函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)

1、函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)設(shè)計(jì)南京師大附中陶維林一、內(nèi)容和內(nèi)容解析 函數(shù)的單調(diào)性是研究當(dāng)自變量x不斷增大時(shí)，它的函數(shù)y增大還是減小的性質(zhì)如函數(shù)單調(diào)增表現(xiàn)為“隨著x增大，y也增大”這一特征與函數(shù)的奇偶性不同，函數(shù)的奇偶性是研究x成為相反數(shù)時(shí)，y是否也成為相反數(shù)，即函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì) 函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極值類(lèi)似，是函數(shù)的局部性質(zhì)，在整個(gè)定義域上不一定具有這與函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的最大值、最小值不同，它們是函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì) 函數(shù)單調(diào)性的研究方法也具有典型意義，體現(xiàn)了對(duì)函數(shù)研究的一般方法這就是，加強(qiáng)“數(shù)”與“形”的結(jié)合，由直觀到抽象；由特殊到一般首先借助對(duì)函數(shù)圖象的觀察、分析

2、、歸納，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的增、減變化的直觀特征，進(jìn)一步量化，發(fā)現(xiàn)增、減變化數(shù)字特征，從而進(jìn)一步用數(shù)學(xué)符號(hào)刻畫(huà) 函數(shù)單調(diào)性的概念是研究具體函數(shù)單調(diào)性的依據(jù)，在研究函數(shù)的值域、定義域、最大值、最小值等性質(zhì)中有重要應(yīng)用（內(nèi)部）；在解不等式、證明不等式、數(shù)列的性質(zhì)等數(shù)學(xué)的其他內(nèi)容的研究中也有重要的應(yīng)用（外部）可見(jiàn)，不論在函數(shù)內(nèi)部還是在外部，函數(shù)的單調(diào)性都有重要應(yīng)用，因而在數(shù)學(xué)中具有核心地位 教學(xué)的重點(diǎn)是，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)在區(qū)間（a，b）上“隨著x增大，y也增大（或減?。边@一特征進(jìn)行抽象的符號(hào)描述：在區(qū)間（a，b）上任意取x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，有 f（x2）f（x1）（或f（x2）f（x

3、1），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)增（或單調(diào)減） 二、目標(biāo)和目標(biāo)解析 本節(jié)課要求學(xué)生理解函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)的意義，掌握用函數(shù)單調(diào)性的定義證明簡(jiǎn)單函數(shù)在某區(qū)間上具有某種單調(diào)性的方法（步驟）1能夠以具體的例子說(shuō)明某函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)； 2能夠舉例，并通過(guò)繪制圖形說(shuō)明函數(shù)在定義域的子集（區(qū)間）上具有單調(diào)性，而在整個(gè)定義域上未必具有單調(diào)性，說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)； 3對(duì)于一個(gè)具體的函數(shù)，能夠用單調(diào)性的定義，證明它是增函數(shù)還是減函數(shù)：在區(qū)間上任意取x1，x2，設(shè)x1x2，作差f（x2） f（x1），然后判斷這個(gè)差的正、負(fù)，從而證明

4、函數(shù)在該區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù) 三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析 學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)是，初中學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的概念，初步認(rèn)識(shí)到函數(shù)是一個(gè)刻畫(huà)某些運(yùn)動(dòng)變化數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)概念；進(jìn)入高中以后，又進(jìn)一步學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，認(rèn)識(shí)到函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集之間的一種對(duì)應(yīng)學(xué)生還了解函數(shù)有三種表示方法，特別是可以借助圖象對(duì)函數(shù)特征加以直觀考察此外，還學(xué)習(xí)過(guò)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等幾個(gè)簡(jiǎn)單而具體的函數(shù)，了解它們的圖象及性質(zhì)尤其值得注意的是，學(xué)生有利用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行兩個(gè)數(shù)大小比較的經(jīng)驗(yàn) “圖象是上升的，函數(shù)是單調(diào)增的；圖象是下降的，函數(shù)是單調(diào)減的”僅就圖象角度直觀描述函數(shù)單調(diào)性的特征學(xué)生并不感到困難困難在

5、于，把具體的、直觀形象的函數(shù)單調(diào)性的特征抽象出來(lái)，用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言描述即把某區(qū)間上“隨著x的增大，y也增大”（單調(diào)增）這一特征用該區(qū)間上“任意的x1x2，有f（x1）f（x2）”（單調(diào)增）進(jìn)行刻畫(huà)其中最難理解的是為什么要在區(qū)間上“任意”取兩個(gè)大小不等的x1，x2 教學(xué)中，通過(guò)二次函數(shù)這個(gè)具體函數(shù)的圖象及數(shù)值變化特征的研究，得到“圖象是上升的”，相應(yīng)地，即“隨著x的增大，y也增大”，初步提出單調(diào)增的說(shuō)法通過(guò)討論、交流，讓學(xué)生嘗試，就一般情況進(jìn)行刻畫(huà)，提出“在某區(qū)間上，如果對(duì)于任意的x1x2有f（x1）f（x2）”則函數(shù)在該區(qū)間上具有“圖象是上升的”、“隨著x的增大，y也增大”的特征進(jìn)一

6、步給出函數(shù)單調(diào)性的定義然后通過(guò)辨析、練習(xí)等幫助學(xué)生理解這一概念 企圖在一節(jié)課中完成學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的真正理解可能是不現(xiàn)實(shí)的在今后，學(xué)生通過(guò)判斷函數(shù)的單調(diào)性，尋找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解決具體問(wèn)題，等一系列學(xué)習(xí)活動(dòng)可以逐步理解這個(gè)概念  四、教學(xué)支持條件分析 為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，條件許可，可以借助計(jì)算機(jī)或者計(jì)算器繪制函數(shù)圖象，同時(shí)輔以坐標(biāo)計(jì)算、跟蹤點(diǎn)以及等手段觀察函數(shù)的數(shù)字變化特征 五、教學(xué)基本流程 六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 1用好節(jié)前語(yǔ)，引出課題 函數(shù)是描述事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型如果了解了函數(shù)的變化規(guī)律，那么也就掌握

7、了相應(yīng)事物的變化規(guī)律，因此研究函數(shù)的性質(zhì)十分必要在事物變化過(guò)程，保持不變的特征就是這個(gè)事物的性質(zhì) 問(wèn)題1 觀察圖1中各個(gè)函數(shù)的圖象，你能說(shuō)說(shuō)它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律嗎？                                  &

8、#160; 圖1設(shè)計(jì)意圖：從形到數(shù)，借助對(duì)函數(shù)圖象的觀察，想象相應(yīng)的函數(shù)的性質(zhì)引導(dǎo)單調(diào)函數(shù)的“直觀定義” 可能的回答是，第一個(gè)圖中的函數(shù)圖象，自左而右是上升的；第二個(gè)圖中的函數(shù)圖象，自左而右，有時(shí)是上升的有時(shí)是下降的；第三個(gè)圖中的函數(shù)圖象，自左而右也是有時(shí)上升有時(shí)下降的，而且是關(guān)于y軸對(duì)稱的 師：對(duì)于運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題，最基本的就是描述變化的快與慢、增與減相應(yīng)的，函數(shù)的特征就包含：函數(shù)的增與減，我們把函數(shù)的這種性質(zhì)稱為“單調(diào)性” 教師結(jié)合上述直觀認(rèn)識(shí)，寫(xiě)出課題：函數(shù)的單調(diào)性 2函數(shù)單調(diào)性的“直觀定義” 結(jié)合上述直觀認(rèn)識(shí)，給出單調(diào)函數(shù)的“直觀定義”：&

9、#160;設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI在區(qū)間D上，若函數(shù)的圖像（從左至右看）總是上升的，則稱函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)，區(qū)間D稱為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；在區(qū)間D上，若函數(shù)的圖像（從左至右看）總是下降的，則稱函數(shù)在區(qū)間D上是減函數(shù)，區(qū)間D稱為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間 例1 （教科書(shū)第29頁(yè)例1）圖2是定義在區(qū)間5，5上的函數(shù)yf（x）的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？ 設(shè)計(jì)意圖：用“直觀定義”判斷單調(diào)性，并強(qiáng)調(diào)單調(diào)性的“局部性”         

10、60;                          圖23函數(shù)單調(diào)性的“描述性定義” 僅從圖象上觀察出函數(shù)的性質(zhì)，只是得到了“定性刻畫(huà)”，對(duì)函數(shù)的變化情況只是“大致了解”，顯然不夠，我們希望“量化”，這樣才能準(zhǔn)確 教師借助幾何畫(huà)板作出函數(shù)yx2的圖像，并在函數(shù)yx2的圖像上任畫(huà)一點(diǎn)P，測(cè)量出其橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，制作表格拖動(dòng)點(diǎn)

11、P，表格自動(dòng)增行 問(wèn)題2  根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于自變量x的每一個(gè)確定的值，變量y有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)那么，當(dāng)一個(gè)函數(shù)在某一區(qū)間上是單調(diào)增（或單調(diào)減）的時(shí)候，相應(yīng)的，自變量的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的變化規(guī)律是怎樣的呢？ 設(shè)計(jì)意圖：對(duì)函數(shù)的單調(diào)性的刻畫(huà)，從圖形的刻畫(huà)過(guò)渡到數(shù)量關(guān)系，即從圖形語(yǔ)言的表述過(guò)渡到自然語(yǔ)言的表述 由上面的表格可見(jiàn)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)（即函數(shù)值）y的變化規(guī)律：在區(qū)間（，0上，隨著自變量x增大，函數(shù)值y減少；在區(qū)間0，）上，隨著自變量x增大，函數(shù)值y也增大 由此得到單調(diào)函數(shù)的“描述性定義”： 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI在區(qū)間D

12、上，若隨著自變量x增大，函數(shù)值y也增大，則稱函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)；在區(qū)間D上，若隨著自變量x增大，函數(shù)值y反而減小，則稱函數(shù)在區(qū)間D上是減函數(shù) 4從“定性定義”過(guò)渡到“定量定義” 雖然完成了對(duì)函數(shù)單調(diào)性的從圖形語(yǔ)言表述到自然語(yǔ)言的表述，但這樣的描述還不是“量化”的，所以，要把定性的數(shù)量變化關(guān)系轉(zhuǎn)化為定量的數(shù)量變化關(guān)系這是本課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)所在  從上面的結(jié)論，可以看到，函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)，那么隨著自變量x增大，函數(shù)值y也增大 問(wèn)題3  如果對(duì)于區(qū)間（a，b）上的任意x有f（x）f（a），則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)增這個(gè)說(shuō)法對(duì)嗎

13、？請(qǐng)你說(shuō)明理由（舉例或者畫(huà)圖） 設(shè)計(jì)意圖：繼續(xù)企圖通過(guò)對(duì)描述性定義的辨析，逐漸引出定量定義必須是兩個(gè)變化的量的比較 問(wèn)題4  函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有無(wú)數(shù)個(gè)自變量x，使得當(dāng)ax1x2b時(shí)，有f（a）f（x1）f（x2）f（b），能不能說(shuō)明它在（a，b）單調(diào)增？請(qǐng)你說(shuō)明理由（舉例或者畫(huà)圖） 設(shè)計(jì)意圖：本問(wèn)題較為貼近描述性定義，但這是對(duì)描述性定義的誤解通過(guò)對(duì)函數(shù)描述性定義的辨析，逐漸使得同學(xué)們認(rèn)識(shí)到要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上具有單調(diào)增的特征，必須允許自變量x 在區(qū)間（a，b）上“任意取”，且只要“取兩個(gè)”就夠了也給學(xué)生使用符號(hào)說(shuō)明單調(diào)性以示范

14、或提示 從上面的討論可以看到，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）對(duì)任意x有f（x）f（a），也不能說(shuō)明它在（a，b）單調(diào)增；在區(qū)間（a，b）上有無(wú)數(shù)個(gè)自變量x，使得當(dāng)ax1x2b時(shí)，有f（a）f（x1）f（x2）f（b）也不能說(shuō)明它在（a，b）單調(diào)增那么自變量x在區(qū)間（a，b）上到底該怎樣取值好呢？我們?cè)賮?lái)看一看具體的函數(shù)f（x）x2 教師利用幾何畫(huà)板演示：在函數(shù)f（x）x2的圖象上，位于區(qū)間0，）任選兩個(gè)點(diǎn)，自變量大的函數(shù)值也一定大并提出 問(wèn)題5  在函數(shù)f（x）x2，x0，）的圖象上任意取兩點(diǎn)，自變量大的函數(shù)值也一定大，能否說(shuō)明函數(shù)f（x）x2在0，）上單

15、調(diào)增？ 設(shè)計(jì)意圖：由問(wèn)題4可見(jiàn)，刻畫(huà)函數(shù)單調(diào)性不在于所取自變量個(gè)數(shù)的多少，關(guān)鍵在于是否能夠任意取值，而且必須任意取兩個(gè) 這個(gè)問(wèn)題的答案是顯然的教師立即提出“怎樣用符號(hào)來(lái)表示？”的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生獲得“只要任意x1x2，有f（x1）f（x2）”即可 經(jīng)過(guò)議論，獲得共識(shí)函數(shù)單調(diào)性的定義 一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f（x1）f（x2），那么就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)；對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f（x1）f（x2），那

16、么就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù) 這個(gè)定義中的關(guān)鍵詞是什么呢？是“任意”二字 5單調(diào)性定義的應(yīng)用（課堂練習(xí)） 練習(xí)1  畫(huà)出反比例函數(shù)f（x）的圖象，并回答下列問(wèn)題： （1）指出這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性； （2）是否可以說(shuō)“這個(gè)函數(shù)在定義域I上是單調(diào)減？”為什么？ 設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)具體問(wèn)題，使學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在定義域的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)（在整體上未必有）進(jìn)一步認(rèn)識(shí)“任意”二字的意義，加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)識(shí) 答：（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間（，0）上單調(diào)減，在區(qū)間（0，）上也單調(diào)減（圖象略） 

17、;（2）這個(gè)函數(shù)的定義域I（，0）（0，）不能說(shuō)“這個(gè)函數(shù)在定義域I上是單調(diào)減”事實(shí)上，取x11，x21，而f（1）1，f（1）1，f（1）f（1） 練習(xí)2  物理學(xué)中的波利爾定律p（k是正常數(shù)）告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)體積V減小，壓強(qiáng)p將增大試用函數(shù)的單調(diào)性證明之（教科書(shū)第29頁(yè)例2） 設(shè)計(jì)意圖：函數(shù)單調(diào)性概念的應(yīng)用逐步掌握利用單調(diào)性定義證明一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上具有某種單調(diào)性的步驟加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解 分析 怎樣來(lái)證明“體積V減小，壓強(qiáng)p將增大”呢，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，只要證明函數(shù)p（k是正常數(shù)）是減函數(shù)怎樣證明函數(shù)p（k是正常數(shù)）是減函數(shù)呢，只要在區(qū)間（0，）（因?yàn)轶w積V0）任意取兩個(gè)大小不相等的值，證明較小的值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值較大，即 設(shè)V1V2，去證明p1p2也就是只要證明p1p20 證明：設(shè)V1V2，V1，V2（0，+） p1p2 因?yàn)閗是正常數(shù)，V1V2，所以0，p1p2