剛體轉(zhuǎn)動(dòng)補(bǔ)充例題

1、1m2mrR例例1：如圖所示，兩個(gè)同心圓盤結(jié)合在一如圖所示，兩個(gè)同心圓盤結(jié)合在一起可繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，大圓盤質(zhì)量為起可繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，大圓盤質(zhì)量為 m1、半徑為半徑為 R，小圓盤質(zhì)量為，小圓盤質(zhì)量為 m2、半徑為、半徑為 r，兩圓盤都用力兩圓盤都用力 F F 作用，求角加速度。作用，求角加速度。F FF F解：解：以以 m1、 m2 為研為研究對(duì)象，它們有共同究對(duì)象，它們有共同的角加速度，只有的角加速度，只有 F F、F F 產(chǎn)生力矩。產(chǎn)生力矩。)(21JJFrFR由圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：由圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：習(xí)題課習(xí)題課 / / 例例1 121121RmJ22221rmJ21JJFrFR2221)(2rmR

2、mrRFMmrRF FF F習(xí)題課習(xí)題課 / / 例例1 1例例3：質(zhì)量為質(zhì)量為 m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為 l 的細(xì)桿一端固定的細(xì)桿一端固定在地面的軸上可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，問當(dāng)細(xì)桿擺至在地面的軸上可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，問當(dāng)細(xì)桿擺至與水平面與水平面 60 角和水平位置時(shí)的角加速度角和水平位置時(shí)的角加速度為多大。為多大。lm,解：解：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律JMg gm231cos2mllmglg2cos3習(xí)題課習(xí)題課 / / 例例3 3gl43 60時(shí)gl23 0時(shí)lg2cos3lm,g gm習(xí)題課習(xí)題課 / / 例例3 3Rr sin5) 均勻薄球殼繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均勻薄球殼繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 24 Rm sind2dZrS

3、ZRZrmd2sin/d2d 圓環(huán)質(zhì)元圓環(huán)質(zhì)元質(zhì)元面積質(zhì)元面積222232d )(2d2mRzzRRzRrJRRRR 均勻薄球殼均勻薄球殼6) 均勻球體繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均勻球體繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 zrzrrmrJd21d21d21d4222 25222452158d)(21d21mRRzzRzrJRRRR 例例4：質(zhì)量為質(zhì)量為 m 、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為 l 的細(xì)桿兩端用細(xì)的細(xì)桿兩端用細(xì)線懸掛在天花板上，當(dāng)其中一細(xì)線燒斷的線懸掛在天花板上，當(dāng)其中一細(xì)線燒斷的瞬間另一根細(xì)線中的張力為多大？瞬間另一根細(xì)線中的張力為多大？lm,解：解：在線燒斷瞬間，在線燒斷瞬間，以桿為研究對(duì)象，以桿為研究對(duì)象，細(xì)桿受重力和線的

4、細(xì)桿受重力和線的張力，張力，g gmT T注意：在細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各注意：在細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各點(diǎn)的加速度不同，公式中點(diǎn)的加速度不同，公式中a為細(xì)桿為細(xì)桿質(zhì)心質(zhì)心的加速度。的加速度。maTmg（1）習(xí)題課習(xí)題課 / / 例例4 4以懸掛一端為軸，重力產(chǎn)生力矩。以懸掛一端為軸，重力產(chǎn)生力矩。231mlJJlmg2（2）2lra（3）聯(lián)立聯(lián)立(1)、(2)、(3)式求解式求解mgT41習(xí)題課習(xí)題課 / / 例例4 4lm,g gmT Tm例例: :細(xì)線一端連接一質(zhì)量細(xì)線一端連接一質(zhì)量 m 小球，另一端穿小球，另一端穿過水平桌面上的光滑小孔，小球以角速度過水平桌面上的光滑小孔，小球以角速度 0 轉(zhuǎn)動(dòng)，用力轉(zhuǎn)動(dòng)

5、，用力 F F 拉線，使轉(zhuǎn)動(dòng)半徑從拉線，使轉(zhuǎn)動(dòng)半徑從 r0 減減小到小到 r0/ /2 。 求：求：（1）小球的角速度；小球的角速度； （2）拉力拉力 F F 做的功。做的功。o00r解：（解：（1）由于線由于線的張力過軸，小球的張力過軸，小球受的合外力矩為受的合外力矩為0，角動(dòng)量守恒。角動(dòng)量守恒。F FF F習(xí)題課習(xí)題課 / / 例例6 6LL0JJ002020mrmr2/0rr04半徑減小角速度增加。半徑減小角速度增加。（2）拉力作功。）拉力作功。請(qǐng)考慮合外力矩為請(qǐng)考慮合外力矩為0，為什么拉力還作功呢？為什么拉力還作功呢？MdW0習(xí)題課習(xí)題課 / / 例例6 6mo00rF FF F在定義

6、力矩作功在定義力矩作功時(shí)，我們認(rèn)為只時(shí)，我們認(rèn)為只有切向力作功，有切向力作功，而法向力與位移而法向力與位移垂直不作功。垂直不作功。但在例題中，小但在例題中，小球受的拉力與位球受的拉力與位移并不垂直，小移并不垂直，小球的運(yùn)動(dòng)軌跡為球的運(yùn)動(dòng)軌跡為螺旋線，法向力螺旋線，法向力要作功。要作功。習(xí)題課習(xí)題課 / / 例例6 6orF FnF FF Fddsmo00rF FF F由動(dòng)能定理：由動(dòng)能定理：0kkEEW20022121JJW2020202021)4()2(21mrrm0232020mr習(xí)題課習(xí)題課 / / 例例6 6例例: 如圖所示梯子質(zhì)量如圖所示梯子質(zhì)量m=15 kg, 一端靠在可視為光滑一

7、端靠在可視為光滑的墻面上的墻面上, 另一端放在粗糙的地面上另一端放在粗糙的地面上, 梯子與地面夾梯子與地面夾角角q=60 , 已知梯子的重心在它的中心已知梯子的重心在它的中心. 求墻和地對(duì)梯求墻和地對(duì)梯子的作用力子的作用力. NAABNBmgf解：選解：選B點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸 sincos2lNlmgmgNfNABA 例例: 長(zhǎng)為長(zhǎng)為l的均勻細(xì)桿豎直地放在光滑地面上的均勻細(xì)桿豎直地放在光滑地面上, 從靜止倒從靜止倒下下. 試求落到地面時(shí)質(zhì)心的速度試求落到地面時(shí)質(zhì)心的速度.CyxOmgN l解：質(zhì)心速度的水平分量為零，解：質(zhì)心速度的水平分量為零，桿繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為桿繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為w co

8、s21lyC sin2lyvCC 機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 cos212121212222lmgmlmvlmgC 2 落地時(shí)落地時(shí)glvC321 解解: 把演員視為質(zhì)點(diǎn)把演員視為質(zhì)點(diǎn), M, N和蹺板作為一個(gè)系統(tǒng)和蹺板作為一個(gè)系統(tǒng), 以通過點(diǎn)以通過點(diǎn)C垂直平面的垂直平面的軸為轉(zhuǎn)軸軸為轉(zhuǎn)軸. 由于作用在系統(tǒng)上的由于作用在系統(tǒng)上的合外力矩為零合外力矩為零,故系統(tǒng)的故系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒例例: 一雜技演員一雜技演員M由距水平蹺板高為由距水平蹺板高為h處自由下落到蹺處自由下落到蹺板的一端板的一端, 并把蹺板另一端的演員并把蹺板另一端的演員N彈了起來彈了起來. 設(shè)蹺板設(shè)蹺板是勻質(zhì)的是勻質(zhì)的, 長(zhǎng)度為長(zhǎng)

9、度為l, 質(zhì)量為質(zhì)量為m ,支撐板在板的中點(diǎn)支撐板在板的中點(diǎn)C, 蹺蹺板可繞點(diǎn)板可繞點(diǎn)C在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng), 演員演員M, N的質(zhì)量都是的質(zhì)量都是m. 假定演員假定演員M落在蹺板上落在蹺板上, 與蹺板的碰撞是完全非彈性與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞碰撞. 問演員問演員N可彈起多高可彈起多高.NhMCABl/2lm mm 221222mlJlmuJlmvM J為其蹺板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為其蹺板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 把板看成是窄長(zhǎng)條形狀把板看成是窄長(zhǎng)條形狀2121lmJ hmmmglguh22226382 這樣演員這樣演員N將以速率將以速率u=l /2跳起跳起, 達(dá)到的高度達(dá)到的高度h 為為lmmgh

10、mmllmlmvM)6()2(62112122122 例例9: 將一個(gè)均勻的圓柱體放在平板卡車上將一個(gè)均勻的圓柱體放在平板卡車上, 圓柱體的軸圓柱體的軸到平板車后沿的距離為到平板車后沿的距離為l . 如車突然以勻加速度如車突然以勻加速度a向前開向前開動(dòng)動(dòng), 圓柱體在車上作純滾動(dòng)圓柱體在車上作純滾動(dòng), 試求當(dāng)圓柱體滾下車時(shí)卡試求當(dāng)圓柱體滾下車時(shí)卡車運(yùn)動(dòng)的距離車運(yùn)動(dòng)的距離.mglfNF慣慣a解：以平板車為參照系解：以平板車為參照系cmafF 慣慣maF 慣慣 JRf RaC 221talC latS23212 例例: 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m, 半徑為半徑為R的均質(zhì)圓柱的均質(zhì)圓柱, 在水平外力作用在水平

11、外力作用下下, 在粗糙的水平面上作純滾動(dòng)在粗糙的水平面上作純滾動(dòng), 力的作用線與圓柱中力的作用線與圓柱中心軸線的垂直距離為心軸線的垂直距離為l. 求求: 質(zhì)心的加速度和圓柱所受的質(zhì)心的加速度和圓柱所受的靜摩擦力靜摩擦力.CmafF 圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)定律： CJRflF 純滾動(dòng)條件純滾動(dòng)條件 RaC 圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為221mRJC 解解: 靜摩擦力靜摩擦力f 的方向如圖所示的方向如圖所示, 則由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程則由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程 FaCmRmRlRFaC3)(2 FRlRf32 由此可見由此可見，靜靜摩摩擦擦力力向向前前。時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)，靜靜摩摩擦擦力力向

12、向后后；時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0202 fRlfRl聯(lián)立以上四式聯(lián)立以上四式, 得得 FaCmR靜摩擦力如何？靜摩擦力如何？時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 Rl此時(shí)無摩擦力。因?yàn)榇藭r(shí)無摩擦力。因?yàn)镕使剛體做純滾動(dòng)。使剛體做純滾動(dòng)。例例: 一勻質(zhì)細(xì)棒長(zhǎng)為一勻質(zhì)細(xì)棒長(zhǎng)為l , 質(zhì)量為質(zhì)量為m, 可繞通過其端點(diǎn)可繞通過其端點(diǎn)O的的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)水平軸轉(zhuǎn)動(dòng). 當(dāng)棒從水平位置自由釋放后當(dāng)棒從水平位置自由釋放后, 它在豎直位它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞置上與放在地面上的物體相撞. 該物體的質(zhì)量也為該物體的質(zhì)量也為m, 它與地面的摩擦系數(shù)為它與地面的摩擦系數(shù)為 . 相撞后相撞后, 物體沿地面滑行一物體沿地面滑行一距離距離s 而停止

13、而停止. 求求: 相撞后棒的質(zhì)心相撞后棒的質(zhì)心C離地面的最大高離地面的最大高度度h, 并說明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件并說明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件.解解: 除重力外除重力外, 其余內(nèi)力與外力都不其余內(nèi)力與外力都不作功作功, 故機(jī)械能守恒故機(jī)械能守恒1) 棒自由擺落的過程棒自由擺落的過程2223121212 mlJlmg(1)COmml 碰撞時(shí)間極短碰撞時(shí)間極短, 沖力極大沖力極大, 系統(tǒng)的對(duì)系統(tǒng)的對(duì)O軸的角動(dòng)量守恒軸的角動(dòng)量守恒(2) 223131mlmvlml2) 碰撞過程碰撞過程3) 物體在碰撞后的滑行過程物體在碰撞后的滑行過程由勻減速直線運(yùn)動(dòng)的公式得由勻減速直線運(yùn)動(dòng)的公式

14、得asv202 mamg (3)(4)物體作勻減速直線運(yùn)動(dòng)物體作勻減速直線運(yùn)動(dòng), 加速度由牛頓第二定律確定加速度由牛頓第二定律確定由式由式(1)-(4)聯(lián)立求解聯(lián)立求解, 得得lgsgl 233 除重力外除重力外, 其余內(nèi)力與外力都不作功其余內(nèi)力與外力都不作功, 故機(jī)械能故機(jī)械能守恒守恒, 即即4) 棒碰撞后的過程棒碰撞后的過程2223121212 mlJlhmgslslh 63 棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件:0 sl 6 0 向左擺向左擺向右擺向右擺sl 6 即即即即COmml例：例：在光滑水平桌面上放置一個(gè)靜止的質(zhì)在光滑水平桌面上放置一個(gè)靜止的質(zhì)量為量為 M、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為 2l 、可繞中心轉(zhuǎn)動(dòng)的細(xì)桿，、可繞中心轉(zhuǎn)動(dòng)的細(xì)桿，有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為 m 的小球以速度的小球以速度 v0 與桿的一與桿的一端發(fā)生完全彈性碰撞，求小球的反彈速度端發(fā)生完全彈性碰撞，求小球的反彈速