2021-2022學(xué)年北京市徐悲鴻中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年北京市徐悲鴻中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．1．（2分）拋物線y＝（x﹣1）2+2的頂點坐標(biāo)是（）A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）2．（2分）下列圖形中，既是中心對稱，又是軸對稱的是（）A． B． C． D．3．（2分）如圖，⊙O的直徑為10，AB為弦，OC⊥AB，垂足為C，若OC＝3，則弦AB的長為（）A．8 B．6 C．4 D．104．（2分）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34° B．46° C．56° D．66°5．（2分）拋物線y＝3x2向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是（）A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+26．（2分）⊙O的半徑為5，圓心O到點P的距離為6，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點在圓外 B．點在圓上 C．點在圓內(nèi) D．無法確定7．（2分）二次函數(shù)y＝kx2﹣6x+3的圖象與x軸有兩個交點，則k的取值范圍是（）A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠08．（2分）小軒從如圖所示的二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象中，觀察得出了下面五條信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④4ac﹣b2＞0；⑤a＝b．你認(rèn)為其中正確信息的個數(shù)有（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）拋物線y＝2（x﹣3）2﹣1開口向，有最值為．10．（2分）已知﹣1是關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一個根，則k＝．11．（2分）如圖，P是等邊△ABC內(nèi)一點，△BCM是由△BAP旋轉(zhuǎn)所得，則∠PBM＝°．12．（2分）寫出一個開口向上，經(jīng)過點（1，0）的二次函數(shù)．13．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點P（2，﹣3）關(guān)于原點對稱點P′的坐標(biāo)是．14．（2分）關(guān)于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是．15．（2分）“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用數(shù)學(xué)語言可以表述為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，如果CE＝1，AB＝10，那么半徑OC的長為．”16．（2分）如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y1＝ax2+bx+c與兩坐標(biāo)軸分別交于A（﹣1，0）、點B（3，0）和點C（0，﹣3），直線y2＝mx+n與拋物線交于B、C兩點．（1）當(dāng)x滿足時，y1＞y2；（2）當(dāng)x滿足時，y1?y2＞0．三、解答題（本題共68分，第17～22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27，28題，每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．17．（5分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．18．（5分）二次函數(shù)y＝x2+bx+3的圖象經(jīng)過點（4，3）．（1）求b的值；（2）寫出該二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)和對稱軸．19．（5分）已知：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y滿足下表．x…012345…y…30﹣10m8…（1）這個二次函數(shù)的對稱軸是；（2）可求得m的值為；（3）求出這個二次函數(shù)的解析式．20．（5分）已知：如圖，直線AC與圓O交于點B、C，直線AD過圓心O，若圓O的半徑是5，且∠DAC＝30°，AD＝13，OE⊥BC于點E，求弦BC的長．21．（5分）已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三個頂點坐標(biāo)為A（0，3），B（4，5），C（3，2）．（正方形網(wǎng)格中，每個小正方形邊長都是1個單位長度）．請畫出△ABC關(guān)于點O成中心對稱的△A'B'C'（請保留畫圖痕跡，不要求寫出畫法）．22．（5分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，D是中點，若∠BAC＝70°，求∠C．下面是小諾的解答過程，請幫她補(bǔ)充完整．∵D是中點，∴，∴∠1＝∠2．∵∠BAC＝70°，∴∠2＝35°．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°（）（填推理的依據(jù)）．∴∠B＝90°﹣∠2＝55°．∵A、B、C、D四個點都在⊙O上，∴∠C+∠B＝180°（）（填推理的依據(jù)）．∴∠C＝180°﹣∠B＝（填計算結(jié)果）．23．（6分）求證：無論k為何值時，二次函數(shù)y＝﹣x2+kx+2的圖象與x軸總有兩個交點．24．（6分）如圖，已知⊙O為△ABC的外接圓，CE是⊙O的直徑，CD⊥AB，D為垂足，求證：∠ACD＝∠BCE．25．（6分）一條單車道的拋物線形隧道如圖所示．隧道中公路的寬度AB＝8m，隧道的最高點C到公路的距離為6m．（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求拋物線的表達(dá)式；（2）現(xiàn)有一輛貨車的高度是4.4m，貨車的寬度是2m，為了保證安全，車頂距離隧道頂部至少0.5m，通過計算說明這輛貨車能否安全通過這條隧道．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y＝mx2+2mx+3的圖象與x軸交于點A（﹣3，0），與y軸交于點B，將其圖象在點A，B之間的部分（含A，B兩點）記為F．（1）求點B的坐標(biāo)及該函數(shù)的表達(dá)式；（2）若直線y＝a與F只有一個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出a的取值范圍．27．（7分）正方形ABCD中，將邊AB所在直線繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度α得到直線AM，過點C作CE⊥AM，垂足為E，連接BE．（1）當(dāng)0°＜α＜45°時，設(shè)AM交BC于點F，①如圖1，若α＝35°，則∠BCE＝°；②如圖2，用等式表示線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）當(dāng)45°＜α＜90°時（如圖3），請直接用等式表示線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系．28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：若點P在圖形M上，點Q在圖形N上，如果PQ兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形M，N的“近距離”，記為d（M，N）．特別地，當(dāng)圖形M與圖形N有公共點時，d（M，N）＝0．已知A（﹣4，0），B（0，4），C（﹣2，0）．（1）d（點A，點B）＝，d（點A，線段BC）＝；（2）⊙O半徑為r，①當(dāng)r＝1時，⊙O與線段AB的“近距離”d（⊙O，線段AB）＝；②若d（⊙O，△ABC）＝1，則r＝．

2021-2022學(xué)年北京市徐悲鴻中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．1．（2分）拋物線y＝（x﹣1）2+2的頂點坐標(biāo)是（）A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）【分析】根據(jù)拋物線的頂點式解析式寫出頂點坐標(biāo)即可．【解答】解：y＝（x﹣1）2+2的頂點坐標(biāo)為（1，2）．故選：A．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握利用頂點式解析式寫出頂點坐標(biāo)的方法是解題的關(guān)鍵．2．（2分）下列圖形中，既是中心對稱，又是軸對稱的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【解答】解：A、不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；B、既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，故本選項正確；C、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項錯誤；D、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項錯誤．故選：B．【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．3．（2分）如圖，⊙O的直徑為10，AB為弦，OC⊥AB，垂足為C，若OC＝3，則弦AB的長為（）A．8 B．6 C．4 D．10【分析】先連接OA，根據(jù)勾股定理求出AC的長，由垂徑定理可知，AB＝2AC，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：連接OA，∵OA＝5，OC＝3，OC⊥AB，∴AC＝＝＝4，∵OC⊥AB，∴AB＝2AC＝2×4＝8．故選：A．【點評】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．4．（2分）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34° B．46° C．56° D．66°【分析】由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝34°，可求得∠ABD的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝34°，∴∠ABD＝34°∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，故選：C．【點評】此題考查了圓周角定理以及直角三角形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．5．（2分）拋物線y＝3x2向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是（）A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．【解答】解：由“左加右減”的原則可知，將拋物線y＝3x2向左平移1個單位所得的拋物線的表達(dá)式是y＝3（x+1）2；由“上加下減”的原則可知，將拋物線y＝3（x+1）2向下平移2個單位所得的拋物線的表達(dá)式是y＝3（x+1）2﹣2．故選：B．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．6．（2分）⊙O的半徑為5，圓心O到點P的距離為6，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點在圓外 B．點在圓上 C．點在圓內(nèi) D．無法確定【分析】直接根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判斷方法求解．【解答】解：∵⊙O的半徑為5，圓心O到點P的距離為6，∴圓心O到點P的距離大于圓的半徑，∴點P在⊙O外．故選：A．【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d＝r；點P在圓內(nèi)?d＜r．7．（2分）二次函數(shù)y＝kx2﹣6x+3的圖象與x軸有兩個交點，則k的取值范圍是（）A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0【分析】根據(jù)根的判別式與二次函數(shù)的定義列出關(guān)于k的不等式組，求出k的取值范圍即可．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝kx2﹣6x+3的圖象與x軸有兩個交點，∴，即，解得k＜3且k≠0．故選：B．【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，熟知拋物線與x軸的交點與△的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．8．（2分）小軒從如圖所示的二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象中，觀察得出了下面五條信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④4ac﹣b2＞0；⑤a＝b．你認(rèn)為其中正確信息的個數(shù)有（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用函數(shù)圖象分別求出a，b，c的符號，進(jìn)而得出x＝1或﹣1時y的符號，進(jìn)而判斷得出答案．【解答】解：∵圖象開口向下，∴a＜0，∵對稱軸x＝﹣＝﹣，∴3b＝2a，則a＝b，∴b＜0，∵圖象與x軸交于y軸正半軸，∴c＞0，∴abc＞0，故選項①錯誤；選項⑤正確；②由圖象可得出：當(dāng)x＝1時，y＜0，∴a+b+c＜0，故選項②正確；③當(dāng)x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＞0，∴b﹣b+c＞0，∴b+2c＞0，故選項③正確；④拋物線與x軸有兩個交點，則b2﹣4ac＞0，則4ac﹣b2＜0，故選項④錯誤．故正確的有3個．故選：B．【點評】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運用．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）拋物線y＝2（x﹣3）2﹣1開口向上，有最小值為﹣1．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：∵二次項的系數(shù)大于0，∴拋物線的開口向上，由拋物線的解析式可得頂點為（3，﹣1），∴函數(shù)有最小值為﹣1，故答案為：上，小，﹣1．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是要牢記二次函數(shù)的頂點式的意義．10．（2分）已知﹣1是關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一個根，則k＝﹣2．【分析】把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，然后解關(guān)于k的方程．【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，解得k＝﹣2．故答案為﹣2．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．11．（2分）如圖，P是等邊△ABC內(nèi)一點，△BCM是由△BAP旋轉(zhuǎn)所得，則∠PBM＝60°．【分析】連接PM，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠MBC＝∠PBA，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證∠MBC+∠CBP＝∠PBA+∠CBP＝∠ABC＝60°．【解答】解：如圖，連接PM，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠MBC＝∠PBA，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠MBC+∠CBP＝∠PBA+∠CBP＝∠ABC＝60°，即∠PBM＝60°．故答案為：60．【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識，明確旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．12．（2分）寫出一個開口向上，經(jīng)過點（1，0）的二次函數(shù)y＝x2﹣1（答案不唯一）．【分析】根據(jù)題意和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，注意本題答案不唯一．【解答】解：∵二次函數(shù)的圖象開口向上，且經(jīng)過點（1，0），∴a＞0，∴該函數(shù)圖象可以是y＝x2﹣1，故答案為：y＝x2﹣1（答案不唯一）．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．13．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點P（2，﹣3）關(guān)于原點對稱點P′的坐標(biāo)是（﹣2，3）．【分析】平面直角坐標(biāo)系中任意一點P（x，y），關(guān)于原點的對稱點是（﹣x，﹣y）．【解答】解：根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，得點P（2，﹣3）關(guān)于原點的對稱點P′的坐標(biāo)是（﹣2，3）．故答案為：（﹣2，3）．【點評】關(guān)于原點對稱的點坐標(biāo)的關(guān)系，是需要識記的基本問題．記憶方法是結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的圖形記憶．14．（2分）關(guān)于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是a≥1且a≠5．【分析】在與一元二次方程有關(guān)的求值問題中，必須滿足下列條件：（1）二次項系數(shù)不為零；（2）在有實數(shù)根下必須滿足Δ＝b2﹣4ac≥0．【解答】解：因為關(guān)于x的一元二次方程有實根，所以Δ＝b2﹣4ac＝16+4（a﹣5）≥0，解之得a≥1．∵a﹣5≠0∴a≠5∴實數(shù)a的取值范圍是a≥1且a≠5故答案為a≥1且a≠5．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當(dāng)Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．15．（2分）“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用數(shù)學(xué)語言可以表述為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，如果CE＝1，AB＝10，那么半徑OC的長為13．”【分析】連接OA，設(shè)OA＝r，則OE＝r﹣1，再根據(jù)AB＝10，AB⊥CD得出AE＝5，在Rt△AOE中根據(jù)勾股定理可得出r的值即可．【解答】解：連接OA，設(shè)OA＝r，則OE＝r﹣1，∵弦AB⊥CD于E，AB＝10，∴AE＝5，在Rt△AOE中，OA＝r，AE＝5，OE＝r﹣1，∴52+（r﹣1）2＝r2，解得r＝13，故答案為：13．【點評】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．16．（2分）如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y1＝ax2+bx+c與兩坐標(biāo)軸分別交于A（﹣1，0）、點B（3，0）和點C（0，﹣3），直線y2＝mx+n與拋物線交于B、C兩點．（1）當(dāng)x滿足x＜0或x＞3時，y1＞y2；（2）當(dāng)x滿足x＞﹣1且x≠3時，y1?y2＞0．【分析】（1）根據(jù)圖象拋物線在直線上方的部分確定x的取值范圍．（2）根據(jù)拋物線與直線圖象同時滿足在x軸下方或x軸上方確定x的取值范圍．【解答】解：（1）由圖象得x＜0或x＞3時，拋物線在直線上方，故答案為：x＜0或x＞3．（2）由圖象得﹣1＜x＜3時，y1＜0，y2＜0，x＞3時，y1＞0，y2＞0，故答案為：x＞﹣1且x≠3．【點評】本題考查二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，根據(jù)圖象求解．三、解答題（本題共68分，第17～22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27，28題，每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．17．（5分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．【分析】通過觀察方程形式，本題可用因式分解法進(jìn)行解答．【解答】解：原方程可以變形為（x﹣3）（x+1）＝0x﹣3＝0或x+1＝0∴x1＝3，x2＝﹣1．【點評】熟練運用因式分解法解一元二次方程．注意：常數(shù)項應(yīng)分解成兩個數(shù)的積，且這兩個的和應(yīng)等于一次項系數(shù)．18．（5分）二次函數(shù)y＝x2+bx+3的圖象經(jīng)過點（4，3）．（1）求b的值；（2）寫出該二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)和對稱軸．【分析】（1）利用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為方程組即可解決問題；（2）利用配方法即可解決問題．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+bx+3的圖象經(jīng)過點（4，3），∴16+4b+3＝3，解得b＝﹣4．（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，﹣1），對稱軸x＝2．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象上的點的特征、待定系數(shù)法、配方法等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．19．（5分）已知：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y滿足下表．x…012345…y…30﹣10m8…（1）這個二次函數(shù)的對稱軸是直線x＝2；（2）可求得m的值為3；（3）求出這個二次函數(shù)的解析式．【分析】（1）根據(jù)表中x、y的對應(yīng)值可知，當(dāng)x＝1與x＝3時y的值相等，所以此兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，由中點坐標(biāo)公式即可得出對稱軸的直線方程；（2）根據(jù)拋物線的對稱性求得即可；（3）利用待定系數(shù)法求得即可．【解答】解：（1）∵由表中x、y的對應(yīng)值可知，當(dāng)x＝1與x＝3時y的值相等，∴對稱軸是直線x＝＝2，故答案為直線x＝2；（2）∵點（0，3）關(guān)于直線x＝2的對稱點為（4，3），∴m＝3，故答案為3；（3）∵拋物線的頂點為（2，﹣1），∴設(shè)解析式為y＝a（x﹣2）2﹣1，代入點（0，3）得，3＝4a﹣1，解得a＝1，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣4x+3．【點評】此題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法與步驟是解決問題的關(guān)鍵．20．（5分）已知：如圖，直線AC與圓O交于點B、C，直線AD過圓心O，若圓O的半徑是5，且∠DAC＝30°，AD＝13，OE⊥BC于點E，求弦BC的長．【分析】連接OB，由垂徑定理可得CB＝2BE，由勾股定理求出BE的長度，即可求出BC的長度．【解答】解：如圖，連接OB，∵圓O的半徑是5，AD＝13，∴OA＝8，∵∠DAC＝30°，OE⊥BC于點E，∴OE＝OA＝×8＝4，BC＝2BE，在Rt△OBE中，BE＝＝＝3，∴BC＝2BE＝2×3＝6．【點評】本題考查了垂徑定理及勾股定理，熟練運用垂徑定理是解題的關(guān)鍵．21．（5分）已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三個頂點坐標(biāo)為A（0，3），B（4，5），C（3，2）．（正方形網(wǎng)格中，每個小正方形邊長都是1個單位長度）．請畫出△ABC關(guān)于點O成中心對稱的△A'B'C'（請保留畫圖痕跡，不要求寫出畫法）．【分析】利用中心對稱的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點A′，B′，C′即可．【解答】解：如圖，△A′B′C′即為所求．【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．22．（5分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，D是中點，若∠BAC＝70°，求∠C．下面是小諾的解答過程，請幫她補(bǔ)充完整．∵D是中點，∴，∴∠1＝∠2．∵∠BAC＝70°，∴∠2＝35°．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°（直徑所對的圓周角是直角）（填推理的依據(jù)）．∴∠B＝90°﹣∠2＝55°．∵A、B、C、D四個點都在⊙O上，∴∠C+∠B＝180°（圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)）（填推理的依據(jù)）．∴∠C＝180°﹣∠B＝125°（填計算結(jié)果）．【分析】根據(jù)圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，求出∠B即可解決問題．【解答】解：∵D是中點，∴，∴∠1＝∠2．∵∠BAC＝70°，∴∠2＝35°．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°（直徑所對的圓周角是直角）（填推理的依據(jù)）．∴∠B＝90°﹣∠2＝55°．∵A、B、C、D四個點都在⊙O上，∴∠C+∠B＝180°（圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)）（填推理的依據(jù)）．∴∠C＝180°﹣∠B＝125°（填計算結(jié)果）．故答案為：直徑所對的圓周角是直角；圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)；125°．【點評】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．23．（6分）求證：無論k為何值時，二次函數(shù)y＝﹣x2+kx+2的圖象與x軸總有兩個交點．【分析】求出方程的判別式Δ的值，根據(jù)判別式的意義即可證明．【解答】證明：∵二次函數(shù)y＝﹣x2+kx+2，∴Δ＝k2﹣4×（﹣1）×2＝k2+8＞0，∴無論k為何值，方程總有兩個不相等實數(shù)根．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是掌握拋物線與x軸交點與判別式的關(guān)系，24．（6分）如圖，已知⊙O為△ABC的外接圓，CE是⊙O的直徑，CD⊥AB，D為垂足，求證：∠ACD＝∠BCE．【分析】首先連接BE，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠A+∠ACD＝90°，根據(jù)圓周角定理可得∠E+∠ECB＝90°，∠A＝∠E，進(jìn)而可證明∠ACD＝∠BCE．【解答】證明：連接EB，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∵CE是⊙O的直徑，∴∠CBE＝90°，∴∠E+∠ECB＝90°，∵∠A＝∠E，∴∠ACD＝∠BCE．【點評】此題主要考查了圓周角定理，關(guān)鍵是掌握圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．25．（6分）一條單車道的拋物線形隧道如圖所示．隧道中公路的寬度AB＝8m，隧道的最高點C到公路的距離為6m．（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求拋物線的表達(dá)式；（2）現(xiàn)有一輛貨車的高度是4.4m，貨車的寬度是2m，為了保證安全，車頂距離隧道頂部至少0.5m，通過計算說明這輛貨車能否安全通過這條隧道．【分析】（1）以AB所在直線為x軸，以拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖所示，利用待定系數(shù)法即可解決問題．（1）求出x＝1時的y的值，與4.4+0.5比較即可解決問題．【解答】解：（1）本題答案不唯一，如：以AB所在直線為x軸，以拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖所示．∴A（﹣4，0），B（4，0），C（0，6）．設(shè)這條拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣4）（x+4）．∵拋物線經(jīng)過點C，∴﹣16a＝6．∴a＝﹣∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+6，（﹣4≤x≤4）．（2）當(dāng)x＝1時，y＝，∵4.4+0.5＝4.9＜，∴這輛貨車能安全通過這條隧道．【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、平面直角坐標(biāo)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，掌握待定系數(shù)法解決問題，屬于中考?？碱}型．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y＝mx2+2mx+3的圖象與x軸交于點A（﹣3，0），與y軸交于點B，將其圖象在點A，B之間的部分（含A，B兩點）記為F．（1）求點B的坐標(biāo)及該函數(shù)的表達(dá)式；（2）若直線y＝a與F只有一個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出a的取值范圍．【分析】（1）令x＝0，解得y＝3，即可求得B的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式；（2）畫出函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3的圖象，根據(jù)圖象即可求得．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝mx2+2mx+3的圖象與x軸交于點A（﹣3，0），與y軸交于點B，∴令x＝0，則y＝3，∴B（0，3），把A（﹣3，0）代入y＝mx2+2mx+3得0＝9m﹣6m+3解得m＝﹣1，∴函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2﹣2x+3；（2）畫出函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3的圖象如圖所示：由圖象可知，函數(shù)y＝a的圖象與F只有一個公共點，a的取值范圍為0≤a＜3或a＝4．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．27．（7分）正方形ABCD中，將邊AB所在直線繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度α得到直線AM，過點C作CE⊥AM，垂足為E，連接BE．（1）當(dāng)0°＜α＜45°時，設(shè)AM交BC于點F，①如圖1，若α＝35°，則∠BCE＝35°；②如圖2，用等式表示線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）當(dāng)45°＜α＜90°時（如圖3），請直接用等式表示線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）①利用正方形的性質(zhì)得出∠ABC＝90°，進(jìn)而求出∠AFB＝90°﹣∠BAF＝55°，再利用對頂角相等得出∠CFE＝∠AFB＝55°，即可得出結(jié)論；②先利用等式的性質(zhì)得出∠ABG＝∠CBE，再同①的方法得出∠α＝∠BCE，進(jìn)而判斷出△ABG≌△CBE（ASA），得出AG＝CE，BG＝BE，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出∠ABG＝∠CBE，進(jìn)而用同①的方法判斷出∠DAH＝∠DCE，即可得出∠BAG＝∠BCE，判斷出△ABG≌△CBE（ASA），得出AG＝CE，BG＝BE，即可得出結(jié)論．【解答】（1）①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵∠BAF＝35°，∴∠AFB＝90°﹣∠BAF＝55°，∴∠CFE＝∠AFB＝55°，∵CE⊥AM，∴∠CEF＝90°，∴∠ECF＝90°﹣∠CFE＝35°，即：∠BCE＝35°，故答案為：35；②AE＝CE+BE．證明：如圖2，過點B作BG⊥BE，交AM于點G，∴∠GBE＝∠GBC+∠CBE＝90°．∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠ABG+∠GBC＝90°，∴∠ABG＝∠CBE．∵∠ABC＝90°，∴∠α+∠AFB＝90°，∵∠CFE＝∠AFB，∴∠α+∠CFE＝90°，∵∠CEF＝90°，∴∠BCE+∠CFE＝90°，∴∠α＝∠BCE．在△ABG和△CBE中，∠ABG＝∠CBE，AB＝BC，∠α＝∠BCE，∴△ABG≌△CBE（ASA），∴AG＝CE，BG＝BE．∵在Rt△BEG中，BG＝BE，∴GE＝BE，∴AE＝AG+GE＝CE+BE．（2）AE+CE＝BE．理由：如圖3，過點B作BG⊥BE，交AM于點G，∴∠GBE＝∠G