2019屆高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：第23講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用(含解析)

1、第 23 講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用考試說明能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題考情分析考點(diǎn)考查方向考例考查熱度解三角形利用三角恒等變換解2017 全國卷17,2017與三角恒三角形，在三角形中求全國卷I11,2016 全國等變換三角函數(shù)值卷口13三角函數(shù) 與解三角 形三角函數(shù)性質(zhì)與解三角形的綜合解三角形 的實(shí)際應(yīng) 用實(shí)際應(yīng)用中距離、高 度、角度的計(jì)算真題再現(xiàn) 2017-2013課標(biāo)全國真題再現(xiàn)2016 全國卷 n ABC的內(nèi)角AB, C的對邊分別為a,b,c,若 cosA=,cosC=3,a=1,貝 Ub=_21答案-4S312 -解析TcosA=,c

2、osC=,且AC為三角形的內(nèi)角，二sinA=,sinC=,sin B=si n(A+C=s inAcosC+cos63b21AsinC= .由正弦定理得._=.：,解得b=. 2017-2016其他省份類似高考真題1. 2015 湖北卷如圖 3-23-1, 一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北 30的方向上，行駛 600 m 后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北 75。的方向上，仰角為 30 ,則此山的高度CD=_m答案100 .BC_ AB_解析依題意，在厶ABC中，AB：600, /BAC=O , /ACB=5-30=45.由正弦定理得：.=，即8f600山

3、甫=血4苧,所以BC=3OOV2.在厶BCD中 , /CBD=O,CD=BCn /CBD=0OT2 tan 30=100 葦62. 2014 四川卷如圖 3-23-2 所示，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸A 240( -1)mB.180(.-1)mC 120( - 1)mD.30( -+1)m解析C 由題意可知，AC=._.=120./BAC=5-30=45 , /ABC=80-45-30=105,所以 sin /ABC=in105=sin(60 +45)=sin空60 cos 45+cos 60 sin 45 =-.4CBC在厶ABC中,由正弦定理得盤恕Wk,24炳BC= =1=120(

4、-1).故選 C.【課前雙基鞏固】知識聚焦1. 水平視線上方下方2. 正北方向 3.水平角B, C的俯角分別為 75 ,30此時(shí)氣球的高度是60 m,則河流的寬度BC等于于是4.水平面水平長度對點(diǎn)演練ABBC5訂JC1.5 衛(wèi) 解析由題可知/ACB=O ,由正弦定理得血 血勺譏,即巔勺昕，得BCQ24CIC3片書2.2 .-或.-解析如圖所示,應(yīng)有兩種情況.由正弦定理,得二二.；.=忙，二sinA=_ ,二 A=60 或A=120.當(dāng)A=60 時(shí)，AB=2 .-；當(dāng)A=120,AB=-.解析由題意可得,在厶ABC中 ,AB=3.5 m,AC= .4 m,BC=2.8 m,且a+/ACBn.由余

5、弦定理可得AB=AC+BC2AC- BC-cos /ACB即 3.52=1.42+2.82-2X1.4X2.8Xcos(n-a),解得 cosStwfcinBCCDCDsinSDC詡4-解析在厶BCD中 , /CBDn-a-3.由正弦定理得 =.-,所以BC=._=-.rtanfcinj?在 Rt ABC中 ,AB=Btan /ACB= -.5.130解析60+70=130.6.南偏西 80解析由條件及圖可知，/A=ZB=40 ,又/BCD=0 ,所以/CBD=0 ,所以/DBA=0因此燈塔A在燈塔B南偏西 80的方向.7. 200 解析根據(jù)方位角的概念可得（ （14） ）8. 20- m解析

6、由已知，四邊形CBM為正方形，vCB：20 m,二所以 tanIa=沖=一a=.,所以 sin/ADM30,二 AM=DMi30翔(:BM20 m.又在 RtAMD中 ,DM20 m,m.【課堂考點(diǎn)探究】例 1 思路點(diǎn)撥先解ACD得出AD再解 RtBCD得出BD最后在ABD中 ,由余弦定理求AB.解：連接AB.由題意可知CD=O, /ADC=05 , /BDC=5 , /BCD=0 , /ACD=O /CAD45 , /ADB=0.血40在厶ACD中,由正弦定理得.一一=泊讓:，AD=20.在 Rt BCD中 ,/ /BDC45 , /BCD=O,BD= CD=4O.在厶ABD中,由余弦定理得

7、 AB=20 ,即A,B兩處島嶼的距離為15vl飾+(時(shí)1滬評2_唧變式題 -解析在厶ABC中 ,cos /ABC= U二一；所以 sin /ABC=，所以在ABC例 2 思路點(diǎn)撥(1)在厶ABC中使用余弦定理列方程求解A C的距離;(2)在厶AHC中使用正弦定理或者解直角三角形求AC.解:(1)設(shè)BC=x米,由條件可知AC=x+X340=x+40(米).在厶ABC中,由余弦定理，可得BC=AB+A2AB AC-cos /BACAD=ABsin /ABC=VT9(m).1即X2=1002+(40+X)2-2X100X(40+x)X -,解得x=380.所以AC=380+40=420(米),故A

8、,C兩地間的距離為 420 米.在厶ACF中，ACH20, /HAC=0 , /AHC=0-30=60,ACHC420SC則由正弦定理,可得.,即例 3 思路點(diǎn)撥(1)在直角三角形BCF中可求得BC的值，在厶ABC中由正弦定理可求得AB的值，結(jié)合時(shí) 間可求出航行速度;(2)在厶BCD中由余弦定理求得CD再在BCD中 ,由正弦定理可得/CDB勺正弦值,進(jìn)而 確定D方向.KFC解:(1)在厶BCF中 ,由 tan /FBC=,得BC=_：=2,BCAB2AS在厶ABC中,由正弦定理得 報(bào)曲=2:TJ,即工WM卅，所以AB=2( -+1),故船的航行速度是每小時(shí)6C -+1)千米.(2)在厶BCD中

9、 ,BD= -+1 ,BC=2, /CBD=0 ,則由余弦定理得CD=E仞戲盤2邊在厶BCD中,由正弦定理得 農(nóng)陰上吃.i：處，即疥涼Ng,所以 sin /CDB=,所以，山頂位于D處南偏東 45的方向.d甌BAC100anl5s變式題 C 解析在厶ABC中,由正弦定理可知BC=*翕說=宅；掃 Y；：.；=50(.，-. )(m).在厶BC呼,由正弦定理可知 sin /BDC=二 =-1.由題圖知 cos0=sin /ADE=in /BDC-1,故選 C.420； ；所以HC= 1 =140 .故這種儀器的垂直彈射高度為變式題 6340解析/ AB=30 km, /C=75-15ABSC伽甫；

10、:i応_=出農(nóng)，二BC=gU ,.C 到AB所在直線的距離140.一米.=60, 在厶ABC中由正弦定理得h=Bin 75=20$sin 15 sin 75=10 sin(15-8.66)km=6340 m.本欄目為撒理專用【備選理由】解三角形的應(yīng)用往往不局限在使用正、余弦定理解三角形，通常還會(huì)與其他知識相互綜合,達(dá)到考查考生綜合運(yùn)用知識解決實(shí)際問題的能力，下面各例均為此而選，可在適當(dāng)考點(diǎn)使用，也可作為拓展使用岡 1 配合例 1 使用如圖,游客從某旅游區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A處沿直線步行 到C處,另一種是從A處乘纜車沿直線到B處，然后從B處沿直線步行到C處.現(xiàn)有甲、乙兩位游

11、客從A處 下山，甲沿AC勻速步行，速度為 50 m/min，在甲出發(fā) 2 min 后，乙從A處乘纜車到B處，在B處停留 1 min 后，再從B處勻速步行到C處假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130 m/min，山路AC長 1260 m，經(jīng)測量，cos123A=.，cosC=.(1) 求索道AB的長(2) 問乙出發(fā)多長時(shí)間后，乙在纜車上與甲的距離最短？123S4- 解:(1)在厶ABC中，/ cosA三，cosC=，/.sinA=:，sinC=，從而 sin B=sinn-(A+C=sin(A+C=sinAcosC+cosAsinC=x. + x_ =.ABACM12604 由正弦定理得玄得AB=一

12、sin C=.X一=1040,故索道AB的長為 1040 m.假設(shè)乙出發(fā)tmin 后，甲、乙兩游客的距離為d，此時(shí)甲行走了 (100+50t)m，乙距離A處 130tm.12由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2X130tX(100+50t)X_.=200(3712-70t+50)，1040T0tw， 0tw8,故當(dāng)t=_時(shí)，即乙出發(fā)min 后，甲、乙兩游客的距離最短S.2拓展使用如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為 60的公路ABAC根據(jù)規(guī)劃，擬在兩條公路之間的區(qū)域 內(nèi)新建一座工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉庫M N異于村莊A),要求PM=PN=MN單位：千米).如何設(shè)計(jì)，使得

13、工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn))?解：連接AE2,由題意知AB=10，AA=30X. .=10, AA=AB.20MViM.=朮側(cè)誨.4/3因?yàn)镸N込所以AM=sin(120 -0).在厶APM中 ,cos /AMPcos(60 +0),由余弦定理得AP=AM+MP-2AM- MP-cos/164v3AMP=sin2(120-0)+4-2X2X: sin(120-0)cos(60+0)=. sin2(0+60) - :sin(0+60)cos(883820200+60)+4=.1-cos(20+120)-: sin(20+120)+4=-一 - sin(20+120)+

14、cos(20+120) +.=.If-.sin(20+150),0 (0,120 ).當(dāng)且僅當(dāng) 20+150=270 ,即0=60時(shí)，AP取得最大值 12,即AP取得最大值 2*3 此時(shí)AM=AN=米,AP=2 -千米.S.3配合例 1 使用如圖，甲船以每小時(shí) 30.海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航 行當(dāng)甲船位于A處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西 105方向的B1處，此時(shí)兩船相距 20 海里，當(dāng)甲船航行 20 分 鐘到達(dá)A處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120方向的E2處，此時(shí)兩船相距 10海里問：乙船每小時(shí)航行多少海里？AM B解：設(shè)/AMN=,則在AMN中 ,由正弦定理得又/AAB

15、2=18O-120=60, AAB是等邊三角形，AiB=AA=10.由已知得，AB=20,/BAB2=105-60=45,在厶AB2B中，由余弦定理得B%略A瞬-2AiBiA1B2cos 45=2O2+(1oQ)2-2X20 X 10 芒X2 =200,.B啟=10 空.10v2因此，乙船的航行速度為 一.X60=30.(海里/小時(shí)).S.4配合例 3 使用2014 浙江卷如圖,某人在垂直于水平地面ABC勺墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P,需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角0的大小若AB=5 m,AC=25 m,ZBCM3

16、0 ,則 tan0的最大值是 _(仰角0為直線AP與平面ABC所成角)解析由勾股定理得BC=20 m 如圖 3-23-20,過P點(diǎn)作PDL BC于D,連接AD則由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角0=P0/PADtan0=丄設(shè)PD=x則DCx,BD=0V?x,在 Rt ABD故 tan0的最大值為S.5拓展使用某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西 30的方向且與該港口相距20 n mile 的A處，并以 30 n mile/h的航行速度向正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以vn mile/h 的航行速度勻速行駛，經(jīng)過th 后與輪船相遇(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少中，AD所以 tan0=7,假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30 n mile/h,試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由.解:(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為sn mile,則即小艇以 30J n mile/h 的速度航行，