第1章數學物理方程定解問題

1、數學物理方程數學物理方程定解問題定解問題主要內容主要內容r 三類數學物理方程的導出三類數學物理方程的導出r 定解條件定解條件r 數學物理方程的分類（自學）數學物理方程的分類（自學）（一）（一）梯度梯度矢量矢量zkyjxi令令三類數學物理方程的導出三類數學物理方程的導出)()(zkyjxizkyjxi222222zyx222222zyx有時記有時記22222yx2222223zyx記記22tuutt22xuuxxtuut222222zyx（二）（二）三類數學物理方程的導出三類數學物理方程的導出1 1 弦的橫振動弦的橫振動xx+ x1T2T1M2M12),(txFxudsdm0coscos1122

2、TT1122sinsinTT2211sinsinttTTds u弦的橫向位移為弦的橫向位移為 u(x,t)ttdmu考慮小振動考慮小振動xx+ x1T2T1M2M12xu22)()(dydxds0coscos1122TTttdsuTT1122sinsin012TTttdsuTT1122sinsindx22sintgxxxu11sintgxxuttxxdxxxdxuTuTu)()(ttxxdxxxdxuuuT)(ttxxdxxxudxuuT)(TTT12ttxxuTu0 xxttTuuTa 220ttxxua u記記xx+ x1T2T1M2M12xu例：一長為例：一長為l的均勻柔軟的均勻柔軟輕繩

3、輕繩，其一端固定在豎直軸上，其一端固定在豎直軸上，繩子以角速度繩子以角速度 轉動，試推導此繩相對于水平線的橫轉動，試推導此繩相對于水平線的橫振動方程振動方程xx+ x1T2T1M2M12xudxdm弦的橫向位移為弦的橫向位移為 u(x,t)xu lxx+ xttdxuTT1122sinsinxdxTT22211coscosxdxdT22( )( )lxT lT xxdx ttxxdxxxdxuTuTu)()(ttxxdxxxdxuTuTu)()(22221( )()2lxT xxdxlxttxxdxxxdxuuxluxl)(21)(212222222221()02ttxulx ux整理得：整理

4、得：x=l 端自由端自由( )0T l 2 2 均勻桿的縱振動均勻桿的縱振動將細桿分成許多段將細桿分成許多段t時刻，時刻，A段伸長段伸長),(txu),(),(txutdxxutduF)(xuxxdxx )(dxxuABCt時刻，時刻，B段伸長段伸長相對伸長相對伸長dxtxutdxxu),(),(xu事實上，相對伸長事實上，相對伸長是位置的函數，如是位置的函數，如xxudxxxu相對伸長相對伸長由胡克定律，由胡克定律，B兩端的兩端的張應力（單位橫截面張應力（單位橫截面的力）分別為的力）分別為xxudxxxuxxuYdxxxuYB段運動方程為段運動方程為22)(tuSdxxuYSxuYSxdxx

5、ttxxdxxxudxuuYF)(xuxxdxx )(dxxuABCB段運動段運動方程為方程為ttxxdxxxudxuuYttxuxuYttxxuYuYa 220ttxxua u記記22)(tuSdxxuYSxuYSxdxx3 3 擴散方程擴散方程由于濃度不同引起的分子運動由于濃度不同引起的分子運動qD u 擴散流強度擴散流強度q ，即即單位單位 時間內時間內流過流過單位單位橫截橫截面積面積的分子數或質的分子數或質量，與量，與濃度濃度 u(單位體積內的粒子單位體積內的粒子數數） 的下降成正比的下降成正比 D 為擴散系數為擴散系數()uuuqDijkxyz xuDqxyuDqyzuDqz 負號表

6、擴散方向負號表擴散方向與濃度梯度相反與濃度梯度相反nukq大小大小dydzdtqxxuDqxyuDqyzuDqzxyzdxdydz x方向左表面，方向左表面，dt 時間時間流流入六面體的流量為入六面體的流量為流出六面體的流量為流出六面體的流量為dydzdtqdxxxxx+dxdydzdtqxx x方向左表面，單位時間方向左表面，單位時間流入六面體的流量為流入六面體的流量為單位時間流出六面體的流量為單位時間流出六面體的流量為dydzdtqdxxx凈流入量為凈流入量為dydzdtqdydzqdxxxxxdydzdtqqxxdxxx)(dxdydzdtxqx),(zyxxyzdxdydzx 方向凈流

7、入量為方向凈流入量為dxdydzdtxqxdxdydzdtxuDx)(y 方向凈流入量為方向凈流入量為dxdydzdtyuDy)(z 方向凈流入量為方向凈流入量為dxdydzdtzuDz)(),(zyxxyzdxdydz立方體凈流入量為立方體凈流入量為dxdydzdtzuDzdxdydzdtyuDydxdydzdtxuDx)()()(如立方體內無源和匯如立方體內無源和匯dxdydzuutdtt)(dt時間內粒子增加數為時間內粒子增加數為dxdydzduzyx,),(zyxxyzdxdydzdxdydzdttudxdydztudxdydzzuDzdxdydzyuDydxdydzxuDx)()()

8、(0)()()(dxdydzzuDzyuDyxuDxtuD=恒量，恒量， 令令 a2=D2()0txxyyzzua uuu02uaut02xxtuau 一維一維02uaut02xxtuau若單位時間內單位體積中產生的粒子數為若單位時間內單位體積中產生的粒子數為 F=(x,y,z,t) 與與 u 無關無關),(2tzyxFuaut),(2tzyxFuaut若單位時間內單位體積中產生的粒子數為若單位時間內單位體積中產生的粒子數為 b2u ubuaut22022ubuaut4 4 熱傳導方程熱傳導方程),(),()(txuttxuxAcQ0t設有一根恒截面為設有一根恒截面為A的均勻細桿，沿桿長有溫度

9、差，的均勻細桿，沿桿長有溫度差，其側面絕熱其側面絕熱u(x,t) 為為 x 處處 t 時刻溫度，時刻溫度， 為桿密度為桿密度xxx+ x （1）dt 時間內時間內引起小段引起小段 x溫度溫度升高所需熱量為升高所需熱量為txAucQtxxx+ x （2）Fourier實實驗定理驗定理：單位單位 時時間內流過單位間內流過單位橫橫截截面積的熱量面積的熱量 q (熱流強度量）與熱流強度量）與溫度的下降成正溫度的下降成正比比nnukq k 為熱傳導系數為熱傳導系數 一維情況下如圖有一維情況下如圖有xukqxnukq大小大小Adtqxx x方向左表面，方向左表面，dt 時間時間流入流入圓圓柱體的熱量為柱體

10、的熱量為dt 時間時間流出流出圓柱體的熱量為圓柱體的熱量為Adtqdxxxxxx+ xAdtqAdtqdxxxxxdt 時間凈流時間凈流入的熱量為入的熱量為AdxdtxqxdxdtAucQtAdxdtkudxdtAucxxtAdxdtkuxxxukqx20txxua ucka25 5 泊松方程泊松方程電通量的高斯定理電通量的高斯定理0qSdEdV01SdEdVE0/ Errl dErVrV0)()(0VE20/V 稱為泊松方程稱為泊松方程20/V 稱為泊松方程稱為泊松方程稱為稱為 Laplace Laplace 方程方程020V),(2tzyxFuaut對于對于穩(wěn)定濃度分布有穩(wěn)定濃度分布有0t

11、u),(),(zyxFtzyxF2( , , )/uF x y za 為泊松方程為泊松方程0),(zyxF0u 為為 Laplace Laplace 方程方程6 6 穩(wěn)定濃度分布穩(wěn)定濃度分布和和若若若若定解條件定解條件輸運方程輸運方程（一）初始條件（一）初始條件02uaut初始條件要求已知初始條件要求已知),(),(0zyxtzyxutt弦振動方程弦振動方程02uautt初始條件要求已知初始條件要求已知),(),(0zyxtzyxutt),(),(0zyxtzyxuttt位移滿足位移滿足速度滿足速度滿足x=l / 2xux=lhx00),(0ttttzyxu位移滿足位移滿足速度滿足速度滿足0)

12、(ttxu2/0, /2hx ll, 2/)(2llxllh（二）邊界條件（二）邊界條件),(),(000000tzyxftzyxuzyx第一類邊界條件第一類邊界條件),(),(000000tzyxfntzyxuzyx第二類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件第三類邊界條件),(),(000000tzyxfntzyxuHuzyx),(),(000000tzyxftzyxuzyx如兩端固定弦如兩端固定弦, ,端點位移端點位移x=l / 2xyx=lhx00),(0 xtxu0),(lxtxu（1 1）第一類邊界條件）第一類邊界條件如細桿熱傳導端點溫度如細桿熱傳導端點溫度l0 x00),(utxu

13、x1),(utxulx（如擴散端點濃度）（如擴散端點濃度）A）如細桿）如細桿的縱振動，的縱振動，x=a 處受力處受力 f(t)()(tfSYuaxn（2 2）第二類邊界條件）第二類邊界條件)()(tfSYuaxxYStfuaxx)(如桿端自由如桿端自由 f(t)=00axxu),(000000tzyxfuzyxna0 x)(tf如細桿熱傳導端如細桿熱傳導端點有熱量流出點有熱量流出)(tfaxnkuaxxq如細桿熱傳導端如細桿熱傳導端點有熱量流入點有熱量流入axaxxxukq)(tfB B）熱傳導）熱傳導axxuk0 xa如細桿熱傳導，如細桿熱傳導，x=a端自由冷卻端自由冷卻)(axuh則熱流強

14、度與桿端則熱流強度與桿端 u|x=a 和周圍介質溫度和周圍介質溫度 差有關系差有關系axaxxnukq（3 3）第三類邊界條件）第三類邊界條件axxHuu)(axxuk),()(000000tzyxfHuuzyxn0 xax=0 處處0 xa)(0 xuh00 xxxnukq0)(xxHuu0 xxukaxxHuu)(0)(xxuk（三）銜接條件（三）銜接條件0sinsin)(21TTtF)(tFx0 xy012), 0(), 0(00txutxu11sintan), 0(0txux22sintan), 0(0txux)(), 0(), 0(00tFtxTutxTuxx), 0(), 0(00

15、txutxu例：半徑為例：半徑為a,表面熏黑的金屬長圓柱，受到陽光照射，表面熏黑的金屬長圓柱，受到陽光照射，陽光的方向垂直于柱軸，熱流強度為陽光的方向垂直于柱軸，熱流強度為M，寫出熱傳導的，寫出熱傳導的邊界條件。邊界條件。1sinQMdSdt解：解：xy陽光照射，陽光照射，流入流入圓柱的熱量為圓柱的熱量為dS由于溫度梯度，因散由于溫度梯度，因散熱流出圓柱的熱流為熱流出圓柱的熱流為2-naaQkudSdtukdS dtxy設柱面外溫度為設柱面外溫度為u0dtdSukQa2柱面溫度柱面溫度 u| = a由牛頓冷卻定律由牛頓冷卻定律120()aQQh uudSdt1sinQMdSdt0sinaauMdSdtkdSdth uudSdt令令kMm khH 02當當M=0時，時，m=0 xy0sinaauMdSdtkdSdth uudSdt0sinauHumHu0auHuHu例：一根導熱桿由兩段構成，兩段例：一根導熱桿由兩段構成，兩段熱傳導系數、