：，1 ! 0, 11上連續(xù)，在區(qū)間，1內(nèi)可導(dǎo).所以由 RolleRolle中值定理，存在匚三廠，1二0,1，使得g= 0.而g (x )=efW f (x )a ret axe)所以存在匚