高中數(shù)學(xué)基本不等式的解法十例

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中數(shù)學(xué)基本不等式問(wèn)題求解十例一、基本不等式的基礎(chǔ)形式1，其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。2，其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。3?？疾坏仁剑?，其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。二、常見(jiàn)問(wèn)題及其處理辦法問(wèn)題1：基本不等式與最值解題思路：（1）積定和最?。喝羰嵌ㄖ?，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，。其中（2）和定積最大：若是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，其中。例題1：若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值是 解析：很明顯，和為定，根據(jù)和定積最大法則可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。變式：函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)在直線上，則的最大值為_(kāi)。解析：由題意可得函數(shù)圖像恒過(guò)定點(diǎn)，將點(diǎn)代入直線方程中可得，明顯，和為定，根據(jù)和定積最大法則可得：，當(dāng)且

2、僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。例題2：已知函數(shù)，則取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值為_(kāi)解析：很明顯，積為定，根據(jù)積定和最小法則可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。變式：已知，則的最小值為 。解析：由題意可得，明顯，積為定，根據(jù)和定積最大法則可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)可得。例題3：若對(duì)任意x>0，a恒成立，則a的取值范圍是_解析：分式形式的不等式，可以考慮采用常數(shù)分離的方法。解法1：將化簡(jiǎn)可得，觀察分母，很明顯可以得到積為定值，根據(jù)積定和最小的法則可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。故而可得分式的分母，因此可得：。解法2：將化簡(jiǎn)可得，令，這是一個(gè)對(duì)勾函數(shù)，故而可得。故而分母，代入分式函數(shù)取倒數(shù)可得因此可得：。問(wèn)題2：“1”的代換解題

3、思路：根據(jù)，對(duì)所求內(nèi)容進(jìn)行乘除化簡(jiǎn)即可。例題4：若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足 ，且不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 。解析：由題意可得，左邊乘以可得：，化簡(jiǎn)可得：，很明顯中積為定值，根據(jù)積定和最小的法則可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。故而可得。不等式有解，亦即，亦即，解得或者，故而可得。變式：若， ，且，則的最小值為_(kāi)解析：由，化簡(jiǎn)題干條件可得乘以所求內(nèi)容可得：，化簡(jiǎn)后可得：，很明顯中二者積為定值，根據(jù)積定和最小法則可得，當(dāng)且僅當(dāng)，亦即時(shí)取等號(hào)。此時(shí)可得。問(wèn)題3：方程中的基本不等式解題思路：將需要利用不等式的項(xiàng)移到方程的一邊，利用基本不等式求解即可。例題5：（2015·湖南高考）若實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足

4、，則ab的最小值為_(kāi)解析：由題意可知可以利用基本不等式，根據(jù)基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，化簡(jiǎn)后可得：，此時(shí)變式：若lg(3x)lgylg(xy1)，則xy的最小值為_(kāi)解析：將題干條件化簡(jiǎn)可得：，由題意需要求解，故而可知利用不等式，將條件化簡(jiǎn)可得：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，化簡(jiǎn)上式可得，此時(shí)問(wèn)題4：含參基本不等式問(wèn)題解題思路：利用含參不等式的解法求解即可。例題6：已知對(duì)于任意的恒成立，則（ ）A的最小值為 B的最小值為C的最大值為2 D的最大值為4解析：由題意可知參數(shù)為，將自變量移項(xiàng)可得：，觀察等式右側(cè)，可知等式右側(cè)經(jīng)配湊可得積為定值，根據(jù)積定和最小可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)可得。由對(duì)于任

5、意的恒成立可得：，化簡(jiǎn)可得，解得。變式6：已知a>0，b>0，若不等式恒成立，則m的取值范圍是 。解析：由題意可知參數(shù)為m，將雙自變量、移項(xiàng)可得：恒成立，故而可得，將不等式右側(cè)化簡(jiǎn)可得，很明顯積為定值，根據(jù)積定和最小法則可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。故而，代入不等式中可得化簡(jiǎn)為解不等式可得。問(wèn)題5：不等式與其他問(wèn)題結(jié)合（向量與不等式）例題7：已知，且三點(diǎn)在同一條直線上，則的最小值為_(kāi)解析：由三點(diǎn)共線可得，觀察形式采用“1”的代換，故而，等式右側(cè)積為定值，故而利用積定和最小法則可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。故而可得。（不等式與解析幾何）例題8：若直線（， ）被圓截得的弦長(zhǎng)為4，則的最小值為

6、。解析：將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，根據(jù)弦長(zhǎng)為4可得直線經(jīng)過(guò)圓心。將圓心代入直線方程可得。觀察求解形式可得采用“1”的代換方法，即，化簡(jiǎn)可得很明顯積為定，根據(jù)積定和最小法則可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故而可得。（基本不等式與線性規(guī)劃）例題9：設(shè)滿(mǎn)足條件，若目標(biāo)函數(shù)（）的最大值為12，則的最小值為 。解析：作出可行域如圖所示：故而可得在點(diǎn)取最大值，即 ，由題意可得采用“1”的代換求解。即，觀察分子可得分子積為定值，根據(jù)積定和最小法則可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故而可得。（不等式與解三角形）例題7：ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b2+c2-a2+bc=0.（1）求角A的大小；（2）若a=3，求SABC的最大值.（3）求周長(zhǎng)的最值。.解析：（1）由題意與余弦定理可得，解得，故而（2