第十一章能量原理new

1、第十一章能量原理能量原理(Principle of Energy)11.1 概 述11.2 桿件變形能的計(jì)算11.3 變形能的普遍表達(dá)式11.4 互等定理11.5 卡氏(Castigliano )定理 11.6 虛功原理11.7 莫爾積分法11.8 靜不定結(jié)構(gòu)概述 固體力學(xué)中，把與功和能有關(guān)的一些定理統(tǒng)稱(chēng)固體力學(xué)中，把與功和能有關(guān)的一些定理統(tǒng)稱(chēng)為為能量原理能量原理。 對(duì)構(gòu)件的變形計(jì)算及靜不定結(jié)構(gòu)的求解，能量對(duì)構(gòu)件的變形計(jì)算及靜不定結(jié)構(gòu)的求解，能量原理都有重要作用。近年來(lái)計(jì)算力學(xué)的興起，使能原理都有重要作用。近年來(lái)計(jì)算力學(xué)的興起，使能量原理更受重視。量原理更受重視。 變形能變形能固體在變形過(guò)程中

2、，固體在外力作固體在變形過(guò)程中，固體在外力作用下變形，引起力作用點(diǎn)沿力作用方向位移，外力用下變形，引起力作用點(diǎn)沿力作用方向位移，外力因此而作功；同時(shí)，彈性固體因變形而具備了作功因此而作功；同時(shí)，彈性固體因變形而具備了作功的能力，表明儲(chǔ)存了變形能。的能力，表明儲(chǔ)存了變形能。 在下列條件下v加載緩慢均勻（保證是靜態(tài)）v沒(méi)有其它能量的損失（如動(dòng)能、熱能等）則有WU 即認(rèn)為外力對(duì)系統(tǒng)所作的功全部轉(zhuǎn)化為能量?jī)?chǔ)存起來(lái)。WU釋放能量對(duì)外界作功外力對(duì)系統(tǒng)作功在彈性范圍內(nèi)此過(guò)程是可逆的，即11.2 桿件變形能的計(jì)算桿件變形能的計(jì)算 PllEAlNEANlNWU2212只要載荷不卸去，則外力功以能量的形式儲(chǔ)存，其

3、變形能為 軸向拉伸或壓縮 靜載lPW21外力功 lxEAdxxNUxEAdxxNdU2222，2221212EEdVdUu對(duì)變化的內(nèi)力或抗拉剛度情況，則有變形比能（單位體積的變形能） 純剪切 考慮右圖示單元體（厚度為1），單元體左邊不動(dòng)，右邊在剪應(yīng)力作用下的功為dVdxdyWU21121dxdyGu2122其變形比能為mml右圖示受扭圓軸，其變形為PGIml根據(jù)理論力學(xué)，外力偶所作的功為UGIlmmWP2221 lxGIdxxTUP22對(duì)于參數(shù)變化的情況有 扭 轉(zhuǎn) mmmmmmml 純彎曲 EIdxxMdU22 lEIdxxMU22PWU21xdxl1P2P軸向拉伸、扭轉(zhuǎn)和彎曲時(shí)的外力功（或變

4、形能）可統(tǒng)一寫(xiě)成廣義力和廣義位移的形式dxd xM xM橫力彎曲時(shí)變形能例題 軸線(xiàn)為半圓形的平面曲桿如圖所示，作用于A端的集中力P垂直于軸線(xiàn)所在的平面。試求力P作用點(diǎn)的垂直位移。 PAdmnRnmdsinPRM cos1 PRTPAdmnRnmd解：選擇圖示坐標(biāo)系，在mn截面上的內(nèi)力為P32320P23202324342cos12sinEIRPEIRPGIdRPEIdRPU曲桿的變形能為APW21P323243421EIRPEIRPPA，得由WU 假設(shè)沿力P方向的位移為A，則P所作的功為P33232EIPREIPRA從而有重要結(jié)論橫力彎曲的彎曲變形能和剪切變形能 llGAdxxkQUEIdxx

5、MU2,22221 AzdAbSIAk222其中 5644114422225222hhAzbdyyhbhdAbSIAk256kk，薄壁圓管圓形以矩形截面為例另外例題 以圖示簡(jiǎn)支梁為例，比較彎曲和剪切兩種變形能。設(shè)梁的截面為矩形。 2l2lxP xPxMPxQ2,2EIlPdxxPEIUl962212322202GAlkPdxPGAkUl8222222012l2lxP解：由梁的內(nèi)力方程及內(nèi)力圖的對(duì)稱(chēng)性，得22112:GAlEIkUU其比值為2211512:lhUU3 . 0取0312. 0:101125. 0:512121UUlhUUlh時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)可見(jiàn)，只有對(duì)短梁才應(yīng)考慮剪切變形能，對(duì)長(zhǎng)梁可忽

6、略不計(jì)。 56k122hAI12EG對(duì)矩形截面梁11.3 變形能的普遍表達(dá)式變形能的普遍表達(dá)式推導(dǎo)變形能普遍式的假設(shè)與前提v無(wú)剛性位移v局限于小變形，即廣義位移與廣義力成正比v彈性體在變形過(guò)程中儲(chǔ)存的變形能，只決定于外力和位移的最終值，與加力次序無(wú)關(guān) iiP3P1232P1P載，即們假定各載荷按比例加響變形能，我，又由于加載次序不影慢增大到終值緩都是從每個(gè)力有個(gè)廣義力設(shè)系統(tǒng)中iiiPPniPn0, 1iPiiPP緩慢緩慢是，也就其中0:10:。對(duì)應(yīng)的位移為相應(yīng)地，與iiP從理論力學(xué)中知，這屬于變力作功的問(wèn)題。diiiiiiWPdPd 當(dāng)載荷Pi為任一中間值 時(shí)，與此對(duì)應(yīng)的位移增量為 ，這時(shí) 為

7、常力作功，其功為iPddiiiP從而在整個(gè)加載過(guò)程中，外力對(duì)系統(tǒng)所作的功為 iiiiiiiiiPdPdPW211010克拉貝依?。–lapeyron）原理 線(xiàn)彈性體的變形能等于每一外力與其相應(yīng)位移乘積的二分之一的總和。廣義力廣義位移N(x)lT(x)M(x)Q(x)剪力引起的變形能很小往往忽略不計(jì)。)(xM)(xT)(xT)(xN)(xNdx對(duì)于廣義變形問(wèn)題（如右圖） llllGAdxxkQGIdxxTEIdxxMEAdxxNU22222P222其變形能為拉伸彎曲扭轉(zhuǎn)剪切11.4 互等定理互等定理 4321PPPP、第二組：、第一組：同時(shí)我們?nèi)藶榈匾?guī)定如下加載次序22112121PP1P2P2

8、1加第一組載荷時(shí)，其變形能為為推導(dǎo)互等定理，我們選取兩組載荷先加第一組載荷，后加第二組載荷于彈性體上1P2P33P224P411然后加第二組載荷，這時(shí)由于第二組載荷的影響，會(huì)在第一組載荷的相應(yīng)方向產(chǎn)生附加位移21和第二組載荷自身所作的功為44332121PP而第一組載荷在由于第二組載荷引起的附加位移上所作的功，是常力作功，即2211PP從而，本加載次序所作的總功為221144332211121212121PPPPPPU44332121PP33P4P4加第二組時(shí)先加第二組載荷，后加一第組載荷于彈性體上443322112121PPPP1P2P3P24P13434443322114433221212

9、121PPPPPPU再加第一組時(shí)本加載次序所作總功為由于變形能只決定于力和位移的最終值，而與加力次序無(wú)關(guān)，故 21UU （功）互等定理 第一組力在第二組力引起的位移上所作的功，等于第二組力在第一組力引起的位移上所作的功。44332211PPPP即若第一組力只有P1，第二組力只有P3，則功互等定理化為3311PP31位移互等定理P1作用點(diǎn)沿P1方向因P3而引起的位移，等于P3作用點(diǎn)沿P3方向因P1而引起的位移。 進(jìn)一步，若有P1=P3，則上式化為位移互等定理11.5 卡氏卡氏(Castigliano )定理定理 ，系統(tǒng)變形能為的廣義位移為，各力沿其作用線(xiàn)方向有個(gè)廣義力設(shè)系統(tǒng)中niniPnii,

10、1, 1iiiPW211P2PnP12n設(shè)想載荷Pi有一微小增量Pi，而其它力不變。則niiiiniiiPPPPPPPPPPP,111111nniiiiiiniiiP,111111111iiiiiiiiiPPPPPPU21212211iiiPU21初始時(shí)系統(tǒng)變形能為由于Pi有一微小增量后系統(tǒng)變形能的增量為iiiPU忽略高階微量后得把原有諸力看作是第一組力，而把Pi看作是第二組力，根據(jù)互等定理， iiiiPPPP2211iiPU即iiPU或極限情況下，Pi趨近于零，上式左端是變形能U對(duì)Pi的偏導(dǎo)數(shù)，即 iiPU卡氏（Castigliano）定理變形能U對(duì)任一載荷Pi的偏導(dǎo)數(shù)，等于Pi作用點(diǎn)沿Pi

11、作用方向的位移i 。附加力法附加力法BPAxmn例題 軸線(xiàn)為四分之一圓周的平面曲桿，EI=常數(shù)。曲桿A端固定，自由端B上作用垂直集中力P。求B點(diǎn)的垂直和水平位移。 附加力法附加力法BPAxmniiPUi是與Pi對(duì)應(yīng)的廣義位移，從本題而言，求B點(diǎn)的垂直位移是可以直接利用卡氏定理的，但要求水平位移時(shí)卻不能直接進(jìn)行。按照卡氏定理，BPAxmncos,cosRPMPRM320d1coscosd4ysUPMMsEIPPRPRRREIEIy的值為正，說(shuō)明 y的方向與力P的方向一致。為了求得B點(diǎn)的水平位移，假定在B點(diǎn)沿水平方向作用一力Pa。sin1sin1cosRPMRPPRMaa對(duì)Pa使用卡氏定理，然后P

12、a令等于零就可以得到B點(diǎn)的水平位移。aPBPAxmn2030d1cos1sind2axsaPMMsEIPPRPRRREIEI11.6 虛功原理虛功原理(virtual work principle) 若因其他原因，例如另外的外力或溫度變化等，又引起桿件邊形，則用虛線(xiàn)表示桿件位移到的位置?？砂堰@種位移稱(chēng)為虛位移。“虛”位移只表示是其他原因造成的位移，以區(qū)別于桿件原因有外力引起的位移。 約束所允許的位移稱(chēng)為虛位移。 在虛位移中，桿件的原有外力和內(nèi)力保持不變，且始終是平衡的。虛位移應(yīng)滿(mǎn)足邊界條件和連續(xù)性條件，并符合小變形要求。 變形體虛功原理 外力所作的虛功等于內(nèi)力在相應(yīng)虛位移上所作虛功。 質(zhì)點(diǎn)系的

13、虛位移原理 平衡力系在剛性虛位移上作功的總和等于零。x)(xv 圖示梁在外力作用下處于平衡(實(shí)線(xiàn))，假定給梁一個(gè)由某種原因引起的虛位移(虛線(xiàn))。則其虛功有兩種計(jì)算方法。v 整個(gè)構(gòu)件得全部力的虛功得到外力虛功設(shè)想把桿件分成無(wú)窮多微段 ，微段上除外力外，兩端橫截面上還有軸力、彎矩、剪力等內(nèi)力。當(dāng)它由平衡位置經(jīng)虛位移移到達(dá)由虛線(xiàn)表示的位置時(shí)，微段上的內(nèi)、外力都作了虛功。把所有微段的內(nèi)、外虛功逐段相加（積分），便可求出整個(gè)桿件的外力和內(nèi)力的總虛功。因?yàn)樘撐灰剖沁B續(xù)的，兩個(gè)相鄰微段的公共截面的位移和轉(zhuǎn)角是相同的，但相鄰的微段公共截面上的內(nèi)力卻是大小相等、方向相反的，故它們所作的虛功相互抵消。逐段相加之后

14、，就只剩下外力在虛位移中所作的虛功。 微段上的內(nèi)力與虛位移qQNM)(*xv*d() l*d*d1 12233( )dlWPvP vPvq x vx ，xqPPP321 ，xvvvv321設(shè)微段上廣義外力和廣義虛位移分別為則廣義外力的虛功（這里是常力作功）為v 各微段的外力虛功和得到內(nèi)力虛功 在上述桿件中，微段以外的其余部分的變形，使所研究的微段得到剛性虛位移；此外，所研究的微段在虛位移中還發(fā)生虛變形。作用于微段上的力系（包括外力和內(nèi)力）是一個(gè)平衡力系，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的虛位移原理，這一平衡力系在剛性虛位移上作功的總和等于零，因而只剩下在虛變形中所作的功。 dd()ddWNlMQd()ddlllWN

15、lMQ外力在虛變形中所作的功積分上式得總虛功為1 12233( )dd()ddllllPvP vPvq x vxNlMQ在虛位移中，外力所作的虛功等于內(nèi)力在相應(yīng)虛變形上所作虛功。這就是虛功原理。 兩種方式求得的總虛功表達(dá)式應(yīng)該相等，即 lllllTdQdMdlNdmmdxvxqvPvPvP2211332211在導(dǎo)出虛功原理時(shí)，并未使用應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，故虛功原理與材料的性能無(wú)關(guān)，它可用于線(xiàn)彈性材料，也可用于非線(xiàn)性彈性材料。更一般地，有如下形式的虛功原理11.7 莫爾積分法莫爾積分法(Mohr Integral Method)問(wèn)題：設(shè)在外力作用下，求剛架A點(diǎn)沿某一任意方向aa的位移。a1AaAAaa

16、把剛架在原有外力作用下的位移作為虛位移，加于單位力作用下的剛架上。 xN xM xQ設(shè)想在同一剛架的A點(diǎn)上，沿方向作用一單位力1，它與支座反力組成平衡力系。這時(shí)剛架橫截面上的軸力、彎矩和剪力分別為1( )d()( )d()( )d()N xlM xQ x原有外力引起的變形，現(xiàn)在已作為虛變形 虛加的外力虛加外力引起的內(nèi)力視為真實(shí)力虛功原理的表達(dá)式為( )d()( )d()( )d()N xlM xQ xMohr積分（單位力法）( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )ddddPN x N xM x M xQ x Q xT x T xxxkxxEAEIGAGI注意：v 本式僅適用于線(xiàn)彈性

17、情況v上式中帶“-”的內(nèi)力為與虛加單位力相關(guān)的內(nèi)力，而不帶“-”的內(nèi)力是真實(shí)載荷引起的內(nèi)力。具體地，如果構(gòu)件存在四種基本變形，則有例題 圖示剛架的自由端A作用集中載荷P。剛架各段的抗彎剛度已于圖中標(biāo)出。若不計(jì)軸力和剪力對(duì)位移的影響，試計(jì)算A點(diǎn)的垂直位移及截面B的轉(zhuǎn)角。 2EIPBC1EIlaA2EIPBC1EIlaA解：顯然要求的問(wèn)題都可以用卡氏定理求解，這里我們都用Mohr積分方法來(lái)求解。 為此，選擇右下圖所示坐標(biāo)。相應(yīng)的內(nèi)力方程為( )M xPx ( )M yPa axBylAPCq求A截面的垂直位移 在相應(yīng)位置和方向虛加(與待求位移相應(yīng)的)單位力1。與之對(duì)應(yīng)的彎矩為( )M xx ( )

18、M ya axByA1C使用莫爾定理00120013212( )( )d( )( )d1()()d()()d3alyalM x M xxM y M yyEIEIPxxxPaayEIPaPa lEIEIq求B截面的轉(zhuǎn)角 在相應(yīng)位置和方向虛加單位集中力偶1。與之對(duì)應(yīng)的彎矩為1( )0Mx 1( )1My 0221() 1dlBPalPayEIEI xByAC1于是單位力的選擇欲求變形單位力欲求變形單位力A處沿圖示方向的線(xiàn)位移A、B兩截面的相對(duì)線(xiàn)位移沿A、B連線(xiàn)加相向的單位力A處沿圖示方向的角位移A、B兩截面的相對(duì)角位移在A、B處分別加相反的單位力偶AAA1ABBA1AAB11AB11例題 圖示活塞環(huán)。試計(jì)算在力作用下切口的張開(kāi)量。 ABPPOR解：活塞環(huán)橫截面上的內(nèi)力，一般有軸力、剪力和彎矩。由于軸力和剪力對(duì)變形的影響很小，可以不計(jì)，所以只考慮彎矩的影響?；钊h(huán)橫截面高度遠(yuǎn)小于環(huán)的軸線(xiàn)的半徑，可用直梁公式計(jì)算變形。 APdOd( )(1cos )MPR ABPPOR彎矩方程為又由于活塞環(huán)的對(duì)稱(chēng)性，只計(jì)算一半就可以了。1OA為了計(jì)算切口的張開(kāi)量，應(yīng)在A、B兩截面上沿力的方向作用一對(duì)方向相反的單位力。此時(shí) cos1RM30( )( ) d32ABMMRPREIEI由Mohr定理得11.8 靜不定結(jié)構(gòu)概述靜不定結(jié)構(gòu)概述 靜不定結(jié)構(gòu)(statically indeterm