高等數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)資料

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）復(fù)習(xí)資料 一：函數(shù)的兩個(gè)要素： 定義域 對(duì)應(yīng)法則 1 兩個(gè)函數(shù)相同： （1）定義域相同 （2）對(duì)應(yīng)法則相同 至于自變量與因變量用什么符合來(lái)表示無(wú)所謂。 例如： 與是同一個(gè)函數(shù)。 2 函數(shù)的幾種特性 （1）有界性 如果存在實(shí)數(shù) ，使得 ，則稱在上有上界 如果存在實(shí)數(shù) ，使得 ，則稱在上有下界。有界：既有上界 ，又有下界 。即存在實(shí)數(shù)，使得 等價(jià)于存在 ，使得（2）單調(diào)性若對(duì)區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn) ，都有 ，則稱在內(nèi)單調(diào)增加（減少）。若將“ ”改成“”稱為嚴(yán)格單調(diào)增加（減少）。（3）奇偶性 設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 如果 ，則稱 為偶函數(shù) 如果 ，則稱 為奇函數(shù)

2、（4） 周期性 若 則稱是以為周期的函數(shù) 注：周期通常指的是它的最小正周期 3復(fù)合函數(shù) 設(shè)的定義域?yàn)?，又的定義域?yàn)?，?，則函數(shù)稱為由函數(shù)和 函數(shù) 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)。稱為中間變量，記為：4 基本初等函數(shù)： （1）冪函數(shù) （2）指數(shù)函數(shù) （3）對(duì)數(shù)函數(shù) 特例 （4）三角函數(shù) 等 （5）反三角函數(shù) 等5 初等函數(shù)：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合運(yùn)算得到的并可以用一個(gè)式子表示的函數(shù)。例： 兩個(gè)式子 ，故不是初等函數(shù)6 函數(shù)的極限當(dāng)時(shí)，若無(wú)限地接近于某個(gè)確定的數(shù)，則稱為當(dāng)時(shí)的極限。記為重要結(jié)論：的幾何意義： 一、 是他的水平漸近線 例如： 二、 而 ，則說(shuō)明它有兩條漸近線。例如：

3、兩條漸近線。當(dāng)時(shí) ，如果無(wú)限地接近于某一確定的常數(shù)，則稱為當(dāng)時(shí)的極限。記為：注：（1）在處的極限存在與否與在處有無(wú)定義沒(méi)有關(guān)系。因?yàn)槎x中沒(méi)有要求，只是 （2）趨近于的方式是任意的。（即 可以從左邊 ，也可以從右邊） 左極限：當(dāng)從左邊趨近于（記為：）時(shí) ，則稱為 當(dāng)時(shí)的左極限。記為： 或 。右極限： 即左右極限存在且相等 若： ，則不存在7 無(wú)窮小量定義：以 為極限的變量稱為無(wú)窮?。浚?定義：當(dāng)（或）時(shí) ，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的絕對(duì)值無(wú)限增大注意 無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量，但無(wú)界變量不一定是無(wú)窮大無(wú)窮大的幾何意義： ，直線是函數(shù)圖形的鉛直漸近線 （回憶水平漸近線 定理二：在自變量的同一變化過(guò)程中，

4、如果為無(wú)窮大 ，則為無(wú)窮??；反之 ，如果為無(wú)窮小 ，且 ，則為無(wú)窮大。無(wú)窮小的性質(zhì)：定理三：有限個(gè)無(wú)窮小的和仍是無(wú)窮小定理二：有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小推論：（1） 有極限的量與無(wú)窮小的量的乘積是無(wú)窮小。 （有極限有界）（2）常數(shù)與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小 （3）有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積也是無(wú)窮小8 無(wú)窮小的比較定義： 設(shè)都是無(wú)窮小 (1) 若 ，則稱是比高階的無(wú)窮小 ，記為：(2) 若 ，則稱是比低階的無(wú)窮小(3) 若 ，則稱與是同階無(wú)窮小(4) 若 ，則稱與是等價(jià)無(wú)窮小 ，記為：最重要是等價(jià)無(wú)窮小 ，關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小，我們要記住以下結(jié)論 當(dāng)時(shí) ， ， ， ， ， ， ，注意其引申 即上面的無(wú)窮

5、小可換成其他無(wú)窮小定理一：設(shè) ， ，且存在，則 9 函數(shù)的連續(xù)性定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義 ，如果 ，則稱在點(diǎn)處連續(xù)。強(qiáng)調(diào)：包含 ；記： ，則 相當(dāng)于 相當(dāng)于 由此 ，我們得到連續(xù)的另一個(gè)等價(jià)定義 定義2 ：設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果 ，則稱在點(diǎn)處連續(xù)。 即 ：在處的極限等于它在該點(diǎn)的函數(shù)值與左、右極限相對(duì)應(yīng) ，也有左、右連續(xù)的概念若 ，即 ，則稱在點(diǎn)處左連續(xù)若 ，即 ，則稱在點(diǎn)處右連續(xù)在點(diǎn)處連續(xù)左右都連續(xù) 即 若函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù) ，則稱在點(diǎn)處間斷 。稱為的間斷點(diǎn) 。（1） 可去間斷點(diǎn)極限存在 ，但在點(diǎn)處無(wú)定義或在點(diǎn)處有定義 ，但 。則稱為的可去間斷點(diǎn) 。（2 ）跳躍間斷點(diǎn) 若與

6、存在，但 可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn) 。第一類間斷點(diǎn)的特點(diǎn)是左右極限都存在。第一類間斷點(diǎn)以外的間斷點(diǎn)稱為第二類間斷點(diǎn) 。特點(diǎn)：是至少有一個(gè)單側(cè)極限不存在。 常見(jiàn)的有無(wú)窮間斷點(diǎn) 。特點(diǎn)：至少有一個(gè)單側(cè)極限為無(wú)窮大 。一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的10 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，給以增量（仍然在該鄰域內(nèi)），若存在。 則稱在處可導(dǎo)。 并稱這個(gè)極限值為在處的導(dǎo)數(shù)。記為： ， ， 即 關(guān)于導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明： （1）導(dǎo)數(shù)反映因變量關(guān)于自變量的變化率，即反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度。 （2） 令 ，當(dāng)時(shí) 等價(jià)定義 或（1） 若定義中極限不存在， 則稱在處不

7、可導(dǎo)。 在不可導(dǎo)中有一個(gè)特殊情形。當(dāng) ，則稱在處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大。（2） 如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)處都可導(dǎo)， 就稱函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。（3） 對(duì)于任一個(gè) ，都對(duì)應(yīng)著的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值 ， 。 這個(gè)函數(shù) 叫做原來(lái)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 。記作：或 即 或注 ：（1）導(dǎo)函數(shù)簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)（2）（6）單側(cè)導(dǎo)數(shù) 1、 左導(dǎo)數(shù) 2、 右導(dǎo)數(shù) 存在（7）如果在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) ，且都存在，就說(shuō)在閉區(qū)間上可導(dǎo)。函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線的斜率。 于是：曲線在點(diǎn)處的切線方程可寫成：（1）存在，則 切線方程： 法線方程： （2）若切線方程：法線方程：定理：若在處可導(dǎo) 。則在處必連續(xù)連續(xù)但不可導(dǎo)的例子： 在

8、處 所以連續(xù) ，但不可導(dǎo)注：若不連續(xù) ，則一定不可導(dǎo)11 函數(shù)的微分定義：設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，在處給自變量以增量， 如果相應(yīng)的函數(shù)的增量總能表示為： ，其中與無(wú)關(guān)，是的高階無(wú)窮小。則稱函數(shù)在點(diǎn)處可微 。并稱為在點(diǎn)處的微分。 記作：或 即： 稱為微分系數(shù)。定理：函數(shù)在處可微函數(shù)在處可導(dǎo)我們得到函數(shù)的可微性與可導(dǎo)性是等價(jià)的。 （可微可導(dǎo)）。函數(shù)在處的微分12 函數(shù)的不定積分定義1 設(shè)函數(shù)F（x）在某區(qū)間I上可導(dǎo)，且xI有F(x)=f（x），則稱F（x）為函數(shù)f（x）在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù).定理1 設(shè)F（x）是f（x）在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，則F（x）+C（C為任意常數(shù)）為f（x）的全體原函數(shù).

9、定義 設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上有定義，稱f（x）在區(qū)間I上的原函數(shù)的全體為f（x）在I上的不定積分，記作，其中記號(hào)“”稱為積分號(hào)，f（x）稱為被積函數(shù)，x稱為積分變量.定理1 設(shè)F（x）是f（x）在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，則=F（x）+C，C為任意常數(shù).強(qiáng)調(diào)：不能丟，僅是一個(gè)原函數(shù)，不定積分是原函數(shù)的全體。通常，我們把f（x）在區(qū)間I上的原函數(shù)的圖形稱為f（x）的積分曲線，不定積分的性質(zhì)（1）=+，其中，為常數(shù)；（2）=f（x）；（3）=f(x)+C,C為任意常數(shù).13 函數(shù)的定積分定義 設(shè)函數(shù)f（x在區(qū)間a，b上有界，今取n+1個(gè)分點(diǎn)：a=x0x1x2xi -1xixn -1xn=b，將a，b

10、分成n個(gè)小區(qū)間xi -1，xi，其長(zhǎng)度記為xi=xi -xi -1（i=1，2，n），并令=,若ixi -1,xi（i=1，2，n），極限(i)xi存在，且該極限值與對(duì)區(qū)間a，b的分劃及i的取法無(wú)關(guān)，則稱f（x）在a，b上可積，且稱該極限值為f（x）在a，b上的定積分，記為，其中,f（x）稱為被積函數(shù)，x稱為積分變量，a和b分別稱為積分下限和上限，a，b稱為積分區(qū)間，（i）xi稱為積分和.注意：（1） 定積分是一個(gè)和式的極限 ，它是一個(gè)數(shù)。和式很復(fù)雜 ，區(qū)間的分法 無(wú)窮多 ，點(diǎn)的 取法也無(wú)窮多。 但是，極限與取法、分法無(wú)關(guān)。（2） 定積分由被積函數(shù)與積分區(qū)間確定 ，與積分變量無(wú)關(guān)。即 。 （3

11、） 曲邊梯形的面積 （4） 當(dāng)被積函數(shù)在積分區(qū)間上恒等于1時(shí)，其積分值即為積分區(qū)間長(zhǎng)度，即 =b -a；（5） 可積條件 為方便起見(jiàn)，我們用R（a，b）表示區(qū)間a，b上所有可積函數(shù)的集合，可以證明：（1）若f（x）C（a，b），則f（x）R（a，b）；（2）若f（x）為a，b上的單調(diào)有界函數(shù)，則f（x）R（a，b）；（3）若f（x）在a，b上僅有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則f（x）R（a，b）.定積分的幾何意義：（1） 圖（2） 圖（3） 在上有正有負(fù) 圖 面積的代數(shù)和總之，若f（x）C（a，b），則定積分的幾何意義是表示由x軸、曲線y=f（x）、直線x=a與x=b所圍成的各部分圖形面積的代數(shù)和，其

12、中位于x軸上方的圖形面積取正號(hào)，位于x軸下方的圖形面積取負(fù)號(hào).定積分的性質(zhì)（1） 當(dāng)a=b時(shí)，=0；（2） 當(dāng)ab時(shí)，= -積分中值定理） 設(shè)f（x）C（a，b），則a，b，使得=f（）（b -a）.設(shè)f（x）C（a，b），F(xiàn)（x）是f（x）在a，b上的一個(gè)原函數(shù)，則 =F（b） -F（a）. 要掌握的具體內(nèi)容：如何求極限；如何求導(dǎo)數(shù)與微分如何求不定積分與定積分導(dǎo)數(shù)和定積分的應(yīng)用一 如何求極限求極限的方法（1） 約去零因子法（適用于時(shí)的型）（2） 無(wú)窮小因子分出法（適用于時(shí)的型）當(dāng)時(shí)有理分式的極限為 （3） 有理化（適用于含有根式的極限）（4） 通分（適用于型）（5） 利用兩個(gè)重要極限1 第一

13、個(gè)重要極限 這個(gè)極限的特點(diǎn)：（1）型 （2） 推廣： ，其中是的該變化過(guò)程中的無(wú)窮小2 第二個(gè)重要極限 （是無(wú)理數(shù) ，）幾種變形 有如下特點(diǎn)： （1） 型 （2） 加號(hào)上的量與肩膀上的量互為倒數(shù)推廣：若 ，則 若 ，（6）等價(jià)無(wú)窮小替換當(dāng)時(shí) ， ， ， ， ， ， ，注意其引申 即上面的無(wú)窮小可換成其他無(wú)窮小定理一：設(shè) ， ，且存在，則 強(qiáng)調(diào)：乘積時(shí)才用等價(jià)無(wú)窮小代替 ，在加減中不能代替 ， 即被替換的無(wú)窮小必須處于乘積因子位置例：原式 錯(cuò) 在加減中不要替換（7）利用無(wú)窮小的性質(zhì)（定理二：有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小）（8）利用左右極限與極限的關(guān)系（適用于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限）（9）連續(xù)

14、性的定義（設(shè)連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，則 ）（10）洛必達(dá)法則型，型直接使用法則， 型，將其中的一個(gè)倒下來(lái)，化成型或型，再使用法則。型，通分后化成型，再使用法則。型，化成以為底的指數(shù)，或取對(duì)數(shù)后化成以上10種方法中，特別要注意洛必達(dá)法則與重要極限，無(wú)窮小替換，相結(jié)合二 如何求導(dǎo)數(shù)（1）基本求導(dǎo)公式求導(dǎo)公式：（1）（2） 特例：（3） 特例：（4） 特例： （5） （6） （2）求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則： 為常數(shù)（3） 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理三： 如果在點(diǎn)處可導(dǎo)，而在點(diǎn)處可導(dǎo)， 則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為： 或 鏈?zhǔn)椒▌t ：函數(shù)對(duì)的導(dǎo)數(shù) ：對(duì)的導(dǎo)數(shù) ：對(duì)求導(dǎo) 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對(duì)中

15、間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。（4） 參數(shù)方程的求導(dǎo)法若參數(shù)方程確定與之間的函數(shù)關(guān)系，稱此為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)。求導(dǎo)公式 對(duì)的導(dǎo)數(shù)比上對(duì)的導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) 對(duì)的導(dǎo)數(shù)比上對(duì)的導(dǎo)數(shù)（5） 隱含數(shù)的求導(dǎo)法 什么叫隱含數(shù)？ 定義：由方程所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則： 用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)（6）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法： 先兩邊取對(duì)數(shù) ，然后按照隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求導(dǎo)。 適用范圍：（1）冪指函數(shù) （2）多個(gè)函數(shù)相乘或還有開(kāi)方的情況（7）變限函數(shù)的求導(dǎo)(x)= =f(x) =f（u（x）u(x) -f(v(x)v(x).（8）如何求微分先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則千萬(wàn)不要忘記寫三 如何求積分

16、基本積分公式 =kx+C（k為常數(shù)）, =+C(a -1),特別地： =lnx+C(x0), =ex+C, =+C(a0且a1), =sinx+C, = -cosx+C, =tanx+C, = -cotx+C, =secx+C, = -cscx+C, =+C, =積分的方法一， 分項(xiàng)積分=+，其中，為常數(shù)；=二 換元法第一換元法（湊微分）= F(x)+C.（注意：中間的換元過(guò)程可省略。）第二換元 對(duì)于定積分的第二換元法要注意：（1） 換元必?fù)Q限（2） 當(dāng)時(shí) ，不一定有 ，但下限一定要對(duì)應(yīng)下限 ，上限一定要對(duì)應(yīng)上限（3） 選取可能不唯一 ，原則上：不自找麻煩 ，越小越好三 分部積分 注意：1將誰(shuí)

17、看成 2回歸法對(duì)于定積分還有三個(gè)要注意的地方一， 分段函數(shù)的定積分如果積分區(qū)間包含了被積函數(shù)的分段點(diǎn)，則利用積分對(duì)區(qū)間的可加性，分成幾個(gè)定積分的和。例： ，計(jì)算解：例：，求解：因?yàn)?二 奇零偶倍 三、廣義積分（1）無(wú)窮積分定義： 若廣義積分與都收斂 ，則收斂 ，且定義為這兩個(gè)廣義積分之和。 =計(jì)算： （2）瑕積分定義：若為的瑕點(diǎn)，則若為的瑕點(diǎn)，則若為的瑕點(diǎn)，則計(jì)算：若為的瑕點(diǎn)，則若為的瑕點(diǎn)，則若為的瑕點(diǎn)，則=+四 應(yīng)用題（一）求曲線的切線，法線（二）求極值，單調(diào)區(qū)間，拐點(diǎn)，凹凸區(qū)間，最大值，最小值。確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，極值的步驟為：（1） 寫出定義域（2） 找出駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn) ，將定義域進(jìn)

18、行劃分。（3） 判斷各區(qū)間導(dǎo)數(shù)的符號(hào) ，并判斷單調(diào)性，。（4）寫出單調(diào)區(qū)間，求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值 ，即得全部極值。判斷凹凸區(qū)間，曲線拐點(diǎn)的步驟：（1） 寫出定義域，求（2） 令 ，解出實(shí)根 ，并找出二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，將定義域進(jìn)行劃分。對(duì)每一點(diǎn) ，考察在的左、右兩側(cè)的符號(hào)。寫出凹凸區(qū)間，若左、右兩側(cè)符號(hào)相反， 則為拐點(diǎn)，否則不是。求最值的步驟：（1） 在內(nèi)找出駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，（2） 計(jì)算及（3） 從這些值中找出最大值、最小值。（三）與中值定理有關(guān)的證明題（四）利用單調(diào)性證明不等式（五）關(guān)于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明題（六）求平面圖形的面積 記?。罕环e函數(shù)是上面的函數(shù)減下面的函數(shù)。 記?。罕环e函數(shù)是右邊的函數(shù)減