2013高考數(shù)學(xué)教案和學(xué)案有答案第8章學(xué)案40

1、學(xué)案40空間的垂直關(guān)系導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面、面面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題自主梳理1直線與平面垂直(1)判定直線和平面垂直的方法定義法利用判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條_直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也_這個(gè)平面(2)直線和平面垂直的性質(zhì)直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)_直線垂直于同一個(gè)平面的兩條直線_垂直于同一直線的兩個(gè)平面_2直線與平面所成的角平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的_所成的銳角，叫

2、做這條直線與這個(gè)平面所成的角一條直線垂直于平面，說它們所成的角為_；直線l或l，說它們所成的角是_角3平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的判定方法定義法利用判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的_，那么這兩個(gè)平面互相垂直(2)平面與平面垂直的性質(zhì)如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們_的直線垂直于另一個(gè)平面自我檢測1給定空間中的直線l及平面.條件“直線l與平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面垂直”的_條件2(2010·浙江改編)設(shè)l，m是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是_(填序號(hào))若lm，m，則l；若l，lm，則m；若l，m，則lm；若l，m，則lm.3對

3、于不重合的兩個(gè)平面與，給定下列條件：存在平面，使得，都垂直于；存在平面，使得，都平行于；存在直線l，直線m，使得lm；存在異面直線l、m，使得l，l，m，m.其中，可以判定與平行的條件有_個(gè)4(2009·四川卷改編)如圖，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA2AB，則下列結(jié)論正確的序號(hào)是_PBAD；平面PAB平面PBC；直線BC平面PAE；直線PD與平面ABC所成的角為45°.5如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足_時(shí)，平面MBD平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)探究點(diǎn)一

4、線面垂直的判定與性質(zhì)例1RtABC所在平面外一點(diǎn)S，且SASBSC，D為斜邊AC的中點(diǎn)(1)求證：SD平面ABC；(2)若ABBC.求證：BD平面SAC.變式遷移1四棱錐SABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD.已知ABC45°，SASB.證明：SABC.探究點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì)例2如圖所示，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面為正方形，O1、O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD內(nèi)的射影是O.求證：平面O1DC平面ABCD.變式遷移2已知平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，AE平面PBC，E為垂足(1)求證：PA平面ABC；(2)當(dāng)E為

5、PBC的垂心時(shí)，求證：ABC是直角三角形探究點(diǎn)三與垂直有關(guān)的探索性問題例3如圖所示，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，PAAB，BCA90°，點(diǎn)D，E分別在棱PB，PC上，且DEBC.(1)求證：BC平面PAC；(2)是否存在點(diǎn)E，使得平面ADE平面PDE？并說明理由變式遷移3如圖所示，四棱錐PABCD中，底面ABCD是DAB60°的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求證：ADPB；(2)若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF平面ABCD，并證明你的結(jié)論轉(zhuǎn)化與化歸思想例(14分)已知四棱錐PABCD，底面ABCD是A60&

6、#176;的菱形，又PD底面ABCD，點(diǎn)M、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn). (1)證明：DN平面PMB；(2)證明：平面PMB平面PAD.【答題模板】證明(1)取PB中點(diǎn)Q，連結(jié)MQ、NQ，因?yàn)镸、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn)，所以QNBCMD，且QNMD，故四邊形QNDM是平行四邊形，于是DNMQ.4分又MQ平面PMB，DN平面PMBDN平面PMB.7分(2)PD平面ABCD，MB平面ABCD，PDMB.9分又因?yàn)榈酌鍭BCD是A60°的菱形，且M為AD中點(diǎn)，所以MBAD.又ADPDD，所以MB平面PAD.12分又MB平面PMB，平面PMB平面PAD.14分【突破思維障礙】1立體幾何中

7、平行與垂直的證明充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖2在解決線面、面面平行或垂直的判定時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線”到“線面”，再到“面面”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過于“模式化”1證明線面垂直的方法：(1)定義：a與內(nèi)任何直線都垂直a；(2)判定定理1：l；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面平行的性質(zhì)：，aa；(5)面面垂直的性質(zhì)：，l，a，ala.2證明線線垂直的方法：(1)定義：兩條直線的夾角為90°；(2)平面幾何中證明線線垂直的方法；(3)線面垂直的性質(zhì)：a，bab；(4)線

8、面垂直的性質(zhì)：a，bab.3證明面面垂直的方法：(1)利用定義：兩個(gè)平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1(2010·揚(yáng)州月考)已知直線a，b和平面，且a，b，那么是ab的_條件2已知兩個(gè)不同的平面、和兩條不重合的直線m、n，有下列四個(gè)命題：若mn，m，則n；若m，m，則；若m，mn，n，則；若m，n，則mn.其中正確命題是_(填序號(hào))3設(shè)直線m與平面相交但不垂直，給出以下說法：在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直；過直線m有且只有一個(gè)平面與平面垂直；與直線m垂直的直線不可能與平面平行；與直線m平行的平面不可能與

9、平面垂直其中錯(cuò)誤的是_4(2009·江蘇)設(shè)和為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則平行于；若外一條直線l與內(nèi)的一條直線平行，則l和平行；設(shè)和相交于直線l，若內(nèi)有一條直線垂直于l，則和垂直；直線l與垂直的充分必要條件是l與內(nèi)的兩條直線垂直上面命題中，真命題的序號(hào)是_(寫出所有真命題的序號(hào))5如圖所示，設(shè)平面EF，AB，CD，垂足分別為B、D.若增加一個(gè)條件，就能推出BDEF.現(xiàn)有：AC；AC與CD在內(nèi)的投影在同一條直線上；ACEF.那么上述幾個(gè)條件中能成為增加條件的是_(填上你認(rèn)為正確的所有答案序號(hào))6如圖所示，四棱錐PABCD的底面ABCD是

10、邊長為a的正方形，側(cè)棱PAa，PBPDa，則它的5個(gè)面中，互相垂直的面有_對7如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長是1，過A點(diǎn)作平面A1BD的垂線，垂足為點(diǎn)H，有下列三個(gè)命題：點(diǎn)H是A1BD的中心；AH垂直于平面CB1D1；AC1與B1C所成的角是90°.其中正確命題的序號(hào)是_8正四棱錐SABCD的底面邊長為2，高為2，E是邊BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持PEAC，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長為_二、解答題(共42分)9(12分)(2011·全國新課標(biāo)，18)如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB60°，AB2AD，PD底面ABC

11、D.(1)證明：PABD；(2)設(shè)PDAD1，求棱錐DPBC的高10(14分)(2011·全國老課標(biāo)，20)如圖，四棱錐SABCD中，ABCD，BCCD，側(cè)面SAB為等邊三角形，ABBC2，CDSD1.(1)證明：SD平面SAB；(2)求AB與平面SBC所成角的正弦值11(16分)(2011·陜西)如圖，在ABC中，ABC45°，BAC90°，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90°.(1)證明：平面ADB平面BDC；(2)若BD1，求三棱錐DABC的表面積學(xué)案40空間的垂直關(guān)系答案自主梳理1(1)相交垂直(2)任意平行平行2射影直

12、角0°3.(1)一條垂線(2)交線自我檢測1必要非充分2.3.24.5DMPC(或BMPC等)課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引線面垂直的判定方法是：證明直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線即從“線線垂直”到“線面垂直”證明(1)取AB中點(diǎn)E，連結(jié)SE，DE，在RtABC中，D、E分別為AC、AB的中點(diǎn)，故DEBC，且DEAB，SASB，SAB為等腰三角形，SEAB.SEAB，DEAB，SEDEE，AB面SDE.而SD面SDE，ABSD.在SAC中，SASC，D為AC的中點(diǎn)，SDAC.又ACABA，SD平面ABC.(2)若ABBC，則BDAC，由(1)可知，SD面ABC，而BD面ABC，SDBD.又SD

13、ACD，BD平面SAC.變式遷移1證明作SOBC，垂足為O，連結(jié)AO，由側(cè)面SBC底面ABCD，得SO底面ABCD.因?yàn)镾ASB，所以AOBO.又ABC45°，故AOB為等腰直角三角形，且AOBO，又SOBC，SOAOO，BC面SAO.又SA面SAO，SABC.例2解題導(dǎo)引證明面面垂直，可先證線面垂直，即設(shè)法先找到其中一個(gè)平面的一條垂線，再證明這條垂線在另一個(gè)平面內(nèi)或與另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行證明如圖所示，連結(jié)AC，BD，A1C1，則O為AC，BD的交點(diǎn)，O1為A1C1，B1D1的交點(diǎn)由棱柱的性質(zhì)知：A1O1OC，且A1O1OC，四邊形A1OCO1為平行四邊形，A1OO1C，又A1

14、O平面ABCD，O1C平面ABCD，又O1C平面O1DC，平面O1DC平面ABCD.變式遷移2證明(1)在平面ABC內(nèi)取一點(diǎn)D，作DFAC于F，DGAB于G，平面PAC平面ABC，且交線為AC，DF平面PAC.又PA平面PAC，DFPA.同理可證：DGPA.又DG、DF都在平面ABC內(nèi)，DGDFD，PA平面ABC.(2)連結(jié)BE并延長交PC于H，E是PBC的垂心，PCBH.又已知AE是平面PBC的垂線，PC平面PBC，PCAE.又BHAEE，PC平面ABE.又AB平面ABE，PCAB.PA平面ABC，PAAB.又PCPAP，AB平面PAC，又AC平面PAC，ABAC.即ABC為直角三角形例3解

15、題導(dǎo)引這類探究性問題可以由結(jié)論出發(fā)尋找思路，如本題尋找滿足條件的點(diǎn)E，可以從平面ADE平面PDE出發(fā)，因?yàn)锳EP是二面角ADEP的平面角，所以AEP90°，即AEPC，從而找到點(diǎn)E的位置對于探究性的開放型問題，應(yīng)該用分析法找點(diǎn)線面的“位置”，再用綜合法寫出步驟(1)證明PA底面ABC，PABC.又BCA90°，ACBC.又PAACA，BC平面PAC.(2)解存在點(diǎn)E使得平面ADE平面PDE.DEBC，又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP為二面角ADEP的平面角PA底面ABC，PAAC，PAC90°

16、;.在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得AEPC，這時(shí)AEP90°.平面ADE平面PDE.變式遷移3(1)證明如圖所示，取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)PG，BG，BD.PAD為等邊三角形，PGAD，在ABD中，DAB60°，ADAB，ABD為等邊三角形，BGAD，又BGPGG，AD平面PBG，ADPB.(2)解連結(jié)CG，DE，且CG與DE相交于H點(diǎn)，在PGC中作HFPG，交PC于F點(diǎn)，連結(jié)DF，由(1)知，PGAD，又平面PAD平面ABCD，PG平面ABCD，F(xiàn)H平面ABCD，平面DHF平面ABCD，即平面DEF平面ABCD，H是CG的中點(diǎn)，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)，在PC上存在一點(diǎn)F，即為PC的中點(diǎn)，

17、使得平面DEF平面ABCD.課后練習(xí)區(qū)1充要解析若，由a，易知a或a，而b，于是ab.若ab，易知，故是ab的充要條件2解析正確，兩平行線中一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于同一個(gè)平面；正確，垂直于同一直線的兩平面平行；正確，兩平面垂直的判定定理；不正確，n、m也可能異面3解析因?yàn)橹本€m是平面的斜線，在平面內(nèi)，只要和直線m的射影垂直的直線都和m垂直，所以錯(cuò)誤；正確；錯(cuò)誤，設(shè)b，bm，cb，c，則c，cm；錯(cuò)誤，如正方體AC1，m是直線BC1，平面ABCD是，則平面ADD1A1既與垂直，又與m平行4解析命題是兩個(gè)平面平行的判定定理，正確；命題是直線與平面平行的判定定理，正確；命題中在內(nèi)可以作無

18、數(shù)條直線與l垂直，但與只是相交關(guān)系，不一定垂直，錯(cuò)誤；命題中直線l與垂直可推出l與內(nèi)兩條直線垂直，但l與內(nèi)的兩條直線垂直推不出直線l與垂直，所以直線l與垂直的必要不充分條件是l與內(nèi)兩條直線垂直5解析由線面垂直的判定與性質(zhì)定理可知可以；由線面垂直、線線垂直的判定與性質(zhì)定理可知也可以，所以可以成為增加條件的是.65解析面PAB面PAD，面PAB面ABCD，面PAB面PBC，面PAD面ABCD，面PAD面PCD.7解析由于ABCDA1B1C1D1是正方體，所以AA1BD是一個(gè)正三棱錐，因此A點(diǎn)在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故正確；又因?yàn)槠矫鍯B1D1與平面A1BD平行，所以AH平面

19、CB1D1，故正確；從而可得AC1平面CB1D1，即AC1與B1C垂直，所成的角等于90°.8解析如圖取CD的中點(diǎn)F，SC的中點(diǎn)G，連結(jié)EF，GF，GE.則AC平面GEF，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是EFG的三邊又EFDB，GEGFSB，EFFGGE.9(1)證明因?yàn)镈AB60°，AB2AD，由余弦定理得BDAD.(2分)從而BD2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD.(4分)所以BD平面PAD，故PABD.(6分)(2)解如圖，作DEPB，垂足為E，已知PD底面ABCD，則PDBC.(8分)由(1)知BDAD，又BCAD，BCBD.又PABD，BC平面PBD，BCDE.DE平面PBC.AD1，AB2，DAB60°，BD.又PD1，PB2.(10分)根據(jù)DE