角平分線的性質(zhì)、判定》課件

1、第第13章章 全等三角形全等三角形13.5 逆命題與逆定理逆命題與逆定理第第3課時(shí)課時(shí) 角平分線角平分線角角 平分線的性質(zhì)平分線的性質(zhì)1知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)知知2 2導(dǎo)導(dǎo)我們我們已經(jīng)知道角是軸對(duì)稱圖形，角平分線所在已經(jīng)知道角是軸對(duì)稱圖形，角平分線所在的的直直 線是角的對(duì)稱軸線是角的對(duì)稱軸.如圖如圖13. 5. 4，OC是是AOB的平分的平分線線， P是是OC上任上任一點(diǎn)，一點(diǎn)，作作PD丄丄OA，PE丄丄OB，垂足，垂足分別分別為為 點(diǎn)點(diǎn)D和點(diǎn)和點(diǎn)E. 將將AOB沿沿OC對(duì)折對(duì)折，我們發(fā)現(xiàn)，我們發(fā)現(xiàn)PD與與PE 完全重合完全重合.由此即有：由此即有：回回憶憶角平分線的性質(zhì)定理

2、角平分線的性質(zhì)定理:角平分線上的點(diǎn)到角兩邊角平分線上的點(diǎn)到角兩邊 的的距離距離相等相等.知知2 2講講1.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距距 離離相等相等要點(diǎn)要點(diǎn)精精析：析：(1)點(diǎn)一定要在角平分線上；點(diǎn)一定要在角平分線上；(2)點(diǎn)到角兩邊點(diǎn)到角兩邊的的距離距離是指點(diǎn)到角兩邊垂線段的長(zhǎng)度；是指點(diǎn)到角兩邊垂線段的長(zhǎng)度；(3)角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)可用可用來(lái)來(lái)證明兩條線段相等證明兩條線段相等2書寫格式：書寫格式：如圖如圖13.512，OP平平分分AOB，PDOA于點(diǎn)于點(diǎn)D，PEOB于于點(diǎn)點(diǎn)E, PDPE.3易錯(cuò)警示：易錯(cuò)警示：易找錯(cuò)距

3、離，誤以為易找錯(cuò)距離，誤以為角角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離就是角平分平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離就是角平分線線上的點(diǎn)與角兩邊上任意點(diǎn)間的距離上的點(diǎn)與角兩邊上任意點(diǎn)間的距離（此講解來(lái)源于（此講解來(lái)源于點(diǎn)撥點(diǎn)撥）圖圖13.512知知2 2講講已知已知: 如如圖圖13. 5.4, OC是是 AOB的的平分線平分線,點(diǎn)點(diǎn)P是是 OC上上的任意一點(diǎn)的任意一點(diǎn)，PD丄丄OA, PE丄丄OB, 垂足垂足分別為點(diǎn)分別為點(diǎn) D和點(diǎn)和點(diǎn)E.求證求證：PD=PE.分析：分析：圖圖中有兩個(gè)直角三角形中有兩個(gè)直角三角形PDO和和PEO，只要只要 證明證明這這兩個(gè)三角形全等，便可證兩個(gè)三角形全等，便可證得得PD=PE.

4、（此講解來(lái)源于教材）（此講解來(lái)源于教材）請(qǐng)寫出完整的請(qǐng)寫出完整的證明過(guò)程證明過(guò)程.知知2 2講講 例例2 如如圖圖13.513，在，在ABC中，中，C90，AD平分平分CAB，DEAB于于E，F(xiàn)在在AC上，上，BEFC，求，求證：證：BDDF.導(dǎo)引：導(dǎo)引：要證要證BDDF，可考慮證兩，可考慮證兩線線段段所在的所在的BDE和和FDC全等全等，兩兩個(gè)三角形中已有一角和個(gè)三角形中已有一角和一邊一邊相等相等，只要再證，只要再證DECD即可即可，這這可由可由AD平分平分CAB及垂直條件證得及垂直條件證得圖圖13.513（此講解來(lái)源于（此講解來(lái)源于點(diǎn)撥點(diǎn)撥）知知2 2講講證明證明：AD平分平分CAB，DE

5、AB于于E，C90， DEDC.在在BDE和和 FDC中中，EDCD，DEBC，BEFC，BDE FDC, BDDF.（此講解來(lái)源于（此講解來(lái)源于點(diǎn)撥點(diǎn)撥）總總 結(jié)結(jié)知知2 2講講由角平分線的性質(zhì)不用證全等可以直接得線段相等，由角平分線的性質(zhì)不用證全等可以直接得線段相等，這是證線段相等的一個(gè)簡(jiǎn)捷方法這是證線段相等的一個(gè)簡(jiǎn)捷方法. .2知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)角平分線的角平分線的判定判定知知1 1導(dǎo)導(dǎo)這一定理描述了角平分線的性質(zhì)，那么反過(guò)來(lái)會(huì)有這一定理描述了角平分線的性質(zhì)，那么反過(guò)來(lái)會(huì)有 什么結(jié)什么結(jié)果呢？果呢？你一定發(fā)現(xiàn)到角兩邊距離相等的點(diǎn)的確在該角的你一定發(fā)現(xiàn)到角兩邊距離相等的點(diǎn)的確在該角的 平分線上平

6、分線上.我們可以通過(guò)我們可以通過(guò)“證明證明”說(shuō)明這一結(jié)論正確說(shuō)明這一結(jié)論正確.探探索索 條件條件結(jié)論結(jié)論性質(zhì)定理性質(zhì)定理 逆命題逆命題 寫出該定理與逆寫出該定理與逆命題的條件與結(jié)論，命題的條件與結(jié)論，想想看，其逆命題想想看，其逆命題是否是一個(gè)真命題？是否是一個(gè)真命題？知知1 1講講角平分線角平分線的判定定理：的判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離角的內(nèi)部到角兩邊距離 相等相等的的點(diǎn)在角的平分線上點(diǎn)在角的平分線上(1)書寫格式：書寫格式：如圖如圖13.515，PDOA，PEOB，PDPE, 點(diǎn)點(diǎn)P在在AOB的平分線上的平分線上(或或AOCBOC)(2)作用：作用：運(yùn)用角平分線的判定運(yùn)用角平分線的判定，

7、可以可以證明兩個(gè)角證明兩個(gè)角相等相等或一條射線是角的平分線或一條射線是角的平分線（此講解來(lái)源于（此講解來(lái)源于點(diǎn)撥點(diǎn)撥）圖圖13.515知知1 1講講已知已知：如圖：如圖13.5.5，QD丄丄OA，QE丄丄OB，點(diǎn)，點(diǎn)D、E為垂為垂足足，QD = QE.求證：求證：點(diǎn)點(diǎn)Q在在AOB的的平分線平分線上上.分析：分析：為了為了證明證明點(diǎn)點(diǎn)Q在在AOB的平分的平分線上線上，可以作射線可以作射線OQ，然后，然后證明證明Rt QDO Rt QEO, 從而從而得到得到 AOQ = BOQ.（此講解來(lái)源于教材）（此講解來(lái)源于教材）圖圖13.5.5知知1 1講講證明證明：過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)O、Q作射線作射線OQ. QDO

8、A, QEOB ， QDO= BOQ = 90.在在 Rt QDO和和 Rt QEO中中， OQ = OQ，QD = QE， Rt QDO Rt QEO, (H. L.), DOQ= EOQ(全等三角形的對(duì)應(yīng)角全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等相等).點(diǎn)點(diǎn)Q在在AOB的的平分線上平分線上.（此講解來(lái)源于教材）（此講解來(lái)源于教材）知知2 2講講 例例3 如圖如圖13.514，在，在ABC中，中，C90，BCAC，AD是是BAC的平分線，的平分線，DEAB于點(diǎn)于點(diǎn)E. 若若AB10 cm，求，求DBE的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)（此講解來(lái)源于（此講解來(lái)源于點(diǎn)撥點(diǎn)撥）圖圖13.514歸歸 納納知知1 1講講角平分線角平分線的判

9、定定理與的判定定理與性性質(zhì)質(zhì)定理的關(guān)系：定理的關(guān)系：(1)如圖如圖13.516，都都與距離有關(guān)：即條件與距離有關(guān)：即條件PDOA，PEOB都具備；都具備；(2)點(diǎn)在點(diǎn)在角平分線角平分線上上性質(zhì)判定性質(zhì)判定點(diǎn)到角兩邊的距離相等點(diǎn)到角兩邊的距離相等圖圖13.516知知1 1講講 例例1 如如圖圖13.516，BECF，DFAC于點(diǎn)于點(diǎn)F，DEAB于點(diǎn)于點(diǎn)E，BF和和CE相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)D.求證：求證：AD平分平分BAC.導(dǎo)引：導(dǎo)引：要證要證AD平分平分BAC，已知已知條件條件中有兩個(gè)垂直，即中有兩個(gè)垂直，即有有點(diǎn)點(diǎn)到角的兩邊的距離，到角的兩邊的距離，再再證證這兩個(gè)距離相等即可這兩個(gè)距離相等即可證證

10、明明結(jié)論，證這兩條垂線結(jié)論，證這兩條垂線段段相等相等，可通過(guò)證明，可通過(guò)證明BDE和和CDF全等來(lái)完成全等來(lái)完成（此講解來(lái)源于教材）（此講解來(lái)源于教材）圖圖13.516知知1 1講講證明證明：DFAC于點(diǎn)于點(diǎn)F，DEAB于點(diǎn)于點(diǎn)E，DEBDFC90.在在BDE和和CDF中中，BDECDF，DEBDFC，BECF， BDE CDF，DEDF.又又DFAC于點(diǎn)于點(diǎn)F，DEAB于點(diǎn)于點(diǎn)E，AD平分平分BAC. （此講解來(lái)源于教材）（此講解來(lái)源于教材）1如如圖，圖，OP平分平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分，垂足分別為別為A，B .下列結(jié)論中不一定成立的是下列結(jié)論中不一定成立的是()APAPB B

11、PO平分平分APBCOAOB DAB垂直平分垂直平分OP知知2 2練練2 如如圖，圖，OP平分平分MON，PAON于點(diǎn)于點(diǎn)A，Q是射線是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PA2，則，則PQ的最小值為的最小值為()A1 B2 C3 D4知知2 2練練3 如圖，已知在如圖，已知在ABC中，中，CD是是AB邊上的高，邊上的高，BE平分平分ABC，交，交CD于點(diǎn)于點(diǎn)E，BC50，DE14，則，則BCE的面積等于的面積等于_知知2 2練練角的平分線圖形結(jié)構(gòu)中的角的平分線圖形結(jié)構(gòu)中的“兩種兩種數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系”：如圖，：如圖，OC平分平分AOB，PDOA于于D，PEOB于于E，DE交交OC于點(diǎn)于點(diǎn)F. (1)角的相等關(guān)系：角的相等關(guān)系：AOCBOCPDFPEF；ODPOEPDFOEFODFP EFP90；DPOEPOODFOEF.(2)線段的相等關(guān)系：線段的相等關(guān)系：ODOE，DPEP，DFEF .1運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決與面積有關(guān)的問(wèn)題運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決與面積有關(guān)的問(wèn)題的方法：首先運(yùn)用三角形的面積公式將面積關(guān)系轉(zhuǎn)化的方法：首先運(yùn)用三角形的面積公式將面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為三為線段關(guān)系，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為三角形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，從而把兩者建立起關(guān)系，結(jié)合角形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，從而把兩者建立起關(guān)系，結(jié)合已知條件可解決問(wèn)題已知條件