數(shù)學物理方法第十章 格林函數(shù)法

1、積分變換法：無界區(qū)域的定解問題， 解一般為無窮積分10 格林函數(shù)格林函數(shù) 10.1 函數(shù)函數(shù)10 格林函數(shù)格林函數(shù) 0 0( ) 0 xxx( )1x dx2、定義、定義 函數(shù)函數(shù)更普遍的定義為更普遍的定義為10 格林函數(shù)格林函數(shù) 10 格林函數(shù)格林函數(shù) 10 格林函數(shù)格林函數(shù) 100000()4 ( ),( )0|( )|6( )0; ( )( )0 xx1kiiiixxxxxxxxaxxxxxxdxxaaxxH xxHaxxxad 5、 函數(shù)是偶函數(shù)， 函數(shù)是奇函數(shù)、 函數(shù)的、其中 是的單付氏變根、（換為、，拉氏變換也為1。10 格林函數(shù)格林函數(shù) 其中，其中， 為不同時為零的常數(shù)。為了得到

2、定解問題為不同時為零的常數(shù)。為了得到定解問題(1)(2) 10.2 泊松方程的邊值問題泊松方程的邊值問題, 的解的積分表達式，首先引入格林公式的解的積分表達式，首先引入格林公式一、泊松方程的基本形式一、泊松方程的基本形式 ( , , )( , , )() u x y zv x y zu v du v du vduvd 設函數(shù)和在區(qū)域 直到邊界 上具有連續(xù)一階導數(shù)，而在 中具有連續(xù)的二階導數(shù)，則由高斯格林公式有：第一公式10 格林函數(shù)格林函數(shù) 二、格林公式二、格林公式此式稱為此式稱為化為體積分化為體積分()()()() v u dv udvudu vv udu vv u dvuuvdu vv u

3、 dnn 兩式相減，有格同林理有：即：第二公式10 格林函數(shù)格林函數(shù) 此式稱為此式稱為10 格林函數(shù)格林函數(shù) 10 格林函數(shù)格林函數(shù) 三、積分公式三、積分公式格林函數(shù)法格林函數(shù)法 目標：求解目標：求解10 格林函數(shù)格林函數(shù) 10.1 點源函數(shù)法回顧點源函數(shù)法回顧 由于由于其中其中 為為M與與M0之間的距離之間的距離(3)222000()()()rxxyyzz10 格林函數(shù)格林函數(shù) 000000001(,)() (3), , )(,(,)()()(,) () ()(,) ()()() )1(G M Mu MM x y zG MG M Mu Mu MGMMMM Mu MMMG M Mh MuGGu

4、dG uu G dnnu M （）得：對 （積分，注意以為奇點（在挖去的小球體體積元）同時利用第二格林函數(shù)，有00)(,) ()MMG M Mh Md 若能由此式化簡整理得到若能由此式化簡整理得到u(M),則一定是方程（則一定是方程（1）的解）的解這里這里G就相當于格就相當于格林第二公式中的林第二公式中的v10 格林函數(shù)格林函數(shù) 10 格林函數(shù)格林函數(shù) 00()()(,) ()uGGudu MG M Mh M dnn 于是有：10 格林函數(shù)格林函數(shù) 負號來自內小球面的負號來自內小球面的法向與矢徑方向相反法向與矢徑方向相反10 格林函數(shù)格林函數(shù) 注意到格林函數(shù)的對稱性：注意到格林函數(shù)的對稱性：0

5、0(,)(,)G M MG MM上式的物理意義很難解釋清楚，右邊第一項，上式的物理意義很難解釋清楚，右邊第一項，G(M,M0)代表代表M0點的點源在點的點源在M點產(chǎn)生的場，而點產(chǎn)生的場，而h (M)代表的卻是代表的卻是M點的源。點的源。將上式中的將上式中的G(M0,M)用用G(M,M0)代替且，將代替且，將M和和M0在公式在公式中互換，可得中互換，可得10 格林函數(shù)格林函數(shù) （4）0000,dMMn0其中，d分別表示在區(qū)域 中體分布源和 面分布源內對取體積元和面積元。表示對求導。0000000000()(,) () (,)()(,)u MG M M h M duG M Mdu MG M M d

6、nn10 格林函數(shù)格林函數(shù) 0000000000()(,) () (,)()(,)u MG M M h M duG M Mdu MG M M dnn物理意義：物理意義：（1）右邊第一項積分代表在積分區(qū)域）右邊第一項積分代表在積分區(qū)域 中體分布源中體分布源h(M0)在在M點產(chǎn)生的場的總和；點產(chǎn)生的場的總和；（2）右邊第二、三積分項則是邊界上的源所產(chǎn)生的場。這兩）右邊第二、三積分項則是邊界上的源所產(chǎn)生的場。這兩種影響都是由同一格林函數(shù)給出的。種影響都是由同一格林函數(shù)給出的。上式給出了泊松方程解的積分表達，但由于上式給出了泊松方程解的積分表達，但由于G(M,M0)未知未知且不同邊值條件也需做進一步的

7、分析。且不同邊值條件也需做進一步的分析。10 格林函數(shù)格林函數(shù) 2、泊松方程邊值問題的積分公式、泊松方程邊值問題的積分公式(A)第一類邊界條件第一類邊界條件01()()ug Mf M基本公式變?yōu)榛竟阶優(yōu)?000000()(,) ()()(,)u MG M Mh Mdf MG M Mdn由由邊界條件變?yōu)檫吔鐥l件變?yōu)橹灰灰狦(M,M0)，滿足定解問題，則上式，滿足定解問題，則上式u (M)就都為已知量表示就都為已知量表示000(,)(), (,)0G M MMMMG M M G(M,M0)所構成的定解問題即所構成的定解問題即 下式稱為泊松方程的下式稱為泊松方程的狄氏問題狄氏問題 (),()u

8、h MMuf M 滿足狄氏問題的格林函數(shù)，簡稱為滿足狄氏問題的格林函數(shù)，簡稱為狄氏格林函數(shù)狄氏格林函數(shù)。 10 格林函數(shù)格林函數(shù) 0000000()(,) ()()(,)u MG M Mh Mdf MG M Mdn狄氏積分公式狄氏積分公式0基本積分公式變?yōu)榛痉e分公式變?yōu)?10 格林函數(shù)格林函數(shù) 0000001()(,) ()(,) ()u MG M Mh MdG M Mg M d(B)第二類邊界條件第二類邊界條件1()ug Mn由由邊界條件變?yōu)檫吔鐥l件變?yōu)榈耸讲淮嬖冢驗榈耸讲淮嬖?，因?在第二類在第二類00(,)()G M MMM 齊次邊界條件齊次邊界條件 下無解。下無解。0Gn表示在

9、邊界上是絕熱的，由于邊界絕熱，從點源出來的表示在邊界上是絕熱的，由于邊界絕熱，從點源出來的10 格林函數(shù)格林函數(shù) 從物理上看，其意義十分明顯。方程從物理上看，其意義十分明顯。方程可看成穩(wěn)定的熱傳導方程在可看成穩(wěn)定的熱傳導方程在M0點有一個點熱源，而邊界條件點有一個點熱源，而邊界條件熱量，會使體積內的溫度不斷升高，而不可能達到穩(wěn)定狀態(tài)。熱量，會使體積內的溫度不斷升高，而不可能達到穩(wěn)定狀態(tài)。00(,)()G M MMM 顯然，為了解決這一矛盾，或者修改格林函數(shù)所滿足的方程顯然，為了解決這一矛盾，或者修改格林函數(shù)所滿足的方程0Gn00(,)()G M MMM 使之與邊界條件使之與邊界條件 相容，相容

10、，0Gn這就要引入所謂的廣義格林函數(shù)方程；或者修改邊界條件使之這就要引入所謂的廣義格林函數(shù)方程；或者修改邊界條件使之與格林函數(shù)所滿足的方程相容，這里不再詳細討論。與格林函數(shù)所滿足的方程相容，這里不再詳細討論。10 格林函數(shù)格林函數(shù) 0,0代入基本積分公式，得代入基本積分公式，得 0000001()(,) ()(,) ()u MG M Mh MdG M Mg M d(C)第三類邊界條件第三類邊界條件00(,)(,)0G M MG M Mn若要求若要求G(M,M0)滿足第三類的齊次邊界，即滿足第三類的齊次邊界，即則當則當G(M,M0)乘乘 ，以，以u(M)乘上式再相減，得乘上式再相減，得0001(,)()(,)(,) ()uG M Mu MG M MG M Mg Mnn10 格林函數(shù)格林函數(shù) 由上面的討論可見，在各類非齊次邊界條件下解泊松方程由上面的討論可見，在各類非齊次邊界條件下解泊松方程(),uh MM 可以先在相應的同類齊次邊界條件下解格林函數(shù)所滿足的方程可以先在相應的同類齊次邊界條件下解格林函數(shù)所滿足的方程00(,)()G M MMM 再通過基本積分公式得到再通過基本積分公式得到 u (M)。1)格林函數(shù)的定解問題，其方程形式比原泊松方程簡單，且格林函數(shù)的定解問題，其方程形式比原泊松方程簡單，且邊界條件又是齊次的，因此求解相對容易。邊界條件又是齊