高考總復習之正態(tài)分布(-教師版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題 正態(tài)分布【高考會這樣考】利用實際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義【復習指導】掌握好正態(tài)密度曲線的特點，尤其是其中的參數(shù)、的含義，會由其對稱性求解隨機變量在特定區(qū)間上的概率基礎梳理1正態(tài)曲線及性質(zhì)(1)正態(tài)曲線的定義函數(shù)x(，)，其中實數(shù)和(>0)為參數(shù)，我們稱，(x)的圖象(如圖)為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線(2)正態(tài)曲線的解析式指數(shù)的自變量是x定義域是R，即x(，)解析式中含有兩個常數(shù)：和e，這是兩個無理數(shù)解析式中含有兩個參數(shù)：和，其中可取任意實數(shù)，0這是正態(tài)分布的兩個特征數(shù)解析式前面有一個系數(shù)為，后面是一個以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)

2、的形式，冪指數(shù)為. 六條性質(zhì)正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線，(x)e，xR有以下性質(zhì)：(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x對稱；(3)曲線在x處達到峰值；(4)曲線與x軸圍成的圖形的面積為1；(5)當一定時，曲線隨著的變化而沿x軸平移；(6)當一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散 三個鄰域會用正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值結(jié)合正態(tài)曲線求隨機變量的概率落在三個鄰域之外是小概率事件，這也是對產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測的理論依據(jù)雙基自測1 設有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象， 且f(x

3、)e，則這個正態(tài)總體的平均數(shù)與標準差分別是()A10與8 B10與2 C8與10 D2與10解析由ee，可知2，10.2 (2011·湖北)已知隨機變量服從正態(tài)分布N(2，2)，且P(4)0.8，則P(02)等于()A0.6 B0.4 C0.3 D0.2解析由P(4)0.8知P(4)P(0)0.2，故P(02)0.3.故選C.3(2010·廣東)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(2X4)0.682 6，則P(X4)等于()A0.158 8 B0.158 7 C0.158 6 D0.158 5解析由正態(tài)曲線性質(zhì)知，其圖象關(guān)于直線x3對稱，P(X4)0.5P(2X4

4、)0.5×0.682 60.158 7.故選B.4(2010·山東)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(0，2)，若P(X>2)0.023，則P(2X2)等于()A0.477 B0.628 C0.954 D0.977解析P(2X2)12P(X>2)0.954.5設隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(X>c1)P(X<c1)，則c等于()A1 B2 C3 D4解析2，由正態(tài)分布的定義知其函數(shù)圖象關(guān)于x2對稱，于是2，c2.考向一正態(tài)曲線的性質(zhì)【例1】若一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為 .(1)求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式

5、；(2)求正態(tài)總體在(4,4的概率審題視點 要確定一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個參數(shù)，的值，其中決定曲線的對稱軸的位置，則與曲線的形狀和最大值有關(guān)解(1)由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對稱，即0.由，得4，故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是，(x)e，x(，)(2)P(4<X4)P(04<X04)P(<X)0.682 6. 解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)解析式與正態(tài)曲線的關(guān)系，掌握函數(shù)解析式中參數(shù)的取值變化對曲線的影響【訓練1】 設兩個正態(tài)分布N(1，)(10)和N(2，)(20)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有()A

6、12，12 B12，12C12，12 D12，12解析根據(jù)正態(tài)分布N(，2)函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線x對稱，在x處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；越大，曲線的最高點越低且較平緩；反過來，越小，曲線的最高點越高且較陡峭，故選A.答案A考向二服從正態(tài)分布的概率計算【例2】設XN(1,22)，試求(1)P(1<X3)；(2)P(3<X5)；(3)P(X5)審題視點 將所求概率轉(zhuǎn)化到(，(2，2或3，3上的概率，并利用正態(tài)密度曲線的對稱性求解解XN(1,22)，1，2.(1)P(1<X3)P(12<X12)P(<X)0.682 6.(2)P(3<X5)P(3

7、<X1)，P(3<X5)P(3<X5)P(1<X3)P(14<X14)P(12<X12)P(2<X2)P(<X)×(0.954 40.682 6)0.135 9.(3)P(X5)P(X3)，P(X5)1P(3<X5)1P(14<X14)1P(2<X2)×(10.954 4)0.022 8. 求服從正態(tài)分布的隨機變量在某個區(qū)間取值的概率，只需借助正態(tài)曲線的性質(zhì)，把所求問題轉(zhuǎn)化為已知概率的三個區(qū)間上【訓練2】 隨機變量服從正態(tài)分布N(1，2)，已知P(0)0.3，則P(2)_.解析由題意可知，正態(tài)分布的圖象關(guān)于直

8、線x1對稱，所以P(2)P(0)0.3，P(2)10.30.7.考向三正態(tài)分布的應用【例3】2011年中國汽車銷售量達到1 700萬輛，汽車耗油量對汽車的銷售有著非常重要的影響，各個汽車制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量，某汽車制造公司為調(diào)查某種型號的汽車的耗油情況，共抽查了1 200名車主，據(jù)統(tǒng)計該種型號的汽車的平均耗油為百公里8.0升，并且汽車的耗油量服從正態(tài)分布N(8，2)，已知耗油量7,9的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車大約有_輛審題視點 根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性求解解由題意可知N(8，2)，故正態(tài)分布曲線以8為對稱軸，又因為P(79)0.7，故P(79)2P(89)0.7，所以

9、P(89)0.35，而P(8)0.5，所以P(9)0.15，故耗油量大于9升的汽車大約有1 200×0.15180輛 服從正態(tài)分布的隨機變量在一個區(qū)間上的概率就是這個區(qū)間上，正態(tài)密度曲線和x軸之間的曲邊梯形的面積，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性，當P(x1)P(x2)時必然有，這是解決正態(tài)分布類試題的一個重要結(jié)論【訓練3】 工廠制造的某機械零件尺寸X服從正態(tài)分布N，問在一次正常的試驗中，取1 000個零件時，不屬于區(qū)間(3,5這個尺寸范圍的零件大約有多少個？解XN，4，.不屬于區(qū)間(3,5的概率為P(X3)P(X5)1P(3X5)1P(41X41)1P(3X3)10.997 40.002

10、60.003，1 000×0.0033(個)，即不屬于區(qū)間(3,5這個尺寸范圍的零件大約有3個閱卷報告19正態(tài)分布中概率計算錯誤【問題診斷】 正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機變量的分布，這個考點雖然不是高考的重點，但在近幾年新課標高考中多次出現(xiàn)，其中數(shù)值計算是考查的一個熱點，考生往往不注意對這些數(shù)值的記憶而導致解題無從下手或計算錯誤【防范措施】 對正態(tài)分布N(，2)中兩個參數(shù)對應的數(shù)值及其意義應該理解透徹并記住，且注意第二個數(shù)值應該為2而不是，同時，記住正態(tài)密度曲線的六條性質(zhì)【示例】 已知某次數(shù)學考試的成績服從正態(tài)分布N(116，64)，則成績在140分以上的考生所占的百分比為()A0.3% B0.23%C1.5% D0.15%錯因(1)不能正確得出該正態(tài)分布的兩個參數(shù)，導致計算無從下手(2)對正態(tài)分布中隨機變量在三個區(qū)間內(nèi)取值的概率數(shù)值記憶不準，導致計算出錯實錄同學甲A同學乙B同學丙C正解依題意，116，8，所以392，3140，而服從正態(tài)分布的隨機變量在(3，3)內(nèi)取值的概率約為0.997，所以成績在區(qū)間(92,140