垂直平分線與角平分線典型題

1、線段的垂直平分線與角平分線(1)知識(shí)要點(diǎn)詳解1、線段垂直平分線的性質(zhì)(1 )垂直平分線性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè) 端點(diǎn)的距離相等定理的數(shù)學(xué)表示：如圖1,已知直線m與線段AB垂直相交于點(diǎn)D,且AM BD,若點(diǎn)C在直線m上，貝V AC= BC.定理的作用：證明兩條線段相等(2)線段關(guān)于它的垂直平分線對(duì)稱.課堂筆記：2、線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理(1)線段垂直平分線的逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上定理的數(shù)學(xué)表示：如圖2,已知直線m與線段AB垂直相交于點(diǎn)D,且AD= BD若AC= BC則點(diǎn)C在直線m上.課堂筆記:3、關(guān)于三角形三邊垂直平分線的定理(

2、1)關(guān)于三角形三邊垂直平分線的定理:三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等定理的數(shù)學(xué)表示：如圖3,若直線i,j,k分別是ABC三邊AB BC CA的垂直平分線，則直線i, j,k相交于一點(diǎn)0,且OA= OB= OC.定理的作用：證明三角形內(nèi)的線段相等定理的作用：證明一個(gè)點(diǎn)在某線段的垂直平分線上B(2)三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)位置與三角形形狀的關(guān)系:若三角形是銳角三角形，則它三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部；若三角形是直角三角形,則它三邊垂直平分線的交點(diǎn)是其斜邊的中點(diǎn)；若三角形是鈍角三角形，則它三邊垂直平分線的交點(diǎn) 在三角形外部反之，三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形

3、內(nèi)部，則該三角形是銳角三角形；三角 形三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形的邊上，則該三角形是直角三角形；三角形三邊垂直平分線的交 點(diǎn)在三角形外部，則該三角形是鈍角三角形經(jīng)典例題：例 1 如圖 1,在厶 ABC 中，BO 8cm AB 的垂直平分線交 AB 于點(diǎn) D,交邊 AC 于點(diǎn) BCE 的周長(zhǎng)等于18cm 則 AC 的長(zhǎng)等于（ ）A. 6cmB. 8cmC. 10cm D . 12cm課堂筆記：針對(duì)性練習(xí)：已知：1）如圖，AB=AC=14cm,A 的垂直平分線交 AB 于點(diǎn) D,交 AC /；于點(diǎn)長(zhǎng)是 24cm 那么 BC=_2） 如圖，AB=AC=14cm,A 的垂直平分線交 AB 于點(diǎn) D,

4、交 AC 于點(diǎn) E,如果 BC=8cm 那么 EBC的周長(zhǎng)是_3）如圖，AB=AC,AB 勺垂直平分線交 AB 于點(diǎn) D,交 AC 于點(diǎn) E,如果/ A=28 度，那么/ EBC 是_課堂筆記:針對(duì)性練習(xí)：已知：在厶 ABC 中, ON 是 AB 的垂直平分線，OA=OC求證：點(diǎn) O 在 BC 的垂直平分線例 3.在厶 ABC 中, AB=AC AB 的垂直平分線與邊 AC 所在的直線相交所成銳角為 ABC 的底角/ B的大小為_(kāi)。課堂筆記:針對(duì)性練習(xí):1._在厶 ABC 中, AB=AC AB 的垂直平分線與 AC 所在直線相交所得的銳角為 40,則底角 B 的大小為 。例 4、如圖8,已知

5、ADgABC的BC邊上的高，且/C=2ZB,求證：BD= AO CD.AB圖8D證明：在BD上取一點(diǎn)E,使DE=DC,連接AE,貝V AE=AC,課堂筆記:課堂練習(xí)：1. 如圖，ACAD BC=BQ 貝 U（）A. CD 垂直平分 AD B. AB 垂直平分 CDC.CD 平分/ ACBD.以上結(jié)論均不對(duì)2. 如果三角形三條邊的中垂線的交點(diǎn)在三角形的外部，那么，這個(gè)三角形是（）A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.等邊三角形3. 下列命題中正確的命題有（）線段垂直平分線上任一點(diǎn)到線段兩端距離相等；線段上任一點(diǎn)到垂直平分線兩端距離相等；經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)的直線只有一條；點(diǎn)P 在線段 AB

6、 外且 PA=PB,過(guò) P 作直線 MN則 MN 是線段 AB 的垂直平分線；過(guò)線段上任一點(diǎn)可以作這條線段的中垂線.A.1 個(gè)B.2 個(gè) C.3 個(gè) D.4 個(gè)4. ABC 中, AB 的垂直平分線交 AC 于 D,如果 AC=5 cm BC=4cm 那么 DBC 勺周長(zhǎng)是（ ）A.6 cm5. 已知如圖，求證：ACLBC.6. 如圖，在 ABC 中, AB=AC, / A=120, AB 的垂直平分線 MN 分別交 BC AB 于點(diǎn) M N 求證：CM=2BM課后作業(yè)：1.如圖7,在厶ABC中,AC= 23,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)ACE的周長(zhǎng)為50,求BC邊的長(zhǎng).2.已知：

7、如圖所示，/ ACB / ADB 都是直角，且 AC=AD P 是 AB 上任 意一點(diǎn)，求證：CP=DP線段的垂直平分線與角平分線（2）知識(shí)要點(diǎn)詳解4、角平分線的性質(zhì)定理：角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.定理的數(shù)學(xué)表示：如圖4,已知OE是/AOB的平分線，F(xiàn)是OE上一點(diǎn)，若CF丄OA于點(diǎn)C,DF丄OB于點(diǎn)D,貝V CF=DF.定理的作用：證明兩條線段相等；用于幾何作圖問(wèn)題;角是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是角平分線所在的直線 課堂筆記:B.7 cm C.8 cm D.9 cm在厶 ABC 中, ABAC, O 是厶 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，且 OB=OCNB圖7E選CR5、角

8、平分線性質(zhì)定理的逆定理:角平分線性質(zhì)定理的逆定理：在角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線定理的數(shù)學(xué)表示：如圖5，已知點(diǎn)P在/AOB勺內(nèi)部，且PCL0A于C, PD丄0B于D,若PC=PD,則點(diǎn)P在/AOB勺平分線上.定理的作用：用于證明兩個(gè)角相等或證明一條射線是一個(gè)角的角平分線注意角平分線的性質(zhì)定理與逆定理的區(qū)別和聯(lián)系課堂筆記：6、關(guān)于三角形三條角平分線的定理：(1)關(guān)于三角形三條角平分線交點(diǎn)的定理：三角形三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等定理的數(shù)學(xué)表示：如圖6,如果AP BQ CR分別是ABC的內(nèi)角/BACZABCZACB的平分線，那么：AP、BQ CR相交于

9、一點(diǎn)I;若ID、IE、IF分別垂直于BC CA AB于點(diǎn)D E、F，貝V DI=EI=FI.定理的作用：用于證明三角形內(nèi)的線段相等；用于實(shí)際中的幾何作圖問(wèn)題(2)三角形三條角平分線的交點(diǎn)位置與三角形形狀的關(guān)系:三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部j. 1 r 一 7 1 匸一1 t j、i一一l J- i、 一 7 i t r ”7 r r一 1 i r j r * 一 a7、關(guān)于線段的垂直平分線和角平分線的作圖:(1)會(huì)作已知線段的垂直平分線；(2)會(huì)作已知角的角平分線;(3)會(huì)作與線段垂直平分線和角平分線有關(guān)的簡(jiǎn)單綜合問(wèn)題的圖形.課堂筆記:經(jīng)典例題:例 1、 已知：如圖，點(diǎn) B、

10、C 在ZA 的兩邊上，且 AB=AC P 為ZA 內(nèi)一點(diǎn)，PB=PCPELAB PFLAC 垂足分別是 E、F 求證：PE=PF課堂筆記：針對(duì)性練習(xí)：已知：PA、PC 分別是 ABC 外角ZMAC 和ZNCA 平分線，它們P，PDLBM 于 D, PFLBN 于 F,求證：BP 為ZMBN 勺平分線。BFI例 2、如圖10,已知在直角梯形ABCD中,AB/ CD,AB丄BC, E為BC中點(diǎn)，連接AE DE DE平分/ADC求證：AE平分/BAD.課堂筆記:針對(duì)性練習(xí)：如圖所示，AB=AC BD=CD DE 丄 AB 于 E, DF 丄 AC 于 F,求證：DE=DF例 3、如圖11-1，已知在四邊形ABCD中，對(duì)角線BD平分/ABC且ZBAD與ZBCD互補(bǔ)，求證：AD= CD.課堂練習(xí)：1. ABC 中，AB=AC AC 的中垂線交 AB 于 E,AEBC 的周長(zhǎng)為 20cm AB=2BC 則腰長(zhǎng)為2._ 如圖所示，AB/CD, O 為ZA、ZC 的平分線的交點(diǎn)，OEL AC 于E,且 OE=2 貝 U AB 與 CD 之間的距離等于。3已知：如圖，ZB=ZC=90, DM 平分ZA