參數(shù)估計(jì)的基本方法

1、參數(shù)估計(jì)的基本方法一、點(diǎn)估計(jì)一、點(diǎn)估計(jì)(Point estimate)(Point estimate)二、區(qū)間估計(jì)二、區(qū)間估計(jì)( (interval estimation)interval estimation)一、點(diǎn)估計(jì)一、點(diǎn)估計(jì) 點(diǎn)估計(jì)也稱定值估計(jì)，就是直接以樣本統(tǒng)計(jì)量作為總體參數(shù)的估計(jì)值。 例如，設(shè)一批產(chǎn)品的廢品率為。為估計(jì)，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽出n個(gè)作檢查，以X記其中的廢品個(gè)數(shù)，用X/n估計(jì)，這就是一個(gè)點(diǎn)估計(jì)。 點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是它提供了總體參數(shù)的具體估計(jì)值，可作為決策的依據(jù)，其缺點(diǎn)是不能提供有關(guān)抽樣誤差的信息。優(yōu)良估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)良估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn) 對同一總體參數(shù)，會(huì)有不同的估計(jì)量，作為一個(gè)好

2、的點(diǎn)估計(jì)量，統(tǒng)計(jì)量必須具有如下性質(zhì)：無偏性、有效性、一致性無偏性、有效性、一致性 1、無偏性（、無偏性（Unbiasedness)：樣本估計(jì)量的均值等于被估總體參數(shù)的真值； 2、有效性、有效性(Efficiency):好的點(diǎn)估計(jì)量應(yīng)具有較小的方差； 3、一致性、一致性(Consistency):當(dāng)樣本容量增大時(shí)，估計(jì)量依概率收斂于總體參數(shù)的真值。抽樣估計(jì)的優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn)抽樣估計(jì)的優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn)無偏性無偏性 作為總體參數(shù)估計(jì)量的樣本統(tǒng)計(jì)量，要求其期望值（平均數(shù)）等于被估計(jì)的總體參數(shù)。這樣的估計(jì)量稱為無偏估計(jì)量。 有效性有效性 以抽樣指標(biāo)估計(jì)總體指標(biāo)要求作為優(yōu)良估計(jì)量的方差應(yīng)比其它估計(jì)量的方差小。 即滿足無偏

3、性。,)(E即方差越小的估計(jì)量就越有效更有效。則稱的無偏估計(jì)量，而都是和若12221,21一致性一致性 作為優(yōu)良估計(jì)量的樣本容量充分大時(shí)，抽樣指標(biāo)也應(yīng)充分地靠近總體指標(biāo)。 1)(limPn()為任意小的正數(shù)一般情況下均可滿足4充分性充分性估計(jì)量估計(jì)量 包含了樣本中關(guān)于包含了樣本中關(guān)于 的全部信息的全部信息三、區(qū)間估計(jì)（三、區(qū)間估計(jì)（Interval Estimation)Interval Estimation)（一）區(qū)間估計(jì)基本原理一）區(qū)間估計(jì)基本原理（二）總體均值的區(qū)間估計(jì)（二）總體均值的區(qū)間估計(jì)（三）總體比例的區(qū)間估計(jì)（三）總體比例的區(qū)間估計(jì)1.1. 大數(shù)定律大數(shù)定律主要是說明：當(dāng)n足夠大

4、時(shí)，獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的算術(shù)平均數(shù)趨近于數(shù)學(xué)期望；事件發(fā)生的頻率接近于其發(fā)生的概率。 即樣本統(tǒng)計(jì)量接近于總體參數(shù)。因此，可以用樣本平均數(shù)（或比例）估計(jì)總體平均數(shù)（或比例） 2.2. 中心極限定理中心極限定理是說明：當(dāng)n充分大時(shí)，大量的起微小作用的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和趨于正態(tài)分布。因此可以用正態(tài)分布來確定總體參數(shù)的估計(jì)范圍（置信區(qū)間）和可靠程度（即概率或置信度）。（一）區(qū)間估計(jì)基本原理一）區(qū)間估計(jì)基本原理 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)則是根據(jù)樣本估計(jì)量以一定的則是根據(jù)樣本估計(jì)量以一定的可靠程度可靠程度推斷總推斷總體參數(shù)所在的體參數(shù)所在的區(qū)間范圍區(qū)間范圍。 如果抽樣分布已知如果抽樣分布已知，則在點(diǎn)估計(jì)中，

5、可以知道抽樣的點(diǎn)估計(jì)值與總體參數(shù)的離差在某一給定范圍內(nèi)的概率大小，即以一定的可靠程度知道以下抽樣極限誤差：3 3、區(qū)間估計(jì)方法理論、區(qū)間估計(jì)方法理論 因此，容易得到在抽樣中，總體參數(shù)將以同樣因此，容易得到在抽樣中，總體參數(shù)將以同樣 的的可能性可能性（概率）存在于下面的區(qū)間內(nèi)：（概率）存在于下面的區(qū)間內(nèi)： 一般地，設(shè)總體參數(shù)為， L、 U為由樣本確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量值，對于給定的（0 1），有則稱（ L， U ）為參數(shù)的置信度為1- 的置信區(qū)間， L、 U分別稱為置信下限與置信上限， 為顯著性水平， 1- 為置信度。置信區(qū)間置信區(qū)間（二）總體均值的區(qū)間估計(jì)（二）總體均值的區(qū)間估計(jì) 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)就

6、是根據(jù)樣本求出總體未知參數(shù)的估計(jì)區(qū)間，并使其可靠程度達(dá)到預(yù)定要求。 （1 1） 總體方差總體方差2 2已知時(shí)已知時(shí) 由于 ，所以對于給定的置信度1-，有 即 可見，極限誤差的計(jì)算公式為 則總體均值的置信區(qū)間為221/xPzzn(0,1)/xzNn12/nzxPxxznz2/2/),(xxxx例：從某大學(xué)學(xué)生中隨機(jī)抽取100名調(diào)查體重情況。經(jīng)稱量和計(jì)算，得到平均體重為58千克。根據(jù)過去的資料知道大學(xué)生體重的標(biāo)準(zhǔn)差是10千克。在95%的置信水平下，求該大學(xué)學(xué)生平均體重的置信區(qū)間。 解：已知 =58，=10，z/2=1.96，n=100 =10/10=1（千克） =1.961=1.96（千克） 置信

7、下限為58-1.96=57.04， 置信上限為58+1.96=59.96 故所求置信區(qū)間為（57.04，59.96）千克。nxxxz2/x例：某進(jìn)出口公司出口一種名茶，規(guī)定每包重量不低于150克?，F(xiàn)不重復(fù)抽取1%檢驗(yàn)，結(jié)果如下。以95.45%的概率估計(jì)這批茶葉平均每包重量范圍，以確定該批茶葉是否達(dá)到要求。每包重量（克）每包重量（克）包數(shù)包數(shù)xxf14814914915015015115115210205020148.5149.5150.5151.5148529907525303032.412.8228.8合計(jì)1001503076fxx2)( （2） 總體方差2未知時(shí)w用s2代替2 2 ，對于給定的置信度1-，總體均值的置信區(qū)間為),(2/2/nszxnszx 在大樣本條件下，若 ，則樣本比例趨近于正態(tài)分布。 對于給定置信度，有 總體比