高中全程復(fù)習(xí)方略配套不等式的證明方法數(shù)學(xué)歸納法與不等式ppt課件

1、第二節(jié) 不等式的證明方法、數(shù)學(xué)歸納法與不等式三年三年2 2考考 高考指數(shù)高考指數(shù): :內(nèi)內(nèi) 容容要要 求求A AB BC C不等式的證明不等式的證明運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1 1不等式的證明方法不等式的證明方法(1)(1)比較法比較法作差比較法作差比較法知道知道ababa ab0b0，ababa ab0bbab，即證，即證_作商比較法作商比較法由由ab0ab0 1 1，因此當(dāng)，因此當(dāng)a0a0，b0b0時(shí)，欲證時(shí)，欲證_，即證，即證 1 1a ab0b0abababab(2)(2)綜合法與分析法綜合法與分析法綜合法就是從綜合法就是從_出發(fā)，利用某些不等式性質(zhì)或定理，出發(fā)，

2、利用某些不等式性質(zhì)或定理，經(jīng)過一系列的推實(shí)際證，最終推導(dǎo)出經(jīng)過一系列的推實(shí)際證，最終推導(dǎo)出_成立，成立，即即“由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч治龇ň褪菑姆治龇ň褪菑腳出發(fā)，逐漸尋求使它成立的充出發(fā)，逐漸尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的不等式歸結(jié)為分條件，直至最后，把要證明的不等式歸結(jié)為_不等式不等式( (知條件、定理等知條件、定理等) )，即，即“執(zhí)果索因執(zhí)果索因. .知條件知條件所要證明的不等式所要證明的不等式要證明的不等式要證明的不等式斷定一個(gè)明顯成斷定一個(gè)明顯成立的立的(3)(3)反證法的證明步驟反證法的證明步驟第一步：第一步：_；第二步：從；第二步：從_出發(fā)，運(yùn)用正確的推理方法，推出出發(fā)

3、，運(yùn)用正確的推理方法，推出_，否，否定假設(shè)，從而證明原不等式成立；定假設(shè)，從而證明原不等式成立；(4)(4)放縮法放縮法所謂放縮法，即要把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)厮^放縮法，即要把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)豞以利化簡(jiǎn)以利化簡(jiǎn), ,并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯, ,從而從而得到欲證不等式成立得到欲證不等式成立. .作出與所證不等式相反的假設(shè)作出與所證不等式相反的假設(shè)條件和條件和假設(shè)假設(shè)矛盾的結(jié)論矛盾的結(jié)論放大放大( (或減少或減少) )【即時(shí)運(yùn)用】【即時(shí)運(yùn)用】(1)(1)設(shè)設(shè)0 0 x x1 1，那么，那么a= a= ，b=1+xb=1+x，c= c

4、= 中最大的一個(gè)中最大的一個(gè)是是_._.(2)(2)對(duì)實(shí)數(shù)對(duì)實(shí)數(shù)a a和和x x而言，不等式而言，不等式x3+13a2xx3+13a2x5ax2+9a35ax2+9a3成立的充要成立的充要條件是條件是_._.(3)(3)假設(shè)假設(shè)x,yx,y均為正數(shù)，且均為正數(shù)，且x+yx+y2 2，求證，求證: : 與與 中至少中至少有一個(gè)小于有一個(gè)小于2.2.當(dāng)他利用反證法證明此題時(shí)，第一步是假設(shè)當(dāng)他利用反證法證明此題時(shí)，第一步是假設(shè)_._.(4)(4)設(shè)設(shè)a0a0，b0b0，M M ，N N ，那么，那么M M與與N N的的大小關(guān)系是大小關(guān)系是_2x11x1yx1xyabab2 aba2b2【解析】【解析

5、】(1)0(1)0 x x1 1，1+x1+x . .只需比較只需比較1+x1+x與與 的大小的大小. .1+x1+x 0 0，1+x1+x . .從而最大的一個(gè)是從而最大的一個(gè)是c.c.(2)(x3+13a2x)(2)(x3+13a2x)(5ax2+9a3)=x3(5ax2+9a3)=x35ax2+13a2x5ax2+13a2x9a39a3=(x=(xa)(x2a)(x24ax+9a2)4ax+9a2)=(x=(xa)a)(x(x2a)2+5a22a)2+5a20.0.當(dāng)當(dāng)x2a0 x2a0時(shí)，有時(shí)，有(x(x2a)2+5a22a)2+5a20.0.由題意故只需由題意故只需x xa a0 0

6、即即x xa a，以上過程可逆，以上過程可逆. .所以不等式成立的充要條件是：所以不等式成立的充要條件是：x xa.a.2 x4x2x11x2211x1x1x1x1x11x(3)(3)至少有一個(gè)小于至少有一個(gè)小于2 2的否認(rèn)是均不小于的否認(rèn)是均不小于2 2，假設(shè)，假設(shè) 與與 均均不小于不小于2 2，即，即 2 2且且 2. 2.(4)a0(4)a0，b0b0，NN M.MN.M.Ma (3) 2 (1)c (2)xa (3) 2且且 2 2 (4)MN (4)MN1yx1xy1xy1yxabababa2b2ab2ab2ab2 1yx1xy2.2.數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法兩大步：數(shù)學(xué)歸納法

7、兩大步：(1)(1)歸納奠基：證明當(dāng)歸納奠基：證明當(dāng)n n取第一個(gè)值取第一個(gè)值n0n0時(shí)命題時(shí)命題_;_;(2)(2)歸納遞推：假設(shè)歸納遞推：假設(shè)n=k(kn0n=k(kn0， kN kN* *) )時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=_n=_時(shí)命題也成立時(shí)命題也成立. . 只需完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從只需完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0n0開場(chǎng)的一切正整開場(chǎng)的一切正整數(shù)數(shù)n n都成立都成立. . 成立成立k+1k+1【即時(shí)運(yùn)用】【即時(shí)運(yùn)用】用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明“ n(nN“ 1)n1)時(shí)，時(shí)，由由n nk(k1)k(k1)不等式成立，推證不等式成立，推證n n

8、k k1 1時(shí)，左邊應(yīng)添加的項(xiàng)數(shù)時(shí)，左邊應(yīng)添加的項(xiàng)數(shù)是是_._.【解析】應(yīng)添加的項(xiàng)數(shù)為【解析】應(yīng)添加的項(xiàng)數(shù)為(2k(2k1 11)1)(2k(2k1)1)2k2k1 12k2k2k.2k.答案答案: 2k : 2k n11112321 運(yùn)用比較法證明不等式運(yùn)用比較法證明不等式【方法點(diǎn)睛】【方法點(diǎn)睛】比較法證明不等式的兩種思緒比較法證明不等式的兩種思緒(1)(1)作差比較法證明不等式是不等式證明的最根本的方法作差比較法證明不等式是不等式證明的最根本的方法. .作差作差后需求判別差的符號(hào)，作差變形的方法經(jīng)常是因式分解后，把后需求判別差的符號(hào)，作差變形的方法經(jīng)常是因式分解后，把差寫成積的方式或配成完

9、全平方式差寫成積的方式或配成完全平方式. .(2)(2)作商法要留意運(yùn)用條件，如作商法要留意運(yùn)用條件，如 1 1不能推出不能推出a ab b，這里要，這里要留意留意a a、b b兩數(shù)的符號(hào)兩數(shù)的符號(hào). . ab【例【例1 1】(2021(2021安徽高考安徽高考)(1)(1)設(shè)設(shè)x1,y1,x1,y1,證明證明x+y+ +xyx+y+ +xy；(2)1abc(2)1abc，證明，證明logab+logbc+logcalogba+logcb+logac.logab+logbc+logcalogba+logcb+logac.【解題指南】欲證第【解題指南】欲證第(1)(1)題不等式成立題不等式成立,

10、 ,只需判別左右兩式之差只需判別左右兩式之差的正負(fù)性；察看第的正負(fù)性；察看第(2)(2)題的特征題的特征, ,經(jīng)過換底公式化歸為經(jīng)過換底公式化歸為(1)(1)的方式的方式, ,根據(jù)第根據(jù)第(1)(1)題的結(jié)論證明題的結(jié)論證明. .111xyxy【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(x+y+ )-( +xy)(1)(x+y+ )-( +xy)= = = ,= ,由由x1,y1x1,y1得得 0, 0,從而從而x+y+ +xyx+y+ +xy成立成立. .1xy11xy2222x yxy1yxx yxy x xy 1y xy 1xy1xy 1xyxy 1 x1y 1xyxy 1 x1y 1xy111xy

11、xy(2)(2)當(dāng)當(dāng)1abc1bab，cdcda acbcbd d只適用于同向不等式只適用于同向不等式, ,而而反向不等式之間不能想當(dāng)然地運(yùn)用反向不等式之間不能想當(dāng)然地運(yùn)用. .1y1x11xy1xy111xyxy【變式訓(xùn)練】假設(shè)實(shí)數(shù)【變式訓(xùn)練】假設(shè)實(shí)數(shù)x1x1，求證：，求證：3(1+x2+x4)3(1+x2+x4)(1+x+x2)2.(1+x+x2)2.【證明】【證明】3(1+x2+x4)-(1+x+x2)23(1+x2+x4)-(1+x+x2)2=3+3x2+3x4-1-x2-x4-2x-2x2-2x3=3+3x2+3x4-1-x2-x4-2x-2x2-2x3=2(x4-x3-x+1)=2

12、(x-1)2(x2+x+1)=2(x4-x3-x+1)=2(x-1)2(x2+x+1)=2(x-1)2=2(x-1)2(x+ )2+ (x+ )2+ . .x1x1，從而，從而(x-1)2(x-1)20,0,且且(x+ )2+ (x+ )2+ 0 0，2(x-1)22(x-1)2(x+ )2+ (x+ )2+ 0 0，3(1+x2+x4)3(1+x2+x4)(1+x+x2)2.(1+x+x2)2.123434121234 分析法與綜合法分析法與綜合法【方法點(diǎn)睛】【方法點(diǎn)睛】分析法與綜合法在證明中的運(yùn)用分析法與綜合法在證明中的運(yùn)用在證明不等式的過程中，分析法和綜合法是不能分別的，假設(shè)在證明不等式

13、的過程中，分析法和綜合法是不能分別的，假設(shè)運(yùn)用綜合法證明不等式難以入手時(shí)，常用分析法探求證題途徑，運(yùn)用綜合法證明不等式難以入手時(shí)，常用分析法探求證題途徑，之后用綜合法的方式寫出它的證明過程，有時(shí)問題證明難度較之后用綜合法的方式寫出它的證明過程，有時(shí)問題證明難度較大，常運(yùn)用分析綜合法，實(shí)現(xiàn)兩頭往中間靠以到達(dá)證標(biāo)題的大，常運(yùn)用分析綜合法，實(shí)現(xiàn)兩頭往中間靠以到達(dá)證標(biāo)題的. . 【例【例2 2】知】知a a1 1，n2n2，nNnN* *. . 求證：求證： . .【解題指南】察看此題特征【解題指南】察看此題特征, ,經(jīng)過乘方運(yùn)算經(jīng)過乘方運(yùn)算, ,將其化歸為不含將其化歸為不含有根式的不等式有根式的不等

14、式, ,證之證之. .na1a 1n【規(guī)范解答】方法一：欲證【規(guī)范解答】方法一：欲證 ，即證，即證a a . .令令a a1=t1=t0 0，那么，那么a=t+1.a=t+1.也就是證也就是證t+1t+1(1+ )n.(1+ )n.(1+ )n=1+ + (1+ )n=1+ + 1+t1+t，即，即 成立成立. .方法二：因此題左式含有根號(hào)方法二：因此題左式含有根號(hào), ,所以經(jīng)過換元法所以經(jīng)過換元法, , 設(shè)設(shè)a=xna=xn，x x1.1.那么原不等式可化為那么原不等式可化為 x x1, 1, 即證即證 n.n.聯(lián)想到聯(lián)想到等等比數(shù)列前比數(shù)列前n n項(xiàng)和項(xiàng)和1+x+xn1+x+xn1= ,1

15、= ,因因x x1,1,故故1+x+xn1+x+xn1 1n n顯然成立顯然成立, ,得證得證. .na1a 1nna1(1)ntntn1ntCnnnntC ( )nna1a 1nnx1nnx1x1nx1x1【反思【反思感悟】感悟】 1. 1.當(dāng)欲證的不等式中含有分式或根式時(shí)當(dāng)欲證的不等式中含有分式或根式時(shí), ,通常通常利用分析法利用分析法, ,經(jīng)過去分母或乘方運(yùn)算經(jīng)過去分母或乘方運(yùn)算, ,進(jìn)展恒等變形進(jìn)展恒等變形, ,化歸為整式化歸為整式不等式不等式, ,再利用綜合法證之再利用綜合法證之. .2. 2. 所謂所謂“綜合法、綜合法、“分析法其實(shí)是證明題的兩種書寫格式，分析法其實(shí)是證明題的兩種書

16、寫格式，而不是真正意義上的證明方法，從此題證明過程可知而不是真正意義上的證明方法，從此題證明過程可知, ,中間步驟中間步驟利用了放縮法利用了放縮法, ,對(duì)于展開式對(duì)于展開式, ,可經(jīng)過舍去其中的假設(shè)干項(xiàng)到達(dá)減可經(jīng)過舍去其中的假設(shè)干項(xiàng)到達(dá)減少的目的少的目的, ,或添加假設(shè)干項(xiàng)到達(dá)放大的目的或添加假設(shè)干項(xiàng)到達(dá)放大的目的; ;對(duì)于值為正數(shù)的分對(duì)于值為正數(shù)的分式式, ,經(jīng)過對(duì)分母的放大或減少到達(dá)減少或放大的目的經(jīng)過對(duì)分母的放大或減少到達(dá)減少或放大的目的. .【變式訓(xùn)練】當(dāng)【變式訓(xùn)練】當(dāng)n3,nNn3,nN時(shí)，求證：時(shí)，求證：2n2(n+1).2n2(n+1).【證明】【證明】2n=(1+1)n=1+

17、2n=(1+1)n=1+ =2(n+1),2n2(n+1).=2(n+1),2n2(n+1).12n1n 1nnnnnnnCCC1CCC 【變式備選】求證：【變式備選】求證：a2+b2ab+a+b-1.a2+b2ab+a+b-1.【證明】【證明】(a2+b2)-(ab+a+b-1)(a2+b2)-(ab+a+b-1)=a2+b2-ab-a-b+1= (2a2+2b2-2ab-2a-2b+2)=a2+b2-ab-a-b+1= (2a2+2b2-2ab-2a-2b+2)= = (a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1

18、)= = (a-b)2+(a-1)2+(b-1)2(a-b)2+(a-1)2+(b-1)20,0,a2+b2ab+a+b-1.a2+b2ab+a+b-1.121212反證法反證法【方法點(diǎn)睛】【方法點(diǎn)睛】反證法的根本思想反證法的根本思想反證法的根本思想能否認(rèn)結(jié)論就會(huì)導(dǎo)致矛盾它可以用下面的程反證法的根本思想能否認(rèn)結(jié)論就會(huì)導(dǎo)致矛盾它可以用下面的程序來表示：序來表示：“否認(rèn)否認(rèn)推理推理矛盾矛盾一定一定“否認(rèn)否認(rèn)假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，而結(jié)論的反面成立假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，而結(jié)論的反面成立. .“推理推理從知條件和假設(shè)出發(fā)，運(yùn)用一系列的論據(jù)進(jìn)展推理從知條件和假設(shè)出發(fā)，運(yùn)用一系列的論據(jù)進(jìn)展推理. .

19、“矛盾矛盾經(jīng)過推導(dǎo)，推出與經(jīng)過推導(dǎo)，推出與“實(shí)踐需求不符、與實(shí)踐需求不符、與“公理公理矛盾、與矛盾、與“知定理矛盾、與知定理矛盾、與“定義矛盾、與定義矛盾、與“題設(shè)矛題設(shè)矛盾、自相矛盾等盾、自相矛盾等“一定一定由于推理過程正確，故矛盾是由假設(shè)所引起的，由于推理過程正確，故矛盾是由假設(shè)所引起的，因此，假設(shè)是錯(cuò)誤的，從而一定原結(jié)論是正確的因此，假設(shè)是錯(cuò)誤的，從而一定原結(jié)論是正確的 【例【例3 3】知】知a a，bRbR，且，且a ab b1 1，求證：，求證：(a(a2)22)2(b(b2)2 2)2 . .【解題指南】此題是一個(gè)一定性的結(jié)論【解題指南】此題是一個(gè)一定性的結(jié)論, ,可利用反證法可利

20、用反證法, ,假設(shè)其假設(shè)其不成立不成立, ,將約束條件代入其中將約束條件代入其中, ,消去消去b,b,得到一個(gè)關(guān)于得到一個(gè)關(guān)于a a的不等式的不等式, ,再經(jīng)過配方法得到矛盾的結(jié)果再經(jīng)過配方法得到矛盾的結(jié)果, ,證之證之. .252【規(guī)范解答】假設(shè)【規(guī)范解答】假設(shè)(a(a2)22)2(b(b2)22)2 ，那么那么 a2 a2b2b24(a4(ab)b)8 8 . .由由a ab b1 1，得，得b b1 1a a，于是有，于是有a2a2(1(1a)2a)21212 . .所以所以(a(a )2 )20 0，這與，這與(a(a )20 )20矛盾矛盾. .故假設(shè)不成立，所以故假設(shè)不成立，所以(

21、a(a2)22)2(b(b2)2 .2)2 .2522522521212252【反思【反思感悟】感悟】1.1.反證法的本質(zhì)是證明原命題的否命題反證法的本質(zhì)是證明原命題的否命題. .用反用反證法證明命題時(shí)，推導(dǎo)出的矛盾能夠多種多樣，有的與知矛盾，證法證明命題時(shí)，推導(dǎo)出的矛盾能夠多種多樣，有的與知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與現(xiàn)實(shí)相違背等，推導(dǎo)出的矛盾必需是有的與假設(shè)矛盾，有的與現(xiàn)實(shí)相違背等，推導(dǎo)出的矛盾必需是明顯的明顯的. .2.2.宜用反證法證明的題型：宜用反證法證明的題型：(1)(1)易導(dǎo)出與知矛盾的命題；易導(dǎo)出與知矛盾的命題；(2)(2)一些根本定理；一些根本定理；(3)(3)“否認(rèn)性命題；

22、否認(rèn)性命題；(4)(4)“獨(dú)一性命題；獨(dú)一性命題；(5)(5)“必然性命必然性命題；題；(6)(6)“至少、至少、“至多命題等至多命題等. .3.3.本卷須知：運(yùn)用反證法證明命題時(shí)，反設(shè)必需恰當(dāng)，如本卷須知：運(yùn)用反證法證明命題時(shí)，反設(shè)必需恰當(dāng)，如“都都是的否認(rèn)是是的否認(rèn)是“不都是、不都是、“至少一個(gè)的否認(rèn)是至少一個(gè)的否認(rèn)是“不存在不存在等等. .【變式訓(xùn)練】知【變式訓(xùn)練】知a,b,c,dR,a,b,c,dR,且且a+b=c+d=1,ac+bd1,a+b=c+d=1,ac+bd1,求求證證:a,b,c,d:a,b,c,d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù). .【證明】假設(shè)【證明】假設(shè)a,b,c

23、,da,b,c,d都是非負(fù)數(shù)，都是非負(fù)數(shù)，a+b=c+d=1a+b=c+d=1，(a+b)(c+d)=1(a+b)(c+d)=1，又又(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bdac+bd(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bdac+bd，即即ac+bd1,ac+bd1,這與這與ac+bd1ac+bd1矛盾，矛盾，所以所以a,b,c,da,b,c,d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù). . 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法【方法點(diǎn)睛】【方法點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵及放縮法數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵及放縮法(1)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是第二步，由于第二步在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是第二步，由于第二

24、步在歸納假設(shè)的根底上又構(gòu)成了一個(gè)新的命題，這時(shí)要用到不等式歸納假設(shè)的根底上又構(gòu)成了一個(gè)新的命題，這時(shí)要用到不等式證明的根本方法證明的根本方法. .(2)(2)放縮法是證明不等式的根本思緒，詳細(xì)放縮方法有公式放放縮法是證明不等式的根本思緒，詳細(xì)放縮方法有公式放縮和利用函數(shù)的單調(diào)性放縮等縮和利用函數(shù)的單調(diào)性放縮等. .常用技巧有：舍去一些項(xiàng)；在常用技巧有：舍去一些項(xiàng)；在和或積中放大或減少某些項(xiàng)；擴(kuò)展或減少分式的分子或分母等和或積中放大或減少某些項(xiàng)；擴(kuò)展或減少分式的分子或分母等. . 【例【例4 4】(2021(2021湖南高考湖南高考) )知函數(shù)知函數(shù)f(x)=x3f(x)=x3，g(x)=x+

25、.g(x)=x+ .(1)(1)求函數(shù)求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)h(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并闡明理由；的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并闡明理由；(2)(2)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an(nNan(nN* *) )滿足滿足a1=a(a0)a1=a(a0)，f(an+1)=g(an)f(an+1)=g(an)，證明：，證明：存在常數(shù)存在常數(shù)M,M,使得對(duì)于恣意的使得對(duì)于恣意的nNnN* *，都有，都有anM.anM.x【解題指南】【解題指南】(1)(1)由函數(shù)零點(diǎn)斷定定理及函數(shù)單調(diào)性得出結(jié)論由函數(shù)零點(diǎn)斷定定理及函數(shù)單調(diào)性得出結(jié)論. .(2)(2)根據(jù)所給函數(shù)確定數(shù)列根據(jù)所給函數(shù)確定數(shù)列an(nNan(nN

26、* *) )的遞推關(guān)系后的遞推關(guān)系后, ,關(guān)鍵是關(guān)鍵是如何尋覓常數(shù)如何尋覓常數(shù)M,M,這可從第這可從第(1)(1)小題得到靈感小題得到靈感, ,聯(lián)想到函數(shù)聯(lián)想到函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)h(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)的零點(diǎn), ,從而經(jīng)過適當(dāng)?shù)胤趴s從而經(jīng)過適當(dāng)?shù)胤趴s, ,猜測(cè)此常數(shù)就是猜測(cè)此常數(shù)就是正零點(diǎn)與正零點(diǎn)與a a兩者中的較大數(shù)然后運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可兩者中的較大數(shù)然后運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)由由h(x)=x3-x- h(x)=x3-x- 知，知，xx0,+),0,+),而而h(0)=0,h(0)=0,且且h(1)=-10,h(1)=-1

27、0,那么那么x=0 x=0為為h(x)h(x)的一個(gè)零點(diǎn)，且的一個(gè)零點(diǎn)，且h(x)h(x)在在(1(1，2)2)內(nèi)有零點(diǎn)，因此內(nèi)有零點(diǎn)，因此h(x)h(x)至少有兩個(gè)零點(diǎn)至少有兩個(gè)零點(diǎn). .h(x)=x(x2-1- ),h(x)=x(x2-1- ),記記(x)=x2-1- (x)=x2-1- ，那么那么(x)=2x+ .(x)=2x+ .當(dāng)當(dāng)x(0,+)x(0,+)時(shí)時(shí), (x)0, (x)0,因此因此(x)(x)在在(0,+)(0,+)上單調(diào)遞上單調(diào)遞增，那么增，那么(x)(x)在在(0,+)(0,+)內(nèi)至多只需一個(gè)零點(diǎn)內(nèi)至多只需一個(gè)零點(diǎn). .因此因此h(x)h(x)在在(0,+)(0,+)

28、內(nèi)也至多只需一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，內(nèi)也至多只需一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，h(x)h(x)有且只需兩有且只需兩個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn). .x212x12x321x2(2)(2)記記h(x)h(x)的正零點(diǎn)為的正零點(diǎn)為x0 x0，即，即 . .當(dāng)當(dāng)ax0ax0時(shí)，由時(shí)，由a1=aa1=a，即，即a1x0.a1x0.而而 ，因此因此a2x0a2x0，由此猜測(cè)：，由此猜測(cè)：anx0.anx0.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(i)(i)當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)，時(shí)，a1x0a1x0顯然成立；顯然成立；(ii)(ii)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k(k1n=k(k1，kNkN* *) )時(shí)，有時(shí)，有akx0akx0成立，那么當(dāng)

29、成立，那么當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)，由時(shí)，由 知，知，ak+1x0ak+1x0，因此，當(dāng)，因此，當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)時(shí),ak+1x0,ak+1x0成立成立. .故對(duì)恣意的故對(duì)恣意的nNnN* *，anx0anx0成立成立. .3000 xxx33211000aaaxxx33k 1kk000aaaxxx當(dāng)當(dāng)ax0ax0時(shí)，易證時(shí)，易證h(x)h(x)在在(x0,+)(x0,+)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增. .那么那么h(a)h(x0)=0h(a)h(x0)=0，即，即a3a+ .a3a+ .從而從而 a3a3，即即a2aa2a，由此猜測(cè)：，由此猜測(cè)：ana.ana.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：下面用數(shù)學(xué)

30、歸納法證明：(i)(i)當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)，時(shí)，a1aa1a顯然成立；顯然成立；(ii)(ii)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k(k1,kNn=k(k1,kN* *) )時(shí)，有時(shí)，有akaaka成立，那么當(dāng)成立，那么當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)，時(shí)，由由 知，知，ak+1aak+1a，因此，當(dāng)，因此，當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)，時(shí)，ak+1aak+1a成立成立. .故對(duì)恣意的故對(duì)恣意的nNnN* *，anaana成立成立. .綜上所述，存在常綜上所述，存在常數(shù)數(shù)M=maxx0,aM=maxx0,a，使得對(duì)于恣意的，使得對(duì)于恣意的nNnN* *，都有，都有anM.anM.a3211aaaaa33k 1kkaaaaa

31、a【反思【反思感悟】數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)感悟】數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)n n有關(guān)的命題有關(guān)的命題的重要方法的重要方法. .它的獨(dú)到之處便是運(yùn)用有限個(gè)步驟就能證明無限它的獨(dú)到之處便是運(yùn)用有限個(gè)步驟就能證明無限多個(gè)對(duì)象，而實(shí)現(xiàn)這一目的的工具就是遞推思想多個(gè)對(duì)象，而實(shí)現(xiàn)這一目的的工具就是遞推思想. .假設(shè)待證的假設(shè)待證的不等式與正整數(shù)有關(guān)，那么可思索用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)展證明不等式與正整數(shù)有關(guān)，那么可思索用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)展證明, ,并并留意適中選用放縮法留意適中選用放縮法. .【變式訓(xùn)練】設(shè)【變式訓(xùn)練】設(shè)anan (nN (nN* *),),證明：證明： n(n n(n1)an (n1)an (

32、n1)2.1)2.【證明】當(dāng)【證明】當(dāng)n n1 1時(shí)，時(shí)，anan ， n(n+1) n(n+1)1 1， (n+1)2 (n+1)22 2 ， n n1 1時(shí)不等式成立時(shí)不等式成立. .假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n nk(k1,kNk(k1,kN* *) )時(shí)不等式成立，時(shí)不等式成立，即即 k(k k(k1)ak (k1)ak (k1)21)2，那么當(dāng)那么當(dāng)n nk k1 1時(shí)，時(shí)， k(k k(k1)1) ak+1 (k ak+1 (k1)21)2 , ,1 22 3n(n1) 12121221212121212k1 (k2)k1 (k2)由于由于 ， (k (k1)21)2 (k (k1)21)2k k (k (k2)22)2，所以，所以 (k (k1)(k1)(k2)ak+1 (k2)ak+1 (k2)22)2，即即n nk k1 1時(shí)不等式也成立時(shí)不等式也成立. .