函數(shù)的最大值最小值問題

1、§4 函數(shù)的最大值最小值問題最值與極值的重要區(qū)別： 極值是一點(diǎn)局部的形態(tài)； 最值是某區(qū)間整體的形態(tài)。先討論必要性： 是在內(nèi)的最大(小)值，必是在的極大(小)值點(diǎn)，是的穩(wěn)定點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)在的可能的最值點(diǎn)： 不可導(dǎo)點(diǎn)區(qū)間端點(diǎn)下面就兩種常見的情形給出判別法，以最大值為例說明1閉區(qū)間情形設(shè)在連續(xù)，這時(shí)在必有最大值則將所有穩(wěn)定點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較（如果可能的話），最大者即是最大值2開區(qū)間情形設(shè)在可導(dǎo)，且在有最大值若在內(nèi)有唯一的穩(wěn)定點(diǎn)，則是最大值點(diǎn)注意強(qiáng)調(diào)最值的存在性例1 一塊邊長為a的正方形，在四個(gè)角上截去同樣大小的正方形，做成無蓋的盒，問截去多大的小方塊能使盒的容積最大

2、？解 設(shè)為截去的小方塊的邊長，則盒的容積為 。顯然，在可導(dǎo)，且令得或。因此在中有唯一的穩(wěn)定點(diǎn)。由實(shí)際問題本身知在中必有最大值，故知最大值為。即截去的小的方塊邊長為時(shí)，盒的容積最大。例2求函數(shù)在的最大值和最小值解 ，因此 ，故的穩(wěn)定點(diǎn)為，不可導(dǎo)為。比較所有可能的最值點(diǎn)的函數(shù)值：即得最大值為，最小值為。例3 在正午時(shí)，甲船恰在乙船正南處，以速度向正東開出；乙船也正以速度向正南開去(圖515)已知兩船航向不變，試證：下午二時(shí)，兩船相距最近證明 設(shè)小時(shí)后，兩船相距公里，則顯然有，求的最小值等價(jià)于求的最小值。令的唯一穩(wěn)定點(diǎn)。比較和點(diǎn)的值：，故時(shí)函數(shù)達(dá)到最小值，即下午二時(shí)，兩船相距最近例4做一個(gè)圓柱形無蓋

3、鐵桶，容積一定，設(shè)為問鐵桶的底半徑與高的比例應(yīng)為多少，才能最省鐵皮?解設(shè)鐵桶底半徑為，高為(見圖514)，則所需鐵皮面積為利用巳知條件，得則面積可化為的函數(shù)于是問題化為求函數(shù)在內(nèi)的最小值問題。令，得到唯一的穩(wěn)定點(diǎn)，又由實(shí)際問題本身知在必有最小值，從而唯一的穩(wěn)定點(diǎn)必是最小值點(diǎn)，此時(shí)有，即當(dāng)?shù)装霃脚c高相等，均為時(shí)，最省鐵皮。例4 根據(jù)物理學(xué)的費(fèi)馬原理，光線沿著所需時(shí)間為最少的路線傳播今有,兩種介質(zhì)，以為分界線光在介質(zhì)I與介質(zhì)中的傳播速度分別為和。問：光線由介質(zhì)I中的點(diǎn)A到介質(zhì)中的點(diǎn)B，應(yīng)走哪一條路線?解 取分界線L所在直線為Ox軸過A，B作L的垂線，設(shè)垂足為，設(shè)，并選定為坐標(biāo)原點(diǎn)（圖5-16）。光

4、線在同一介質(zhì)中的傳播途徑應(yīng)當(dāng)是直線。設(shè)想光線從點(diǎn)A到點(diǎn)B所走的路線通過L上的點(diǎn)M，M的坐標(biāo)為x。于是問題化為，當(dāng)x取何值時(shí)，折線AMB才是光線所有的路線。光線從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B所需的時(shí)間為根據(jù)費(fèi)馬原理，我們要求的是上述函數(shù)的最小值,因?yàn)楹銥檎?，所以在上?yán)格單調(diào)上升，從而方程至多有一個(gè)根，即函數(shù)至多有一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)又因?yàn)槭堑倪B續(xù)函數(shù)，且，所以方程的根位于區(qū)間內(nèi)，記作這就是函數(shù)的唯一穩(wěn)定點(diǎn)已知恒為正，因此，于是由極值第二充分條件，為函數(shù)的極小值又，因而連續(xù)函數(shù)的最小值必在內(nèi)部達(dá)到于是可以斷定，唯一的極小值就是最小值這表明，當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)時(shí)，折線就是AMB光線所走的路線上面的時(shí)淪只告訴我們：，并不知道的具體數(shù)值求出的值比較困難，不過實(shí)際上并不需要，我們可以從幾何上作如下說明：所滿足的方程可寫為 即 或 這就是說，