一元二次方程的應用-幾何應用

1、3第11課時一元二次方程的應用（2）- 幾何應用姓名_1.如圖，將邊長為 2cm 的正方形 ABCD 沿其對角線 AC 剪開，再把 ABC 沿著 AD方向平移，得到ABC, 若兩個三角形重疊部分的面積為 1cm2，則它移動的距離 AA 等于多少？2.如圖，要設計一幅寬 20cm，長 30cm 的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫豎彩條的寬度比為2： 1，如5.如圖，在ABC 中，/ ABC=90 AB=8cm, BC=6cm .動點 P, Q 分別從點 A, B 同時開始移動，點 P 的速度為 1cm/秒，點 Q 的速度為 2cm/秒，點 Q 移動到點 C 后停止，點 P 也隨之停止運動幾秒后PB

2、Q6.如圖所示，在ABC 中，/ B=90 AB=6cm, BC=3cm,點 P 以 1cm/s 的速度從點 A 開始沿邊 AB 向點B 移動， 點 Q 以 2cm/s 的速度從點 B 開始沿邊 BC 向點 C 移動， 如果點 4 .2cm.75，則豎彩條寬度為多少?，另三邊用 58m 長的籬笆圍成一個面積為200m2的矩形場地，求矩形的長4 .用一條長為 60 cm 的繩子圍成一個面積為A. 240B. 225acm2的長方形，a 的值不可能為C. 60D. 30P、Q 分別從點 A、B 同時出發(fā),果要使彩條所和寬.7.在平面直角坐標系 xOy 中，過原點 0 及點 A (0,2)、C (6

3、, 0)作矩形 OABC, / AOC 的平分線交 AB 于點 D .點 P 從點 O 出發(fā)，以每秒,2 個單位長度的速度沿射線 OD方向移動；同時點 Q 從點 O 出發(fā)， 以每秒 2 個單位長度的速度沿 x 軸正方向移動.設移動時間為 t 秒，當 t 為多少時， PQB 為直角三角形.2&直角ABC 中，斜邊 AB=5，直角邊 BC、AC 之長是一元二次方程 x -( 2m- 1) x+4 ( m- 1) =0 的兩 根，求則 m的值.9.等腰ABC 的直角邊 直線運動，已知 P 沿射線 AB 運動，Q 沿邊 BC 的延長線運動，t, PCQ 的面積為 S.求出 S 關于 t 的函數(shù)

4、關系式；當點 P 運動幾秒時，SPCQ=SAABC?當點 P、Q 運動時，線段 DE 的長度是否改變？證明你的結論.10 .某小區(qū)在綠化工程中有一塊長為18m、寬為 6m 的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，使它們的面積之和為 60m2,兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道(如圖所示)，求人行通道的寬 度.AB=BC=10cm，點P、Q分別從 A、C 兩點同時出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度作PQ與直線AC相交于點D .設P 點運動時間為(1)(2)m11.如圖，四邊形 ACDE 是證明勾股定理時用到的一個圖形，a, b, c 是 RtAABC 和 RtABED 邊長，易知AE=V

5、2c,這時我們把關于 x 的形如/+近茴+口的一元二次方程稱為 勾系一元二次方程”. 請解決下列問題：(1)寫出一個 勾系一元二次方程”；(2)求證：關于 x 的勾系一元二次方程”J*近貿+匕二Q必有實數(shù)根；(3)若 x= - 1 是勾系一元二次方程 ”壬戈十逅聞+20 的一個根，且四邊形 ACDE 的周長是蚯，求 ABC12.已知：如圖，在ABC 中，/ B=90 AB=5cm, BC=7cm.點 P 從點 A 開始沿 AB 邊向點 B 以 1cm/s 的速度移動，點 Q 從點 B 開始沿 BC 邊向點 C 以 2cm/s 的速度移動.(1)如果 P, Q 分別從 A, B 同時出發(fā)，那么幾

6、秒后，PBQ 的面積等于 6cm2?(2) 如果 P, Q 分別從 A, B 同時出發(fā)，那么幾秒后， PQ 的長度等于 5cm?8cm2?說明理由.13.如圖，四邊形 ABCD 為矩形，AB=16cm. AD=6cm,動點 P、Q 分別從點 A、C 同時出發(fā)，點 P 以 3cm/s 的速度向B 點移動，一直到達 B 點為止，點 Q 以 2cm/s 的速度向 D 點移動.(1) P、Q 兩點從出發(fā)開始到幾秒時，四邊形 PBCQ 的面積為 33cm2?(2)P、Q 兩點從出發(fā)開始到幾秒時，點P 和點 Q 之間的距離第一次是10cm?(3)在運動過程中，點 P 和點 Q 之問的距離可能是 18cm

7、嗎？如果可能，求出運動時間 t,如果不可能，14.如圖，在矩形 ABCD 中，BC=20cm, P、Q、M、N 分別從 A、B、C、D 出發(fā)沿 AD, BC, CB, DA 方 向在矩形的邊上同時運動，當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，運動即停止已知在相同時間 內，若 BQ=xcm ( x和)，貝 U AP=2xcm, CM=3xcm, DN=x2cm.(1)當 x 為何值時，以 PQ, MN 為兩邊，以矩形的邊(AD 或 BC)的一部分為第三邊構成一個三角形;(2)當 x 為何值時，以 P、Q、M、N 為頂點的四邊形是平行四邊形；(3)以 P、Q、M、N 為頂點的四邊形能否為等腰梯形

8、？如果能，求x 的值；如果不能，請說明理由.8O參考答案1.【解答】解：設 CD 與 AC 交于點 H , AC 與 AB交于點 G,由平移的性質知， A B 與 CD 平行且相等，/ ACB =45 / DHA=/DA H=45DA H 是等腰直角三角形， A D=DH，四邊形 A GCH 是平行四邊形， / SA GCH=HC?B C= (CD - DH ) ?DH=1 , DH=A D=1 , AA =AD - A D=1 .故答案為 1.2.【解答】解：設豎彩條的寬為 xcm,則橫彩條的寬為 2xcm,則（30-2x） （20-4x）=30 20X （1-）,75整理得：x2- 20

9、x+19=0,解得：xi=l ,X2=19 （不合題意，舍去）.答：豎彩條的寬度為 1cm.3. x （58 - 2x） =200解得：X1=25, x2=4另一邊為 8 米或 50 米.答：當矩形長為 25 米時寬為 8 米，當矩形長為 50 米時寬為 4 米.4.【解答】 解：設圍成面積為 acm2的長方形的長為 xcm，則寬為（60 吃-x） cm,x （60 吃-x） =a，整理，得2x - 30 x+a=0,/ =900 - 4a 為,解得 a 25, a 的值不可能為 240;25.【解答】解：設動點 P, Q 運動 t 秒后，能使PBQ 的面積為 15cm , 則 BP 為（8

10、- t）cm, BQ 為 2tcm，由三角形的面積計算公式列方程得，X (8-t)X2t=15解得 t1=3, t2=5 （當 t=5 時，BQ=10，不合題意，舍去）. 答：動點 P, Q 運動 3 秒時，能使PBQ 的面積為 15cm2.6.解答】解：設點 P、Q 分別從點 A、B 同時出發(fā)，xs 后 P、Q 之間的距離等于/ AP=1 ?x=x , BQ=2x , BP=AB - AP=6 - x,2 2 2 BP +BQ =PQ ,即(6 - x)2+ ( 2x)2= (4 .J2,E：解得：X1=： , x2=2 (不合題意，舍去)7.【解答】 解：作 PG 丄 OC 于點 G,在R

11、tAPOG 中,/ / POQ=45 / OPG=45 答：點 P、Q 分別從點 A、B 同時出發(fā),債后 P、Q之間的距離等于4【cm.依題意，得4 _cm,當 t v 10 秒時，SAPCQ=-I - 二：廠/OP= tt, OG=PG=t,點 P (t, t),又 Q (2t, 0) , B (6 , 2),根據(jù)勾股定理可得：PB2=( 6 - t)2+(2 - t)2,QB2=( 6 - 2t)2+22,PQ2=(2t - t)2+=2,2 2 21若/PQB=90 則有 PQ +BQ =PB ,即：2t2+ (6 - 2t)2+22= ( 6 - t)2+ (2 - t)2, 整理得：

12、4t2- 8t=0 ,解得：two (舍去)，t2=2 , t=2 ,2若/PBQ=90 則有 PB2+QB2=PQ2,2 2 2 2 2 (6 - t) + (2 -t) + (6 - 2t) +2 =2t ,整理得：t2- 10t+20=0 ,解得：t=5 ,當 t=2 或 t=5+或 t=5 - I 人時， PQB 為直角三角形.故答案為： 2 或 5+舫或 5-品.2 / SABC=-MI當 t v 10 秒時，SAPCQ=-I - 二：廠&【解答】解：如圖.設 BC=a , AC=b.根據(jù)題意得 a+ b=2m - 1, ab=4 (m - 1).由勾股定理可知 a2+ b2

13、=25 ,2 2 2 2 2. a2+b2= (a+b) - 2ab= (2m - 1) - 8 ( m - 1) =4m2- 12m+9=25 , 4m2- 12m - 16=0 ,2即 m - 3m - 4=0 ,解得 m= - 1, m2=4 ./a+b=2m- 1 0 ,即 m丄，2當 t v 10 秒時，P 在線段 AB 上,此時 CQ=t , PB=10 - t t）二* dot-）I當 t 10 秒時，P 在線段 AB 得延長線上，此時 CQ=t , PB=t - 10- -.iu詁(t2-ioom=4.整理得 t2- 10t+100=0 無解(6 分)當t10秒時，PCQ=I-

14、 : i-:2整理得 t2- 10t - 100=0 解得 t=5 i5 !.(舍去負值)(7 分)當點 P 運動-：一秒時，SA PCQ=SA ABC(8 分)(3) 當點 P、Q 運動時，線段 DE 的長度不會改變.證明：過 Q 作 QM 丄 AC,交直線 AC 于點 M易證APEBAQCM, AE=PE=CM=QM= t,2四邊形 PEQM 是平行四邊形，且 DE 是對角線 EM 的一半.又 EM=AC=10：?DE=5 . :當點 P、Q 運動時，線段 DE 的長度不會改變.同理，當點 P 在點 B 右側時，DE=5 . :綜上所述，當點 P、Q 運動時，線段 DE 的長度不會改變.1

15、0. 【解答】解：設人行道的寬度為 x 米，根據(jù)題意得, (18 - 3x) (6 - 2x) =60,化簡整理得，(x- 1) (x-8) =0. 解得 X1=1 , x2=8 (不合題意，舍去). 答：人行通道的寬度是 1m.11. 【解答】(1)解：當 a=3, b=4, c=5 時勾系一元二次方程為 3x2+T|x+4=0 ；(2)證明：根據(jù)題意，得=(打:.c)2- 4ab=2c2 4ab2 2 2/a +b =c 2c2- 4ab=2 ( a2+b2)- 4ab=2 (a- b)2s0 即為勾系一元二次方程必有實數(shù)根；(3)解：當 x= - 1 時，有 a -：c+b=O,即 a+

16、b= #c/ 2a+2b+：c=6 _ 匕即 2 (a+b) + . c=6 .二 3 .： ：c=6 c=2 a2+b2= c2=4, a+b=2 .才2 2 2T (a+b)=a +b +2ab ab=2- SAABC=ab=1.:12.【解答】 解：(1)設 經(jīng)過 x 秒以后 PBQ 面積為 6X (5-x)2x=6 整理得：x2- 5x+6=0解得：x=2 或 x=3答：2 或 3 秒后 PBQ 的面積等于 6cm2(2)當 PQ=5 時，在 RtAPBQ 中，/ BP2+BQ2=PQ2,2 2 2- ( 5 - t)+ (2t)=5 ,5t2- 10t=0, t (5t- 10) =

17、0,tl=0 , t2=2,當 t=0 或 2 時，PQ 的長度等于 5cm.(3)設經(jīng)過 x 秒以后 PBQ 面積為 8,丄X (5-x)2x=83整理得：x2- 5x+8=0=25-32=-7V0 PQB 的面積不能等于 8cm2.13.【解答】解：(1)設 P、Q 兩點從出發(fā)開始到 x 秒時四邊形 PBCQ 的面積為 則 PB=(16 - 3x) cm, QC=2xcm,根據(jù)梯形的面積公式得 丄(16 - 3x+2x)X5=33,2解得 x=5;答：P、Q 兩點從出發(fā)開始到 5 秒時四邊形 PBCQ 的面積為 33cm2;(2)設 P, Q 兩點從出發(fā)經(jīng)過 t 秒時，點 P, Q 間的距

18、離是 10cm, 作 QE 丄 AB,垂足為 E,貝UQE=AD=6, PQ=10,/ PA=3t, CQ=BE=2t, PE=AB - AP - BE=|16 - 5t|,由勾股定理，得(16 - 5t)2+62=102,解得 t 仁 4.8 , t2=1.6 .答：從出發(fā)到 1.6 秒或 4.8 秒時，點 P 和點 Q 的距離是 10cm.：昭而=后云牛辰18,在運動過程中，點 P 和點 Q 之問的距離不可能是 18cm.33 cm2,1當點 P 與點 N 重合時，由 x2+2x=20 , 因為 BQ+CM=x+3x=4 (小-1) 20，不符合題意.故點 Q 與點 M 不能重合.所以所求 x 的值為負 -1.(2)由(1)知，點 Q 只能在點 M 的左側，1當點 P 在點 N 的左側時，由 20-( x+3x) =20 -( 2x+x2),解得 x 仁 0 (舍去)，x2=2.當 x=2 時四邊形 PQMN 是平行四邊形.2當點 P 在點 N 的右側時，由 20-( x+3x) = (2x+x2)- 20,解得 X 仁-10 (舍去)，x2=4 .當 x=4 時四邊形 NQMP 是平行四邊形.所以當 x=2 或 x=4 時，以 P, Q , M , N 為頂點的四邊形是平行四邊形.(3)過