《電動力學》教案 第一章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律

1、 第一章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律1 根據(jù)算符的微分性和矢量性，推導下列公式：解：記（微分性），是作用于的算符，是作用于的算符；利用（矢量性）得：在上式中令即得2 設(shè)是空間坐標的函數(shù)，證明：，證：對于注意到有而，另外所以，同理可得，故3 從源點（即電荷電流分布點）到場點的距離，以及矢徑分別為對源變數(shù)和場變數(shù)求微商的算符分別為，（1）證明下列結(jié)果，并體會算符與的關(guān)系：（單位矢量），（單位張量）， ，（2）求，其中和均為常矢量。解：（1）得，得當時得 （2）4 應(yīng)用高斯定理證明 應(yīng)用斯托克斯定理證明 證：用非零的任意常矢量點乘式左邊得： 在公式中令得：由高斯公式得： 設(shè)為任意非零矢量，令，代入斯托克斯公

2、式 5 已知一個電荷系統(tǒng)的偶極矩定義為 利用電荷守恒定律證明的變化率證：而 上式中封閉曲面S為電荷系統(tǒng)的邊界，電流不能流出這個邊界，故同理，方法二 電荷實際上以量子化形式存在。設(shè)第個粒子的電荷量為，位矢為，系統(tǒng)的總電荷量和電偶極矩分別為，每個粒子運動形成的電流為，其中是運動速度，而系統(tǒng)的總電荷量守恒，故：6 若是常矢量，證明除點以外，矢量的旋度等于標量的梯度的負值，即。證：因為所以而 （） （）又因為故時，7 有一內(nèi)外半徑分別為和的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的介電場常數(shù)為。使介質(zhì)內(nèi)均勻帶靜止自由電荷，求（1） 空間各點的電場；（2） 極化體電荷和極化面電荷。解：由高斯定理有時，同理 時，時，可以寫成（2

3、）由上式得時，時， 時，8 半徑分別為和的無窮長中空導體圓柱，沿軸向流有恒定均勻自由電流。導體的磁導率為。求磁感應(yīng)強度和磁化電流。解：由安培環(huán)路定理得時，同理 時，時，可以寫成（2）由上式得時，時， 時，9 證明均勻介質(zhì)內(nèi)部的極化電荷體密度總是等于自由電荷體密度的倍。解：電場本構(gòu)關(guān)系，對于各向同性、線性、均勻介質(zhì)，為常數(shù)，且有和，得： 對于一般介質(zhì)，因此與符號相反。10 證明兩個閉合的恒定電流圈之間的相互作用力大小相等，方向相反；但兩個電流元之間的相互作用力一般不服從牛頓第三定律。解：據(jù)安賠定律，電流圈對另一電流圈中的一個電流元的作用力為 其中是從電流圈中的每一個電流元到電流圈中的一個電流元的

4、矢徑。而電流圈對電流圈的總作用力為：由斯托克斯定理，上式右方第一項對閉合路徑的積分可化為面積分，且，故有：同理，電流圈對電流圈的總作用力為：其中是從電流圈中的每一個電流元到電流圈中的一個電流元的矢徑。且，因此，即滿足牛頓第三定律。對兩個孤立電流元和，有一般來說，即不滿足牛頓第三定律。11 平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，它們的厚度分別為和，電容率為和，今在兩極板上接上電動勢為的電池，求：（1） 電容器上兩極板上的自由電荷面密度；（2） 介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度；（3） 若介質(zhì)是漏電的，電導率分別為和，當電流達到穩(wěn)定時，上述結(jié)果如何？解：（1）界面上自由電荷面密度由邊值關(guān)系 確定。靜電情況下導體板

5、中的電場為零，兩介質(zhì)中，有 ，正極板與介質(zhì)1：負極板與介質(zhì)2：（2）在兩種絕緣介質(zhì)分界面上沒有自由電荷，得：，即由兩極板之間已知電動勢，有 （3）當介質(zhì)漏電且有恒定電流時，有，由歐姆定律，得 若兩極板的厚度遠小于和，則有，而，可以驗證兩種情形下均有，即電容器整體上均保持電中性。12 證明：（1）當兩種絕緣介質(zhì)的分界面上沒有自由電荷時，電場線的曲折滿足：其中和分別是兩種介質(zhì)的電容率，和分別是界面兩側(cè)電場線與法線的夾角；（3） 當兩種導電介質(zhì)內(nèi)流有恒定電流時，分界面上電場線的曲折滿足：其中和分別是兩種介質(zhì)的導電率。解：（1）絕緣介質(zhì)分界面上自由電荷密度，則 ，對于線性均勻介質(zhì)，有， （2）當電流恒

6、定時，有， 對于線性均勻介質(zhì)，有，13 試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導體的分界面上，在靜電情況下，導體外的電場線總是垂直于導體表面；在恒定電流情況下，導體內(nèi)的電場線總是平行于導體表面。證：（1）設(shè)導體表面自由電荷密度為，邊值關(guān)系，令介質(zhì)1為導體，介質(zhì)2為絕緣體，則，對于線性均勻介質(zhì)，有，即導體外的電場線總是垂直于導體表面。 （2）電流恒定時，邊值關(guān)系，令介質(zhì)1為導體，介質(zhì)2為絕緣體，則： 對于線性均勻介質(zhì)，有，即導體內(nèi)的電場線總是平行于導體表面。14 內(nèi)外電極的截面半徑分別為和的無限長圓柱形電容器，單位長度荷電為，兩極間填充電導率為的非磁性物質(zhì)。（1） 證明在介質(zhì)中任意一點傳導電流與位移電流嚴格抵消，因此內(nèi)部無磁場；（2） 求隨時間衰變的規(guī)律；（3） 求與軸相距為的地方的能量耗散功率密度；（4） 求長度為的一段介質(zhì)總的能量耗散功率，并證明它等于這段介質(zhì)的電場能量減少率。解：（1）由題意知電容器外部無電場。若內(nèi)部為線性均勻介質(zhì)，則有。以圓柱中心軸為軸，根據(jù)對稱性，由高斯定理得，介質(zhì)內(nèi)傳導電流密度和位移電流密度分別為，將上式兩邊求散度，并有場方程和電流的連續(xù)性方程，得電極上自由電荷密度的時變率：與相加，得介質(zhì)任一點任意時刻均有： 因介質(zhì)是非磁性的，即，故有（2）由電極上自由電荷密度的時變率：分離變量后積分得：，其中是時電極的自由