第一章函數(shù)ppt課件

1、一元函數(shù)微積分學(xué)一元函數(shù)微積分學(xué)q一元函數(shù)的極限一元函數(shù)的極限q微分學(xué)微分學(xué)q積分學(xué)積分學(xué)第一章第一章 函數(shù)的極限函數(shù)的極限1.2 函數(shù)的極限1.1 函數(shù)的概念1.3 函數(shù)的連續(xù)性1.1 函數(shù)的概念函數(shù)的概念1.1.1 函數(shù)的定義函數(shù)的定義1.1.2 分段函數(shù)分段函數(shù)1.1.3 有界函數(shù)有界函數(shù)1.1.4 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)1.1.1 函數(shù)的定義函數(shù)的定義數(shù)集數(shù)集D D 叫做這個(gè)函數(shù)的定義域叫做這個(gè)函數(shù)的定義域. .( )yf x，因變量因變量自變量自變量.)(00處處的的函函數(shù)數(shù)值值為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)稱(chēng)稱(chēng)時(shí)時(shí), ,當(dāng)當(dāng)0 0 xxfDx ( ),.Wy yf x xD數(shù)集稱(chēng)為函數(shù)的值域定義定

2、義 設(shè)設(shè) x x 和和 y y 是兩個(gè)變量是兩個(gè)變量,D,D是一個(gè)給定的數(shù)集，是一個(gè)給定的數(shù)集，如果對(duì)于每個(gè)數(shù)如果對(duì)于每個(gè)數(shù)x , x , 變量變量y y 按照一定法按照一定法則總有則總有D確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)y y 是是x x 的函數(shù)，記作的函數(shù)，記作 函數(shù)的兩要素函數(shù)的兩要素: : 定義域、定義域、 對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則. .()D0 xx對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則f)(Wy)(0 xf自變量自變量因變量因變量約定約定: : 定義域是自變量所能取的使算式有意定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值義的一切實(shí)數(shù)值. .21xy，例例如如 1 , 1 : D211xy，例例

3、如如)1 , 1(: D基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)冪函數(shù)類(lèi)冪函數(shù)類(lèi))( 是常數(shù)是常數(shù) xy)1 , 1(oxyxy1 2xy xy xy 11)1, 0( aaayxxey xay xay)1( )1( a)1 , 0( 指數(shù)函數(shù)類(lèi)指數(shù)函數(shù)類(lèi)xyalog xya1log )1( a)1, 0(log aaxyaxyln )0 , 1(對(duì)數(shù)函數(shù)類(lèi)對(duì)數(shù)函數(shù)類(lèi)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin 三角函數(shù)類(lèi)三角函數(shù)類(lèi).余弦函數(shù)余弦函數(shù)xycos xycos .正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xytan .余切函數(shù)余切函數(shù)xycot xycot .正割函數(shù)正割函數(shù)xysec xysec .余割函數(shù)余割函數(shù)

4、xycsc xycsc .xyarcsin反正弦函數(shù)反正弦函數(shù)xyarcsin 反三角函數(shù)類(lèi)反三角函數(shù)類(lèi)xyarccos反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)xyarccos xyarctan反反正正切切函函數(shù)數(shù)xyarctan xycotarc反反余余切切函函數(shù)數(shù)1.1.2 分段函數(shù)分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中, , 對(duì)應(yīng)法則用不同的對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù)式子來(lái)表示的函數(shù), , 稱(chēng)為分段函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù). . 0, 10, 12)(,2xxxxxf例例如如12 xy12 xy1.1.3 有界函數(shù)有界函數(shù)則稱(chēng)則稱(chēng) f (x )f (x )為有界函數(shù)為有界函數(shù). . ,f x

5、M定義定義 若存在若存在M 0,M 0,對(duì)任意的對(duì)任意的x x ，有，有fD例如，正弦函數(shù)例如，正弦函數(shù) 是有界函數(shù)是有界函數(shù).sinyx因?yàn)?，有常?shù)因?yàn)?，有常?shù) M = 1，,xR 使得使得sin1.xM 正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin .:sin ,1, 1 .y yxxR1.1.4 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù),自變量自變量x,中間變量中間變量u,因變量因變量y ,f u 外層函數(shù) x內(nèi)層函數(shù).,arcsinuy 例如例如1;ux arcsin(1).yx例例1 12( ),1, ( )1, ( ).xf xe xxxfx設(shè)求及其定義域22( )1,( )1 1.xxRxRxx 解的定義域?yàn)?/p>

6、實(shí)數(shù)集 ，且有 2( )1( ).xxf xfxee由函數(shù)的定義知：21( ).xfxeR且的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集初等函數(shù)初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限多次的由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限多次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)可用一個(gè)式子表示的函數(shù), 稱(chēng)為初等函數(shù)稱(chēng)為初等函數(shù).微積分研究的主要對(duì)象是初等函數(shù)微積分研究的主要對(duì)象是初等函數(shù). .1.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限1 函數(shù)極限的定義函數(shù)極限的定義2 極限四則運(yùn)算法則極限四則運(yùn)算法則3 復(fù)合函數(shù)的極限復(fù)合函數(shù)的極限lim1 .2.1極限概念極限概念 oxy1,0.yxxx x

7、1x0.x00 x1xlim. 0lim, lim,xxxf xAf xA一般地，記為.A其中 為實(shí)數(shù)或無(wú)窮小量、無(wú)窮大量無(wú)窮小量、無(wú)窮大量 的定義的定義的無(wú)窮小量的無(wú)窮小量. .即無(wú)窮小量是以零為極限的變量即無(wú)窮小量是以零為極限的變量. . 假設(shè)假設(shè) ，則稱(chēng)函數(shù)，則稱(chēng)函數(shù) 是當(dāng)是當(dāng) 時(shí)時(shí) lim0 xf x f xx 假設(shè)假設(shè) ，則稱(chēng)函數(shù)，則稱(chēng)函數(shù) 是當(dāng)是當(dāng) 時(shí)時(shí) 0limxxf x f x0 xx的無(wú)窮大量的無(wú)窮大量. .即無(wú)窮大量是以即無(wú)窮大量是以 為極限的變量為極限的變量. . 例如例如, , 0sinlim0 xx.0sin時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)xx1lim0,1xx1

8、.1xx函數(shù)是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小量11lim.1xx 11.1xx函數(shù)是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮大量極限概念續(xù)）極限概念續(xù)）xysin x00limxsin x0 x0sin x0limx0.右極限右極限左極限左極限若函數(shù)的極限是一個(gè)有限數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)的極限存在若函數(shù)的極限是一個(gè)有限數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)的極限存在. .0limsinxxsin0左、右極限的定義左、右極限的定義假設(shè)假設(shè) 且且 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) 以以A A為極限，為極限， 0 xx f x0 xx假設(shè)假設(shè) 且且 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) 以以A A為極限，為極限， 0 xx f x0 xx則稱(chēng)則稱(chēng)A A 為函數(shù)為函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的右極限處的右極限. .記為記為 f

9、x0 xx 0lim.xxfxA 0lim.xxfxA則稱(chēng)則稱(chēng)A A 為函數(shù)為函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的左極限處的左極限. .記為記為 0 xx f x 0limxxf xA 0lim.xxf xA 0limxxf xA且且定理定理1極限不存在極限不存在極限概念的分類(lèi)極限概念的分類(lèi) lim f x 0limxxf x limxf x 0limxxf x 0limxxf x 0limxxf x limxf x limxfx limxfx極限存在極限存在( ,)A( ,)A( ,)A( ,)A( ,)A ( ,)A注解注解4.若函數(shù)的極限存在，則其極限是惟一的若函數(shù)的極限存在，則其極限是惟一的.(2).

10、 函數(shù)的極限值僅與函數(shù)在自變量的極限點(diǎn)函數(shù)的極限值僅與函數(shù)在自變量的極限點(diǎn)附近的值有關(guān)！附近的值有關(guān)！(1). 一個(gè)極限問(wèn)題由函數(shù)的極限和自變量的極一個(gè)極限問(wèn)題由函數(shù)的極限和自變量的極限兩個(gè)部分構(gòu)成，函數(shù)的極限值依賴(lài)于自變量限兩個(gè)部分構(gòu)成，函數(shù)的極限值依賴(lài)于自變量的極限，因此函數(shù)的極限與自變量的極限有關(guān)！的極限，因此函數(shù)的極限與自變量的極限有關(guān)！(3). 函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在的充分必要條件是函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在的充分必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)的左、右極限存在且相等，即函數(shù)在該點(diǎn)的左、右極限存在且相等，即1.2.2 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則 limlimlimlimlimlimlim,.f

11、 xg xf xg xf xg xcf xcf xc定理2 設(shè)限與存在，則(1)線性性，其中 為常數(shù) 1212limlimlim.c f xc g xcf xcg x limlimlimf xg xf xg x，極限法則續(xù)）極限法則續(xù)） (2)limlimlim.f x g xf xg x lim(3)lim,lim0.limf xf xg xg xg x其中 limlim,.f xf xR limlim, lim0lim0.f xf xf xf x且無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的性質(zhì)無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)2 2 有限個(gè)無(wú)窮小量的積仍然是無(wú)窮小量有限個(gè)無(wú)窮小量的積仍然是無(wú)窮小量. .性質(zhì)性質(zhì)1

12、 1 有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍然是無(wú)窮小量有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍然是無(wú)窮小量性質(zhì)性質(zhì)3 3 有界量與無(wú)窮小量的積仍是無(wú)窮小量有界量與無(wú)窮小量的積仍是無(wú)窮小量. .性質(zhì)性質(zhì)4 4 無(wú)窮小量無(wú)窮小量 ( )( )的倒數(shù)是無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮大量. . 反之，無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量反之，無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量. .0例例3 322lim 322xxx求22lim 322xxx解22223lim2limlim2xxxxx23 22 2214. 00.xxx當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的極限等于它在點(diǎn) 處的函數(shù)值 101101,limlim.nnnnnnnnnxaxaPxa xa xaPxa xa xaP a即，

13、若則例例4 4342lim22xxx) 3(lim)42(lim222xxxx818例例5 5942lim23xxx)42(lim)9(lim323xxxx0100解解429lim23xxx942lim23xxx例例6 62211lim.2xxxx求2211lim2xxxx解111lim12xxxxx11lim2xxx11lim1lim2xxxx1.321lim20 xxx21lim10 xx00型例例7 7231lim.2xxxx求“”型2lim1xx 3lim2xxx 231lim2xxxx解23331lim2xxxxxx3211lim112xxxx1tx3020lim0.lim 12tt

14、ttt320lim12tttt例例8 83321lim2xxxx求3321lim2xxxx解333321lim2xxxxxx3212lim112xxx1tx3202lim12ttt3020lim 22.lim 12tttt“”型3lim 21xx 3lim2xxx 例例932lim.1xxxx求“”型1tx231limxxxx解23331limxxxxxx3211lim11xxxx320lim0.1tttt32lim1xxxx故231lim1xxxx. 2lim1xx 3limxxx 例例10sin2lim.xxx求,sin21,xRx 解 因?yàn)橛?lim0.xx且所以sin2limxxx1l

15、imsin2xxx0.1.2.3 復(fù)合函數(shù)的極限復(fù)合函數(shù)的極限 00000,(1)lim,(2) lim.limlim.xxuuxxuuyf uuxxuf uAfxuxf uA定理3 設(shè)且則v兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限0sin1l1im.xxx、1lim.12xxex、0“”型01 型例例11110sin2lim.xxx求0sin2limxxx解0sin2lim2uuuxu0sin2limuuu2.0sin2limxxx解法202sin coslimxxxx00sin2limlim cosxxxxx2.0“ ”型0例例1212 01sinlim,li0m.xxxxx可以證明：其中0tan2lim

16、.sin3xxx求0tan2limsin3xxx解0sin21limcos2sin3xxxx0sin21limcos2sin3xxxx2x2x330002sin211limlimlimsin332cos23xxxxxxxx2.30“ ”型0例例13 13 11lim.xxxx求11limxxxx解11limxxxxxx11limlimxxxxxxx1lim 1xxx. e1 型例例14141lim.1xxxx求1lim1xxxx解1(1) 1lim1xxxx11lim 11xxx11im(l11)1xxx1.e1 型 01limlim 1.xxxxex若，則冪指函數(shù)的極限冪指函數(shù)的極限 000

17、010lim,(2)lim.xxxxu xu xuv xv命題 設(shè)（ ）且 0limv xxxu x則 00limlimxxv xxxu x00.vu例例15152lim.1xxxx求2lim1xxxx解21lim 11xxx2111lim 1(1)xxxxx 2lim111lim 1(1)xxxxxx .e2111lim1(1)xxxxx21.3 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性定義定義性質(zhì)性質(zhì)函數(shù)連續(xù)的定義函數(shù)連續(xù)的定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在0 x的鄰域的鄰域)(0 xU 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,如果如果 )()(lim00 xfxfxx 那末就稱(chēng)函數(shù)那末就稱(chēng)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x連續(xù)連續(xù).

18、. 0000( )( ,(0)(),( );f xa xf xf xf xx若函數(shù)在內(nèi)有定義且則稱(chēng)在處左連續(xù)點(diǎn)0000( ), ),(0)(),( ).f xx bf xf xf xx若函數(shù)在內(nèi)有定義且則稱(chēng)在處右連續(xù)點(diǎn)00( )( ).f xxf xx在處連續(xù)在處既左連續(xù)又右連續(xù)例例1616.0, 0, 0, 0,1sin)(處處連連續(xù)續(xù)在在試試證證函函數(shù)數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又),0()(lim0fxfx 由定義知由定義知.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf例例1717.0, 0, 2, 0, 2)(連連續(xù)續(xù)性性處處的的在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 )2(lim)(lim00 xxfxx2 .0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxf 00limlim,xxfxfx因 0limxf x所以不存在.x2yxoy21122yx。.定義續(xù)）定義續(xù)） 在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù), 叫做在該區(qū)叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)間上的連續(xù)函數(shù), 或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).( , ), ( ) , .a bxaxbf xa b 如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間