MATLAB的符號運(yùn)算

1、第三講 MATLAB的符號運(yùn)算 matlab 不僅具有數(shù)值運(yùn)算功能，還開發(fā)了在matlab環(huán)境下實現(xiàn)符號計算的工具包SymbolicMath Toolbox 符號運(yùn)算的功能符號表達(dá)式、符號矩陣的創(chuàng)建符號線性代數(shù)因式分解、展開和簡化符號代數(shù)方程求解符號微積分符號微分方程一、符號運(yùn)算的基本操作什么是符號運(yùn)算與數(shù)值運(yùn)算的區(qū)別 數(shù)值運(yùn)算中必須先對變量賦值，然后才能參與運(yùn)算。 符號運(yùn)算無須事先對獨(dú)立變量賦值，運(yùn)算結(jié)果以標(biāo)準(zhǔn)的符號形式表達(dá)。特點(diǎn)： 運(yùn)算對象可以是沒賦值的符號變量 可以獲得任意精度的解Symbolic Math Toolbox符號運(yùn)算工具包通過調(diào)用Maple軟件實現(xiàn)符號計算的。maple軟件

2、主要功能是符號運(yùn)算， 它占據(jù)符號軟件的主導(dǎo)地位。 2. 符號變量與符號表達(dá)式f = sin(x)+5xf 符號變量名sin(x)+5x 符號表達(dá)式 符號標(biāo)識v符號表達(dá)式一定要用 單引 號括起來matlab才能識別。 的內(nèi)容可以是符號表達(dá)式，也可以是符號方程。例： f1=ax2+bx+c 二次三項式 f2= ax2+bx+c=0 方程 f3=Dy+y2=1 微分方程符號表達(dá)式或符號方程可以賦給符號變量，以后調(diào)用方便；也可以不賦給符號變量直接參與運(yùn)算3.符號矩陣的創(chuàng)建 數(shù)值矩陣A=1,2;3,4 A=a,b;c,d 不識別用matlab函數(shù)sym創(chuàng)建矩陣（symbolic 的縮寫)命令格式：A=s

3、ym( ) 符號矩陣內(nèi)容同數(shù)值矩陣 需用sym指令定義 需用 標(biāo)識例如：A = sym(a , 2*b ; 3*a , 0) A = a, 2*b 3*a, 0 這就完成了一個符號矩陣的創(chuàng)建。注意：符號矩陣的每一行的兩端都有方 括號，這是與 matlab數(shù)值矩陣的 一個重要區(qū)別。用字符串直接創(chuàng)建矩陣v 模仿matlab數(shù)值矩陣的創(chuàng)建方法v 需保證同一列中各元素字符串有相 同的長度。例：A = a,2*b; 3*a, 0 A = a, 2*b 3*a, 0 符號矩陣的修改 a.直接修改 可用、 鍵找到所要修改的矩陣，直接修改 b.指令修改v 用A1=sym(A,new) 來修改。v 用A1=su

4、bs(A, new, old)來修改v A1=subs(S, old ,new)例如：例如：A = a, 2*b 3*a, 0A1=sym(A,2,2, 4*b) A1 = a, 2*b 3*a, 4*b A(2,2)=4*bA3 = a, 2*b 3*a, 4*bA2=subs(A1, c, b) A2 = a, 2*c 3*a, 4*c v將數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)化為符號矩陣 函數(shù)調(diào)用格式：sym(A)A=1/3,2.5;1/0.7,2/5A = 0.3333 2.5000 1.4286 0.4000sym(A)ans = 1/3, 5/210/7, 2/5 符號矩陣與數(shù)值矩陣的轉(zhuǎn)換v將符號矩陣轉(zhuǎn)化為

5、數(shù)值矩陣函數(shù)調(diào)用格式： numeric(A)A = 1/3, 5/210/7, 2/5numeric(A)ans = 0.3333 2.5000 1.4286 0.4000符號矩陣運(yùn)算 數(shù)值運(yùn)算中，所有矩陣運(yùn)算操作指令都比較直觀、簡單。例如：a=b+c; a=a*b ；A=2*a2+3*a-5等。 而符號運(yùn)算就不同了，所有涉及符號運(yùn)算的操作都有專用函數(shù)來進(jìn)行二、符號運(yùn)算符號矩陣運(yùn)算的函數(shù)：symadd(a,d) 符號矩陣的加symsub(a,b) 符號矩陣的減symmul(a,b) 符號矩陣的乘symdiv(a,b) 符號矩陣的除sympow(a,b) 符號矩陣的冪運(yùn)算symop(a,b) 符

6、號矩陣的綜合運(yùn)算例1：f= 2*x2+3*x-5; g= x2+x-7;h= symadd(f,g)h= 3*x2+4*x-12例2：f=cos(x);g= sin(2*x);symop(f,/,g,+,f,*,g) ans =cos(x)/sin(2*x)+cos(x)*sin(2*x)例1：f= 2*x2+3*x-5; g= x2+x-7; syms x f=2*x2+3*x-5; g= x2+x-7; h=f+gh = 3*x2+4*x-12例2：f=cos(x);g= sin(2*x); syms x f=cos(x);g=sin(2*x); f/g+f*gans =cos(x)/si

7、n(x)+cos(x)*sin(x) 符號運(yùn)算函數(shù)：symsize 求符號矩陣維數(shù)charploy 特征多項式determ 符號矩陣行列式的值eigensys 特征值和特征向量inverse 逆矩陣transpose 矩陣的轉(zhuǎn)置jordan 約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型simple 符號矩陣簡化2. 任意精度的數(shù)學(xué)運(yùn)算 在symbolic中有三種不同的算術(shù)運(yùn)算：數(shù)值類型 matlab的浮點(diǎn)算術(shù)運(yùn)算有理數(shù)類型 maple的精確符號運(yùn)算vpa類型 maple的任意精度算術(shù) 運(yùn)算 浮點(diǎn)算術(shù)運(yùn)算1/2+1/3 (定義輸出格式format long)ans =0.83333333333333符號運(yùn)算sym(1/2)+(1

8、/3)ans = 5/6 精確解 任意精度算術(shù)運(yùn)算digits(n) 設(shè)置可變精度，缺省16位vpa(x,n) 顯示可變精度計算digits(25)vpa(1/2+1/3)ans =.8333333333333333333333333vpa(5/6,40) ans =.8333333333333333333333333333333333333333 a=sym(1/4,exp(1);log(3),3/7)a = 1/4,exp(1)log(3), 3/7vpa(a,10)ans =.2500000000, 2.7182818281.098612289, .4285714286diff(f) 對

9、缺省變量求微分diff(f,v) 對指定變量v求微分diff(f,v,n) 對指定變量v求n階微分int(f) 對f表達(dá)式的缺省變量求積分int(f,v) 對f表達(dá)式的v變量求積分int(f,v,a,b) 對f表達(dá)式的v變量在（a,b) 區(qū)間求定積分3. 符號微積分與積分變換int（被積表達(dá)式，積分變量，積分上限， 積分下限） 定積分缺省時為不定積分mtaylor(f,n) 泰勒級數(shù)展開ztrans(f) Z變換Invztrans(f) 反Z變換Laplace(f) 拉氏變換Invlaplace(f) 反拉氏變換fourier(f) 付氏變換Invfourier(f) 反付氏變換 例1.計算二

10、重不定積分dxdyxexyF=int(int(x*exp(-x*y),x),y)F= 1/y*exp(-x*y)例2.計算 f=x*exp(-x*10)的Z變換 F=ztrans(f) F= z*exp(-10)/(z-exp(-10)2 syms x y F=int(int(x*exp(-x*y),x),y)F =1/y*exp(-x*y) syms x f=x*exp(-x*10); F=ztrans(f) F=ztrans(x*exp(-x*10);F =z*exp(-10)/(z-exp(-10)2 例3. 計算指數(shù)函數(shù)eAt。用拉氏反變換法計算eAt的公式為： eAt = L-1(S

11、I-A)-1系統(tǒng)矩陣A= 3210tttttttteeeeeeee22222222eAt =結(jié)果： a=0 1;-2 -3; syms s b=(s*eye(2)-a)b = s, -1 2, s+3 B=inv(b) (s+3)/(s2+3*s+2), 1/(s2+3*s+2) -2/(s2+3*s+2), s/(s2+3*s+2) b11=ilaplace(sym(b,1,1);b(1,1)=b11; b12=ilaplace(sym(b,1,2);b(1,2)=b12; b21=ilaplace(sym(b,2,1);b(2,1)=b21; b22=ilaplace(sym(b,2,2)

12、;b(2,2)=b22; bb = -exp(-2*t)+2*exp(-t), exp(-t)-exp(-2*t) -2*exp(-t)+2*exp(-2*t), 2*exp(-2*t)-exp(-t) 4.符號代數(shù)方程求解 matlab符號運(yùn)算能夠解一般的線性方程、非線性方程及一般的代數(shù)方程、代數(shù)方程組。當(dāng)方程組不存在符號解時，又無其他自由參數(shù)，則給出數(shù)值解。命令格式：solve(f) 求一個方程的解Solve(f1,f2, fn) 求n個方程的解 例1. f = ax2+bx+c 求解f=a*x2+b*x+c; solve(f) 對缺省變量x求解ans =1/2/a*(-b+(b2-4*a

13、*c)(1/2)1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2)計算機(jī)格式aacbb242一般格式例2. 符號方程cos(x)=sin(x) tan(2*x)=sin(x)求解f1=solve(cos(x)=sin(x),f1 =1/4*pi solve(f , b ) 對指定變量b求解ans =-(a*x2+c)/xf3= matlab4.2的解 0 pi atan(1/2*(-2*3(1/2)(1/2),1/2+1/2*3(1/2) atan(-1/2*(-2*3(1/2)(1/2),1/2+1/2*3(1/2) atan(1/2*2(1/2)*3(1/4)/(1/2-1/2*3(1/2

14、)+pi -atan(1/2*2(1/2)*3(1/4)/(1/2-1/2*3(1/2)-pi f2=solve(tan(2*x)=sin(x)f2 =matlab4.2的解 0acos(1/2+1/2*3(1/2)acos(1/2 -1/2*3(1/2)numeric(f3)ans = 0 3.1416 0 + 0.8314i 0 - 0.8314i 1.9455 -1.9455 numeric(f2)ans = 0 0 + 0.8314i 1.9455 matlab4.2與6.1的對比例3. 解方程組 x+y+z=1 x-y+z=2 2x-y-z=1g1=x+y+z=1,g2=x-y+z=

15、2,g3=2*x-y-z=1f=solve(g1,g2,g3)f=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1)f =z = 5/6, y = -1/2, x = 2/3f=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1)f = x: 1x1 sym f.x ans =2/3 y: 1x1 sym f.y ans =-1/2 z: 1x1 sym f.z ans =5/6 x,y,z=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1) x = 2/3 y =-1/2 z =5/65. 符號微分方程求解 用一個函數(shù)可以方便地得到微 分方程的符號解符

16、號微分方程求解指令：dsolve命令格式：dsolve(f,g)f 微分方程，可多至12個微分方程的求 解；g為初始條件默認(rèn)自變量為 x,可任意指定自變量t, u等微分方程的各階導(dǎo)數(shù)項以大寫字母D表示 dtdydxdy22dtydnndtyd22dxydnndxyd或或或y的一階導(dǎo)數(shù) Dyy的二階導(dǎo)數(shù) D2yy的 n 階導(dǎo)數(shù) Dnyy1,y2=dsolve(x1,x2,xn) 返回 微分方程的解一階微分方程dsolve(Dx=y,Dy=x,x(0)=0,y(0)=1)ans =x(t) = sin(t), y(t) = cos(t)二階微分方程dsolve(D2y=-a2*y,y(0)=1,D

17、y(pi/a)=0)ans =cos(a*x)例3.y=dsolve(D2y+2*Dy+2*y=0,y(0)=1,Dy(0)=0)ans =exp(-x)*cos(x)+exp(-x)*sin(x)ezplot(y) 方程解y(t)的時間曲線圖22dxyddxdy202y00 ）（dxdy，1)0(y求該方程的解-6-4-2024050100150200250300 xexp(-x)*cos(x)+exp(-x)*sin(x)-6-4-2024050100150200250texp(-t) sin(t)+exp(-t) cos(t)三、maple函數(shù)符號運(yùn)算的擴(kuò)展maple是專門進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的

18、軟件工具， 具有超強(qiáng)的符號運(yùn)算能力，提供了 幾乎包括所有數(shù)學(xué)領(lǐng)域的專用函數(shù)matlab依賴于maple的內(nèi)核與函數(shù)庫，擴(kuò) 展了自己的符號運(yùn)算功能。 matlab還設(shè)計了對maple庫函數(shù)的調(diào)用功能使得已有的maple數(shù)學(xué)功能，可以擴(kuò)充matlab中,作為自身符號運(yùn)算能力的擴(kuò)展。1. maple內(nèi)核訪問函數(shù)可以訪問maple內(nèi)核的matlab函數(shù): maple 訪問maple內(nèi)核函數(shù) mapleinit maple函數(shù)初始化 mpa maple函數(shù)定義 mhelp maple函數(shù)幫助命令 procread maple函數(shù)程序安裝. maple 的調(diào)用格式maple(表達(dá)式） 將表達(dá)式送至mapl

19、e內(nèi)核， 返回符號表達(dá)式結(jié)果。maple （函數(shù)，變量1，變量2） 調(diào)用maple函數(shù)，傳遞給定 變量。 例1. 展開5階 bernoulli 多項式，計算 x=3 時bernoulli 數(shù)。a=maple(bernoulli(5,x)a =-1/6*x+5/3*x3+x5-5/2*x4a=maple(bernoulli(5,3)a =85例2. 化簡三角函數(shù)式sin2x+cos2xa=maple(simplify(sin(x)2+cos(x)2);)a =1例4. 求f(t)=e-3tsint的拉式變換f=maple(laplace(exp(-3*t)*sin(t),t,s);)f =1/(

20、s+3)2+1)例4. 尋找二次多項式的完全平方 f (x) = x2+2x+2a=maple(completesquare(x2+2*x+2)a =completesquare(x2+2*x+2) 將工具包裝入內(nèi)存maple(with(student);)a=maple(completesquare(x2+2*x+2)a =(x+1)2+1maple軟件中的所有函數(shù)，在初始化時并沒有完全裝入內(nèi)存，可用readlib指令把庫函數(shù)讀入內(nèi)存，或用with指令將應(yīng)用工具包裝入內(nèi)存。調(diào)用格式maple(readlib(函數(shù)名);)maple(with(工具包名);)例5.求sin(x2+y2)在x=0

21、,y=0處泰勒級數(shù)展開式，8階截斷。maple(mtaylor(sin(x2+y2),x=0,y=0,8)ans =mtaylor(sin(x2+y2),x = 0, y = 0,8)maple(readlib(mtaylor);)maple(mtaylor(sin(x2+y2),x=0,y=0,8)ans =x2+y2-1/6*x6-1/2*y2*x4-1/2*y4*x2-1/6*y62. mpa maple變量定義任何一個matlab定義的函數(shù)f，可使用mpa語句直接調(diào)用，還可把 f 定義成maple變量v。maple的工作空間與matlab工作空間是相互獨(dú)立的， 所以f 與v是屬于不同工

22、作空間中的變量mpa的調(diào)用格式： mpa(v,f) mpa v ff為matlab工作空間中已存在的變量例. 電磁力計算公式為試I=0.5，x=0.1鄰域展開泰勒級數(shù)，3階截斷，令常數(shù) ，1.直接調(diào)用maple(readlib(mtaylor);)maple(mtaylor(k*I2/x2,I=0.5,x=0.1,3);)2204)(),(xNISxIF420NSk22),(xkIxIF2.定義符號函數(shù)f(matlab6.1無map函數(shù))f=k*I2/x2;maple(mtaylor(f,I=0.5,x=0.1,3);)ans =mtaylor(f,I = .5, x = .1,3)mpa(u,f)maple(mtaylor(u,I=0.5,x=0.1,3);)ans =25.*k-.50e3*k*(x-.1)+.10e3*k*(I-.5)+7500.000000000000*k*(x-.1)2+.1e3*k*(I-.5)2-.20e4*k*(I-.5)*(x-.1)注意：matlab符號運(yùn)算時，可以識別matlab定義的符號變量，但在調(diào)用 maple 函數(shù)時，需將matlab變量定義為maple變量后，所調(diào)用的函數(shù)方可識別和執(zhí)行3.mhelp maple函數(shù)幫助命令 mhe