2019屆高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：第13講變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(含解析)

1、第 13 講變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算考試說明 1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景2.通過函數(shù)圖像直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義13.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=C(C為常數(shù))，y=x,y=,y=x2,y=x3,y=.的導(dǎo)數(shù).4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并了解復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，能求簡單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax+b)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù).考情分析考點(diǎn)考查方向考例考查熱度導(dǎo)數(shù)的定義利用定義求導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算計算導(dǎo)數(shù)、求某點(diǎn)導(dǎo)數(shù) 值等所有導(dǎo)數(shù)試題導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率、方程、根 據(jù)切線求參數(shù)值、導(dǎo)數(shù) 幾何意義的應(yīng)用等幾乎所有導(dǎo)數(shù)試題(見 下面例子)真題再現(xiàn) 2017-2013

2、課標(biāo)全國真題再現(xiàn)1. 2014 全國卷n設(shè)曲線y=ax-l n(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x,則a=()A0 B.1C 2 D.31解析Dy=a-冷1,根據(jù)已知得，當(dāng)x=0 時,y=2，代入解得a=3.12. 2017 全國卷I曲線y=x2+在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為 _答案y=x+l1 1 1。2解析對y=x+求導(dǎo)得y=2x-,當(dāng)x=1 時,y=2X1-1=1,所以曲線y=x +在點(diǎn)(1,2)處的切 線方程為y-2=x-1,即y=x+1.3. 2016 全國卷II若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2 的切線，也是曲線y=ln (x+1)的切線, 則b=.答案1-ln 2解

3、析曲線y=lnx+2 的切線為y= . x+lnX1+1(其中X1為切點(diǎn)橫坐標(biāo)),曲線y=ln (x+1)Jz的切線為 y= L- x+ln (X2+1)-一 (其中X2為切點(diǎn)橫坐標(biāo)).1 _ 1JTt險十1In +1 = In(闿+1)-4. 2016 全國卷川已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x0,則-x0.vx0 時,f(x)=lnx-3x,f(x)= -3,即f(1)=-2,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,-3)處的切線方程為y+3=-2(x-1),整理得y=-2x-1.15. 2015 全國卷I改編已知函數(shù)f(x)=x3+ax+,當(dāng)a為何值時，x軸為曲線y=f(x)的切線.由題可知X1+1=1-l

4、n 2耳+ % +扌二 0,解：設(shè)曲線y=f(x)與x軸相切于點(diǎn)(Xo,O),則f(Xo)=0,f(Xo)=O,即卩瑋+解得Xo=,a=亠.因此,當(dāng)a=-時,x軸為曲線y=f(x)的切線.*r6.2015 全國卷I改編在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Cy=-與直線l:y=kx+a(a0)交于MN兩點(diǎn)當(dāng)k=0 時，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程.FI I解：由題設(shè)可得M2，a),N(-,a)或M-2，a),N(2，a).又y=-,故y=在x=2 處的盤r導(dǎo)數(shù)值為J；,所以曲線C在點(diǎn)(2、J；,a)處的切線方程為y-a=、J；(x-2、；)，即；x-y-a= 0.y=-在x=-2處的導(dǎo)數(shù)值為-，所以曲線

5、C在點(diǎn)(-2，a)處的切線方程為y-a=-(x+2)，即，說x+y+a=0.故所求切線方程為 疋x-y-a=0 和x+y+a=0.7. 2014 全國卷I改編設(shè)函數(shù)f(x)=aexlnx+ .,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為y=e(x-1)+2,求a,b.解：函數(shù)f(x)的定義域為(0,+8),3&tf(x)=aexlnx+ex-ex-1+.ex-1.由題意可得f(1)=2,f(1)=e,故a=1,b=2.8. 2013 全國卷I改編設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切

6、線y=4x+2,求a,b,c,d的值.所以&PAE=.|AB|-|xP|=- W 1,當(dāng)且僅當(dāng)X1=,即X1=1 時，等號成立.解：由已知得f(0)=2,g(0)=2,f(0)=4,g(0)=4.而f(x)=2x+a,g(x) =(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.從而a=4,b=2,c=2,d=2. 2017-2016其他省份類似高考真題1. 2016 山東卷若函數(shù)y=f(x)的圖像上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖像在這兩點(diǎn)處的切線互 相垂直，則稱y=f(x)具有 T 性質(zhì).下列函數(shù)中具有 T 性質(zhì)的是()Ay=sinxB.y=Inxx3Cy=eDy=x解析A 由函數(shù)圖像

7、上兩點(diǎn)處的切線互相垂直，可知函數(shù)在這兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之積為-1,經(jīng)檢驗,選項 A 符合題意.f-lnx,0 x l圖像上點(diǎn)P1,F2處的切線，丨1與12垂直相交于點(diǎn)P,且I1,I2分別與y軸相交于點(diǎn)A B則PAB的面積的取值范圍是( )A (0,1) B.(0,2)C (0,+8)D. (1,+8)解析A 不妨設(shè)P(X1,y1),F2(X2,y2),其中 0劉1炬由11,I2分別是點(diǎn)P1,F2處的切線,且(-.0 x 1,_f(x)=得I1的斜率k1=- .,12的斜率k2=一.又11與12垂直，且 0X1 .,求f(x)的導(dǎo)函數(shù).解：因為(x- .-)=1- -,(e-x)=-e-x,4.201

8、7 北京卷改編已知函數(shù)f(x)=excosx-x,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方 程.解：因為f(x)=excosx-x,所以f(x)=ex(cosx-sinx)-1,f(0)=0.又因為f(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程為y=1.1 15. 2017 山東卷改編已知函數(shù)f(x)=3x3-2ax2,a R 當(dāng)a=2 時,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(3,f(3)處的切線方程.解：由題意f(x)=x2-ax,所以當(dāng)a=2 時,f(3)=0,f(x)=x-2x,所以f(3)=3,因此曲線y=f(x)在點(diǎn)(3,f(3)處的切線方程是y=3(x-3),即 3x-

9、y-9=0.【課前雙基鞏固】知識聚焦1.(1)平均斜率平均(2)x=xo -斜率y-f(Xo)=f(Xo)(x-xo)瞬時速度12.nxn-1cosx-sinxaxlnaf(x) g(x)f(x)g(x)+f(x) g(x)Is所以f(x)=廠：；：iJe-x-(x- -)-e-xyuux對點(diǎn)演練1.0.16 dm/L 解析易知r(V)=,故氣球中空氣的體積從1 L 增加到 2 L 時,氣球半徑r的平均變化率為.0.16(dm/L).52342.1321 元/噸 解析c(x)=-,代入x=98 計算可得.3. n cos( nX+$ )解析y=n cos( nx+$ ).4.2 解析y=xex

10、-1+xex-1 (x-1)=(x+1)ex-1,所以y|x=1=2,即曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線的 斜率為2.5.3 4 解析函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間1,2上的平均變化率為=i.=3.因為f(x)=2x,所以f(x)在x=2 處的導(dǎo)數(shù)為 2X2=4.6.2cos 2x解析方法一：y=(2sinxcosx)=2(sinx)cosx+2sinx(cos22x)=2cosx-2sinx=2cos 2x.方法二:y=cos 2x (2x)=2cos 2x.7.-8解析因為f(x)=2x+3f(2),令x=2,得f(2)=-2,所以f(x)=x-6x,所以f(2)=-8.8. 3(2x+3)6(2x+

11、3)解析f(x)=3x,所以2322f(2x+3)=3(2x+3) ,f(2x+3)=(2x+3) =3(2x+3) (2x+3)=6(2x+3).【課堂考點(diǎn)探究】例 1思路點(diǎn)撥(1)先求導(dǎo)，在導(dǎo)函數(shù)中令x=2 得f的值;(2)先將函數(shù)化簡，再求導(dǎo).1 1(1)B(2)-解析(1)vf(x)=x2+3xf(2)-Inx,Af(x)=2x+3f(2)-,令x=2,得17f=4+3f(2)-,解得f=-.故選 B.suu Kshujdsini啊血. y= , . y=232(2)f(x)=(x+1)(x+2)(x+a)=(x +3x+2)(x+a)=x +(a+3)x +(3a+2)x+2a,2所

12、以f(x)=3x+2(a+3)x+3a+2,22所以f(-1)=3X(-1)+2(a+3)X(-i)+3a+2=2,解得a=3,所以f(x)=3x+12X+11,2所以f(1)=3X1+12X1+11=26.例 2 思路點(diǎn)撥先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0 處的導(dǎo)數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線 的斜率，從而問題解決y=x解析/f (x)=ex sinx,.f(x)=ex(sinx+cosx),f(0)=1,f(0)=0,.函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程為y-0=1X(x-0),即y=x.3例 3思路點(diǎn)撥對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，由f(x)是奇函數(shù)得a的值，令f(xo)=_得切點(diǎn)橫坐標(biāo)

13、A 解析對f(x)=ex+a e-x求導(dǎo)得f(x)=ex-ae-x,又 f (x)是奇函數(shù)，故f(0)=仁a=0,解得31a=1,故f(x)=ex-e-x.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,yo),則f(xo)=-1=,得】=2 或=-一(舍去)，得Xo=l n 2.例 4 思路點(diǎn)撥求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合兩直線垂直的條件，即斜率之積為-1,可得1b-a= +(-a-1)(a+10),運(yùn)用基本不等式即可得到所求最小值.A 解析由題意可得曲線y=x2+2x上存在兩點(diǎn)處的切線互相垂直，由y=x2+2x的導(dǎo)數(shù)為1 1y=2x+2,可得(2a+2)(2b+2)=-1,由a+1b+1,可得a+12=2X.=1,當(dāng)且僅當(dāng)-

14、;=(-a-1),即a=- -, b=-時等號成立，所以b-a的最(2)f(x)=-sin 2 I 2cos24-1=sin 2 cos 2=sinx,所以X,f(x)W=_cosX,于是f=_cosn 1打.變式題(2)26解析小值為 1.強(qiáng)化演練1.B 解析因為點(diǎn)(0,-1)不在曲線y=f(x)上,所以設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,yo).又因為y(j 二 和I Xg=f (x)=1+ In x,所以I)。+1 = (1 + 1 口珀5解得 山二所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),所以f(1)=1+ln 1=1,所以直線I的方程為y=x-1,即x-y-1=0.3. B解析Tf(x)=aInx+x,Af(x)=

15、+1,.f(a)= +仁 2.Tf(a)=alna+a,二曲線y=f(x)在x=a處的切線方程為y-aIna-a=2(x-a),vf(x)=alnx+x的圖像在x=a處的切線過原 點(diǎn)，二-alna-a=-2a,解得a=e.14.(e,e)解析由題意得y=Inx+x=1+Inx,直線 2x-y+1=0 的斜率為 2.設(shè) Rrpn),則 1+ln m=2,解得 m=e,所以n =eln e=e,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(e,e).E5.解析f(x)=ex+xex=ex(x+1),A切線斜率k=f(1)=2e,A曲線y=f(x)在(1,e)處的切1線方程為y-e=2e(x-1),即y=2ex-e.vy=2ex

16、-e 與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)(0,-e),_,0 ,Ay=2ex-e11 e=與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積S=xex.=.岔欄目為教弭專用【備選理由】例 1 考查的是曲線過某點(diǎn)的切線方程問題，此點(diǎn)可能是切點(diǎn)也可能不是切點(diǎn) ： 注意過某點(diǎn)的切線和曲線上某點(diǎn)處的切線的區(qū)別；例 2 考查兩個曲線的切線問題，具有綜合 性.17釦，1配合例 2 使用曲線y=x2過點(diǎn)4,的切線方程為 _答案14x-4y-49=0 或 2x-4y-1=02.C解析(1/ + a + b = 3,13 x l2+ a = k依題意知，y=3x2+a則-廠-二a =- ljb = 3f解得k2,所以 2a+b=1,選C.71I ?解析易知點(diǎn) 4, 一不在曲線y= x2上，所以設(shè)所求切線與曲線相切于點(diǎn)P X。, -.易知y= _x,則y Lu*=_xo.故 J.=_xo,整理得一-8xo+7=O,解得xo=7 或xo=1, 點(diǎn)P7,或1P 1,-,由兩點(diǎn)式得切線方程為14x-4y-49=0 或 2x-4y-1=0.例 2 配合例 4 使用設(shè)函數(shù)y=x2x+2 的圖像為G,函數(shù)y=-x2+a