2.2常見函數(shù)附思維導(dǎo)圖要點(diǎn)

1、2.2 常見函數(shù)一、 一次函數(shù)和常函數(shù)：思維導(dǎo)圖：（一） 、一次函數(shù) （二）、常函數(shù)定義域：（- ，+ ） 定義域: （- ，+ ）值 域：（- ，+ ） 正 k=0 反 值 域： b 解析式：y = kx + b( k 0 ) 解析式：y = b ( b為常數(shù))圖 像：一條與x軸、y軸相交的直線 圖 像：一條與x軸平行或重合的直線 y b>0 b=0 b<0 y y b>0 o x 0 x o x b=0 b<0 b=0 b>0 b<0 K > 0 k < 0單調(diào)性： k > 0 ,在（- ，+ ） 單調(diào)性：在（- ，+ ）上不單調(diào) k

2、< 0 ,在（- ，+ ）奇偶性： 奇偶性: 偶函數(shù) 周期性: 非周期函數(shù) 周期性：周期函數(shù)，周期為任意非零實(shí)數(shù)反函數(shù)：在（- ，+ ）上有反函數(shù) 反函數(shù):在（- ，+ ）上沒有反函數(shù) 反函數(shù)仍是一次函數(shù)例題：二、二次函數(shù)1、定義域：（- ，+ ）2、值 域： 3、解析式： 4、圖 像:一條開口向上或向下的拋物線 對(duì)稱軸： ； ：與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。 5、單調(diào)性： 6、奇偶性：7、周期性：非周期函數(shù)8、反函數(shù)：在（- ，+ ）上無反函數(shù)， 例題:三、反比例函數(shù)和重要的分式函數(shù)（一）、反比例函數(shù) （二）、分式函數(shù)定義域：（- ，0）（0，+ ） 定義域： 值 域：（- ，0）（0，+ ） 值

3、 域: 解析式： 解析式：圖 像：以x軸、y軸為漸進(jìn)線的雙曲線 圖 像：以和為漸近線的雙曲線 y y 0 x 0 x k > 0 k < 0單調(diào)性： k>0,（- ，0）,（0，+ ） 單調(diào)性:在和上 k<0,（- ，0）,（0，+ ） 單調(diào)性相同奇偶性：奇函數(shù) 奇偶性：非奇非偶對(duì)稱性：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 對(duì)稱性：關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱周期性：非周期函數(shù) 周期性：非周期函數(shù)反函數(shù)：在定義域上有反函數(shù)， 反函數(shù)：在定義域有反函數(shù)， 反函數(shù)是其本身。 反函數(shù)是（三）、 （四）、定義域：（- ，0）（0，+ ） 定義域：（- ，0）（0，+ ）值 域： 值 域:（- ，+ ）圖 像： 圖

4、 像： 單調(diào)性： 單調(diào)性：（- ，0）（0，+ ）奇偶性：奇函數(shù) 奇偶性：奇函數(shù)對(duì)稱性：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 對(duì)稱性：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱四、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)（一）、指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算及性質(zhì)：1、根式過去，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪的概念及其性質(zhì)：整數(shù)指數(shù)冪概念整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)an（nN*）（1）amanamn（m，nZ）a01（2）（am）nam·n（m，nZ）an（3）（ab）nan·bn（nZ）因?yàn)閍m÷an可看作am·an，所以am÷anamn可以歸入性質(zhì)(1)；又因?yàn)?)n可看作an·b-n，所以（）n可以歸入性質(zhì)(3).現(xiàn)在我們來研

5、究如何用冪表示底數(shù)。（1）、n次方根的定義：若xna（n1且nN*），則x叫a的n次方根.問題：x如何用a表示呢?【平方根】偶次方根有下列性質(zhì)：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)且互為相反數(shù)，負(fù)數(shù)沒有偶次方根；【立方根】奇次方根有下列性質(zhì)：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的奇次方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次方根是負(fù)數(shù).（2）、n次方根的性質(zhì)：，其中叫根式，n叫根指數(shù)，a叫被開方數(shù).（3）、根式的運(yùn)算性質(zhì)（） 性質(zhì)推導(dǎo)過程：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，x，由xna得（）na；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，x±，由xna得（）na；綜上所述，可知：（）na.性質(zhì)推導(dǎo)過程：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，由n次方根定義得：a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由n次方根定義得：

6、a±則a±綜上所述：例1、求下列各式的值(1) （2）(3) （4）（ab）解：(1) 8(2) 10(3) 33(4) abab（ab）例2、求值：分析：（1）題需把各項(xiàng)被開方數(shù)變?yōu)橥耆椒叫问?，然后再利用根式運(yùn)算性質(zhì)；解：2、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（1）.正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義 （2）.規(guī)定：(1) (2)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0.(3)0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義.規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后，指數(shù)的概念就從整數(shù)推廣到有理數(shù)指數(shù).當(dāng)a0時(shí)，整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于有理指數(shù)冪也同樣適用. 若a0，p是一個(gè)無理數(shù)，則ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無理數(shù)指數(shù)冪都適用，

7、有關(guān)概念和證明在本書從略.即對(duì)于任意實(shí)數(shù)r,s,均有下面的運(yùn)算性質(zhì).3.冪的運(yùn)算性質(zhì)(1) (2) (3) 例：求下列各式的值：(1)25 （2）27（3）（）（4）（）（5）（6）2××解：(1)53125(2)329(3)(4) (5)= (6)2××2×3×（）×（3×22）2×3×3×2×3×2（2×2×2）×（3×3×3）2×32×363、對(duì)數(shù)運(yùn)算及運(yùn)算性質(zhì)：引例：假設(shè)1995年我國的國

8、民生產(chǎn)總值為 a億元，如每年平均增長8%，那么經(jīng)過多少年國民生產(chǎn)總值是1995年的2倍？設(shè)：經(jīng)過x年國民生產(chǎn)總值是1995年的2倍則有 a（18%）x2a 1.08x2用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)圖像，計(jì)算出x值這是已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)的問題。即指數(shù)式 abN中，已知a 和N求b的問題。（這里 a0且a1）（1）定義：一般地，如果 a（a0且a1）的b次冪等于N, 就是 abN，那么數(shù) b叫做 a為底 N的對(duì)數(shù)，記作 log a Nb，a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。（2）、指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互換：abN + - log a Nb 例如：4216 log4162 ； 102100 log10100

9、242 log42 ； 1020.01 log100.012（3）、對(duì)數(shù)的性質(zhì)、負(fù)數(shù)與零沒有對(duì)數(shù) 在指數(shù)式中 N > 0 、對(duì)任意 a0且a1， 都有 a01 log a 10同樣易知： log a a1、對(duì)數(shù)恒等式：如果把 abN 中的 b寫成 log a N, 則有 aN、指數(shù)恒等式：、常用對(duì)數(shù)我們通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)。為了簡便,N的常用對(duì)數(shù)例如：log 105簡記作lg 5 log103.5簡記作lg3.5.、自然對(duì)數(shù)在科學(xué)技術(shù)中常常使用以無理數(shù)e2.71828為底的對(duì)數(shù)，以e為底的對(duì)數(shù)叫自然對(duì)數(shù)，為了簡便，N的自然對(duì)數(shù)。例如：loge3簡記作ln3 loge10簡記

10、作ln10（4）.運(yùn)算性質(zhì)：若a0，a1，M0，N0，則(1) ;(2) ;(3) 【現(xiàn)在我們來證明運(yùn)算性質(zhì)，為了利用已知的冪的運(yùn)算性質(zhì)，應(yīng)將對(duì)數(shù)形式根據(jù)對(duì)數(shù)的定義轉(zhuǎn)化為指數(shù)形式，因此需要引進(jìn)中間變量，起一定的過渡作用】.證明：(1)設(shè)logaMp，logaNq由對(duì)數(shù)的定義得：Map，Naq MNap·aqap+q再由對(duì)數(shù)定義得logaMNpq，即證得logaMNlogaMlogaN(2)設(shè)logaMp，logaNq 由對(duì)數(shù)的定義可以得Map，Naq， apq，再由對(duì)數(shù)的定義得 logapq即證得logalogaMlogaN(3)設(shè)logaMp 由對(duì)數(shù)定義得MapMn（ap）nanp

11、 再由對(duì)數(shù)定義得logaMnnp 即證得logaMnnlogaM例：計(jì)算：（1）lg142lglg7lg18 （2） （3） 【解析】(1)、解法一：lg142lglg7lg18lg(2×7)2(lg7lg3)lg7lg(32×2)lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20解法二：lg142lglg7lg18lg14lg（）2lg7lg18lglg10（2）（3）（5）.對(duì)數(shù)換底公式：證明：設(shè)log a Nx , 則 axN 兩邊取以m為底的對(duì)數(shù)：log m axlog m Nx log m alog m N 從而得：x log a N兩個(gè)常用的推論: 證：log

12、a b·log b a1 log bnlog a b 例：設(shè) x、y、z（0，）且3x4y6z 1° 求證 ； 2° 比較3x，4y，6z的大小 證明1°：設(shè)3x4y6zk x、y、z（0，） k1 取對(duì)數(shù)得：x， y， z 2° 3x4y（）lgklgk0 3x4y 又4y6z（）lgklgk0 4y6z 3x4y6z （二）、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)已知，我們從函數(shù)的角度分別研究這三者之間的關(guān)系：關(guān)系一：N如何隨著b的變化而變化以指數(shù)為自變量、以冪為因變量的函數(shù)指數(shù)函數(shù)；關(guān)系二：N如何隨著a的變化而變化以底數(shù)為自變量、以冪為因變量的函數(shù)冪

13、函數(shù)；關(guān)系三：a如何隨著b的變化而變化(指數(shù)為自變量、冪為因變量) 指數(shù)函數(shù)；+ 關(guān)系四：b如何隨著N的變化而變化（以真數(shù)為自變量、以對(duì)數(shù)為因變量） 對(duì)數(shù)函數(shù)；關(guān)系五：a如何隨著N的變化而變化（以底數(shù)為自變量、冪為因變量） 指數(shù)函數(shù)關(guān)系六：b如何隨著a的變化而變化； 定義：函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量。 函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)。 函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中x是自變量。1、指數(shù)函數(shù) 2、對(duì)數(shù)函數(shù)定義域：（- ，+ ） 定義域:（0，+ ）值 域：（0，+ ） 值 域：（- ，+ ）解析式： 解析式：圖 像：位于x 軸上方，向x軸無限接近 圖 像：位于y軸右側(cè)，向y軸無限接近 y y y y 1 1 0

14、x 0 x 0 1 x 0 1 x 【特殊點(diǎn)】恒過（0，1），（1，a) 【特殊點(diǎn)】恒過（1，0)，（a，1）【y = 1】 【x = 1】 或 或 或 或 【底數(shù)的大小】 y 【底數(shù)的大小】 y x 0 x 0 單調(diào)性： 單調(diào)性： 奇偶性：無 奇偶性：無周期性：無 周期性：無反函數(shù)： 反函數(shù)： 3、冪函數(shù)問題1：我們知道，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可以與根式相互轉(zhuǎn)化把下列各函數(shù)先化成根式形式，再指出它的定義域和奇偶性利用計(jì)算機(jī)畫出它們的圖象，觀察它們的圖象，看有什么共同點(diǎn)？（1）y；（2）y；（3）y；（4）y思路：先將各式化為根式形式，函數(shù)的定義域就是使這些根式有意義的實(shí)數(shù)x的集合；奇偶性直接利用定義進(jìn)行

15、判斷（1）定義域?yàn)?，），（2）（3）（4）定義域都是R；其中（1）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，（2）是奇函數(shù)，（3）（4）是偶函數(shù)它們的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（0，0）和（1，1），且在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增問題2：仿照問題1研究下列函數(shù)的定義域和奇偶性，觀察它們的圖象看有什么共同點(diǎn)？（1）yx1；（2）yx2；（3）y；（4）y思路：先將負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪，再將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化為根式，函數(shù)的定義域就是使這些分式和根式有意義的實(shí)數(shù)x的集合；（1）（2）（4）的定義域都是x|x0，（3）的定義域是（0，）；（1）（4）是奇函數(shù)，（2）是偶函數(shù)，（3）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)它們的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（1，1），且在

16、第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞減，并且以兩坐標(biāo)軸為漸近線總結(jié)：研究冪函數(shù)時(shí)，通常先將負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪，再將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化為根式（冪指數(shù)是負(fù)整數(shù)時(shí)化為分式）；根據(jù)得到的分式或根式研究冪函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的定義域就是使這些分式和根式有意義的實(shí)數(shù)x的集合；奇偶性和單調(diào)性直接利用定義進(jìn)行判斷問題1和問題2中的這些冪函數(shù)我們要記住它們圖象的變化趨勢(shì)，有利于我們進(jìn)行類比【五個(gè)重要的冪函數(shù)】：（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 定義域值域奇偶性單調(diào)性定點(diǎn)【冪函數(shù)性質(zhì)】（1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義，并且圖象都過點(diǎn)（1，1）；（2）時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)特別地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；

17、當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸例1討論函數(shù)y的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性，并畫出圖象的示意圖思路：函數(shù)y是冪函數(shù)（1）要使y有意義，x可以取任意實(shí)數(shù)，故函數(shù)定義域?yàn)镽（2）xR，x20 y0（3）f（x）f（x），函數(shù)y是偶函數(shù)；（4）n0，冪函數(shù)y在0，上單調(diào)遞增由于冪函數(shù)y是偶函數(shù)，冪函數(shù)y在（，0）上單調(diào)遞減（5）其圖象如右圖所示例2比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大?。海?）1.5，1.7；（2）0.71.5，0.61.5；（3）（1.2），（1.25）解析：（1）考查冪函數(shù)y的單調(diào)性，在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增， 1.51.7 1.51.7（2）考查冪函數(shù)y的單調(diào)性，同理0.71.5