創(chuàng)意平板折疊桌

1、2021高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學生數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)那么.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式包括 、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等與隊外的任何人包括指導教師研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)那么的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料包括網(wǎng)上查到的資料，必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)那么，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)那么的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是從A/B/C/D中選擇一項填寫： B 我們的參賽報名號為如果賽區(qū)設置報名號的話：

2、 所屬學校請?zhí)顚懲暾娜?參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 數(shù)模教練組 日期： 2021 年 9 月 12 日賽區(qū)評閱編號由賽區(qū)組委會評閱前進行編號：2021高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號由賽區(qū)組委會評閱前進行編號：賽區(qū)評閱記錄可供賽區(qū)評閱時使用：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號由賽區(qū)組委會送交全國前編號：全國評閱編號由全國組委會評閱前進行編號：創(chuàng)意平板折疊桌摘要本文對創(chuàng)意平板折疊桌的折疊過程進行研究，用數(shù)學模型描述折疊桌的相關(guān)設計參數(shù)及其動態(tài)變化，用非線性優(yōu)化模型確定最優(yōu)設計參數(shù)，并給出折疊桌設計的程序。問

3、題一中，要求桌腿開槽的長度和桌腳邊緣線。在整個變化過程中所有桌腿都由鋼筋相連，且各桌腿與桌面連接點的相對位置不變。根據(jù)幾何關(guān)系，由折疊后鋼筋的位置及每根桌腿的長度即可計算每個桌腳邊緣的位置。求出桌腳邊緣的參數(shù)方程即可描繪桌腳邊緣線。在折疊過程中，以桌高為參數(shù)，就可以描繪動態(tài)變化過程。分析發(fā)現(xiàn)，鋪展時鋼筋位于開槽的頂部，折疊時那么位于底部。因此可由初末兩個狀態(tài)的鋼筋與桌腳邊緣距離之差計算開槽長度。結(jié)果是，從外到內(nèi)桌腳槽寬依次為：0, 8.4, 11.5, 14.1, 16.2, 17.9, 19.3, 20.3, 21.0, 21.3 單位：。問題二只給定了桌面面積與桌高，需自主確定桌腿長與鋼筋

4、位置。本文從三個方面來決定桌子具體形狀：是否節(jié)約材料、穩(wěn)固性、加工難易。分析發(fā)現(xiàn)桌腿越長用材越多，但穩(wěn)固性越好。而開槽長度越短那么加工越容易。由力學分析得桌子受壓后不會變形的前提是最中間桌腿與桌面的夾角小于90度，即向內(nèi)“凹。為求得最優(yōu)方案，本文采用非線性規(guī)劃的方法，利用桌面面積和底面積建立目標函數(shù)，根據(jù)幾何關(guān)系尋找約束條件，考慮實際賦予桌面與桌腳接觸面積權(quán)值。用Lingo軟件求得最優(yōu)解。結(jié)果是桌腳接觸面為正方形時到達最優(yōu)。桌腿長度確定后，通過考察不同鋼筋位置所形成的開槽長度來確定適宜的鋼筋位置。其中，槽長須為正且不超過相應的桌腿長。據(jù)此可以確定一個范圍，再根據(jù)槽長越短加工越易的原那么確定最優(yōu)

5、鋼筋位置。問題三由用戶自由選擇桌高、桌面形狀與桌角線大致形狀。本文提供一種簡單的思路使得能夠盡量滿足客戶的任意組合。確定桌子形狀后參照第二問的標準確定桌腿長與鋼筋位置。本文的程序利用第一問描述的幾何關(guān)系描繪圖案并計算加工參數(shù)。在最后本文設計了橢圓型桌面及心形桌面的桌子并描繪折疊過程的示意圖。關(guān)鍵字：數(shù)學模型 非線性規(guī)劃 加工參數(shù) 邊緣線 設計優(yōu)化 一、問題的重述某公司生產(chǎn)一種可折疊的桌子，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板如圖1-2所示。桌腿由假設干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動的自由度見

6、圖3。桌子外形由直紋曲面構(gòu)成，造型美觀。附件視頻展示了折疊桌的動態(tài)變化過程。試建立數(shù)學模型討論以下問題：1. 給定長方形平板尺寸為，每根木條寬，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為。試建立模型描述此折疊桌的動態(tài)變化過程，在此根底上給出此折疊桌的設計加工參數(shù)例如，桌腿木條開槽的長度等和桌腳邊緣線圖中紅色曲線的數(shù)學描述。2. 折疊桌的設計應做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設計要求，討論長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設計加工參數(shù)，例如，平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度等。對于桌高，桌面直徑的情形，確定最優(yōu)設計加工參數(shù)。3. 公司

7、方案開發(fā)一種折疊桌設計軟件，根據(jù)客戶任意設定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優(yōu)設計加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。你們團隊的任務是幫助給出這一軟件設計的數(shù)學模型，并根據(jù)所建立的模型給出幾個你們自己設計的創(chuàng)意平板折疊桌。要求給出相應的設計加工參數(shù)，畫出至少8張動態(tài)變化過程的示意圖。二、問題分析第一問所有參數(shù)都已給定，該問就變成了純幾何分析問題。首先注意到幾個特征：桌腿的長度不變，桌腿與桌面連接處不變，同側(cè)所有桌腿由不可彎曲的鋼筋連接，平鋪時所有桌腳成一條直線。對于桌子折疊時的靜止狀態(tài)，每一根桌腿可看作是最外側(cè)

8、桌腿沿鋼筋平行旋轉(zhuǎn)而成。建立空間直角坐標系，根據(jù)桌腿與桌面及鋼筋接觸的兩點可確定桌腿的直線方程，再由每根桌腿的長度即可確定桌腳的坐標，依次連接即成桌腳線。對于桌腿開槽長度，分析發(fā)現(xiàn)桌子平鋪時鋼筋位于槽靠近桌面的頂端，而折疊時位于靠近桌腳的頂端。由此，計算兩個狀態(tài)下鋼筋與桌腳距離之差即可得每根桌腿開槽長度。對于桌子折疊的過程，取桌面離地面高度為變量，每確定一個桌高即用上述方法進行分析計算。由此可得到桌子在折疊過程中各參數(shù)的變化。問題二給定了桌面面積與桌高，需要確定的是腿長與鋼筋位置。由此可確定第二問是一個求最優(yōu)解的問題。制作桌子要考慮三方面因素：是否節(jié)省材料、穩(wěn)固性、加工難易。分析發(fā)現(xiàn)最外側(cè)桌腳

9、越長越費材料，但由于增加了底面積而增加了穩(wěn)固性。另由力學分析得桌子在受壓后不會恢復原狀的必要條件是每側(cè)最中間的桌腿與桌面的夾角小于90度，即向內(nèi)“凹。這樣桌子受壓時外側(cè)桌腿向外的趨勢與中間桌腿向內(nèi)的趨勢可通過鋼筋抵消，從而使桌子具備抗壓能力。鋼筋的位置會影響桌腿開槽長度。槽的長度又有限制條件，即須為正數(shù)且小于所在桌腿長。其它的限制條件有：平鋪時鋼筋的位置須在最短桌腿范圍內(nèi)；折疊時以兩側(cè)中間向內(nèi)的桌腿相碰為極限狀態(tài)。該問難點在于如何建立一個優(yōu)化模型以求得最優(yōu)解。本文以材料總面積大小作為節(jié)省材料的評判標準，以桌腳與地面形成的底面積大小評判其穩(wěn)固性。以兩者的加權(quán)差作為優(yōu)化的目標函數(shù)?？紤]實際確定權(quán)值

10、后利用Lingo計算出最優(yōu)解。考慮了前兩個因素后考慮加工難易。以開槽長短作為加工難易的標準。考察不同鋼筋位置時桌腿開槽長度，在約束范圍內(nèi)選取最優(yōu)的槽長。問題三需要滿足客戶提出的需求以設計桌子。在設計時需要全面考慮所有限制因素，并選擇最優(yōu)方案。沿用第一問的計算方法及第二問的優(yōu)化模型，根據(jù)客戶給出的桌面形狀、桌高及桌角線形狀計算桌腿長、鋼筋位置以及桌腿開槽長度等加工參數(shù)。應用前兩問的程序，改動桌面邊緣線的方程，輸入客戶給定的參數(shù)，即可繪圖并得出最優(yōu)的加工參數(shù)。在最后本文給出了兩例分別以橢圓形與心形作為桌面形狀。 三、模型假設1.假設桌子的材料和鋼筋足夠鞏固，能承受桌子上物體的壓力不會斷裂；2.計算

11、時桌腳接觸面為平面，軸穿過桌面中心，桌子關(guān)于軸對稱。 四、變量說明桌子的長度的一半桌子的高度最外側(cè)桌腳在面上的投影長度長方形木板面積四個桌腳所圍面積圓桌面面積桌面的半徑五、模型的建立與求解5.1問題一的求解如圖1建立空間直角坐標系圖1 桌子的坐標示意圖 最外側(cè)四個桌腳均落在平面內(nèi)，桌子的圓心在軸上，且整個桌子關(guān)于軸對稱。所有桌腿都平行于平面。其側(cè)視圖為圖2 折疊后的桌子側(cè)面示意圖設圓桌面邊緣上任意點，鋼筋固定點(),桌腳邊緣點 。 桌面長度為，那么桌腳長度為。桌子折疊后，鋼筋相對于每一根桌腿的位置就確定了，因此每一根桌腳必然經(jīng)過、三點?？梢岳脦缀侮P(guān)系求出所需加工參數(shù)。過作桌面的垂線，垂足為，

12、那么。那么,，其中， 點()滿足 過作桌面的垂線，使垂足為，根據(jù)兩個相似三角形的關(guān)系得到桌腳點的坐標 由于 那么 均可以用參數(shù) 來表示。因為 ，而 ，所以折疊桌子的動態(tài)變化過程即是隨著 變化，桌腳邊緣線的變化過程。由于桌子的高度為 53 ，桌子厚度為 3 ，那么桌腳的高度為 50 。由 ，利用matlab作圖得 圖3 桌子折疊后桌子邊緣線的坐標圖當桌子平鋪為一張木板時，每根桌腿的槽的上沿位于同一條直線，即M點均在桌子長的處。故，所以槽的寬度。桌子折疊后后的距離即為圖1中的長度。圖4 木板上的槽寬示意圖利用兩點間距離公式得 利用matlab作圖，得到槽長關(guān)于的變化曲線圖5 不同桌腳的槽的長度示意

13、圖 由圖可以看出兩側(cè)的桌腳槽長為零，越中間的桌腳槽長越長。從一側(cè)到中央的十根桌腳槽寬依次為：表1 各桌腿的開槽長度桌腳序號從外到里槽的長度(cm)第 1根0第2根8.4015第 3根11.5360第 4根14.1148第5根16.2456第 6根17.9768第7根19.3364第 8根20.3426第9根21.0072第 10根21.33775.2最優(yōu)化模型與問題二的求解：5.2.1 該問分兩部走，首先確定最外側(cè)桌腿長，其次確定鋼筋位置。折疊桌的最外側(cè)桌腿長度決定了長方形木板的長，從而決定長方形木板的面積，面積越少，所用材料就越少，于是通過建立最外側(cè)桌腿長與面積的關(guān)系反映用材量。四個桌腳在地

14、面圍成長方形，根據(jù)物理常識，四個桌腳所圍成的面越大，重心越不易落到接觸面之外，桌子就越穩(wěn)固。以木板總面積與桌腳形成矩形面積之差為目標函數(shù)，根據(jù)幾何關(guān)系得出約束條件，對腿長的選擇進行優(yōu)化。長方形木板面積 四個桌腳形成的面積 圓桌面的面積 當時，這樣的桌子被稱為獨腳桌，不穩(wěn)定所以 圖6 折疊后桌子的側(cè)視圖因為 OC=,CD= , 而最內(nèi)側(cè)的桌腳最多碰地，所以, 即 那么可建立有約束條件的優(yōu)化模型 對于廠商來說，節(jié)約本錢很重要，所以取 代入數(shù)據(jù) ，。用lingo運行得到結(jié)果 , 經(jīng)計算可知最外側(cè)的兩根桌腳連線大約與圓相切，即四個桌腳形成的圖形為正方形。 該桌中最外側(cè)桌腳 ，長方形木板面積為 ，桌腳最

15、外側(cè)桌腳面積為 。5.2.2利用所得的最優(yōu)桌腳圍成形狀來確定最小槽寬桌腿上開槽長度越小加工越容易。同時槽長須滿足一定約束條件：為正數(shù)、小于腿長。參照上述分析作示意圖如下圖7 木板上的槽寬示意圖， 其中,圖一中在中，由余弦定理得 槽寬= 代入原始數(shù)據(jù)和所得的 ，在Matlab中考察不同值對開槽長度的影響。除去不可取的位置后選取最優(yōu)的槽長。表2各桌腿的開槽長度桌腳序號從外到里槽的最短長度第 1根0第2根13.8582第 3根18.6100第 4根17.8793第5根14.7612第 6根12.2463第7根10.2795第 8根8.8275第9根78697第 10根7.39375.3問題三的求解：

16、 根據(jù)客戶的設定要求來設計，找出最優(yōu)的加工參數(shù)。在問題一和問題二中我們研究的都是圓形，且給定了一些設計參數(shù)。但對于問題三，需要全面考慮所有限制條件以及客戶所給出的各種組合能否實現(xiàn)的問題。在問題一中，給定長方形木板材料，但是實際上，桌子展開成平面時不一定非要是長方形。我們可以這樣來想：首先，按照客戶指定的桌面大小形狀來做出桌面，然后根據(jù)桌高來確定并且做出四根接觸地面的桌腿如圖，圖只畫了正面的兩條桌腿；在桌腿插上鋼筋，然后再將木條向鋼筋上放，要求是這些木條能恰好插入到鋼筋如圖；最后延長木條，使得木塊下沿構(gòu)成客戶所需要的形狀如圖，圖。 圖 圖 圖這個方法很顯然可以實現(xiàn)，這樣做可以方便加工，而且假設是

17、客戶沒有要求鋪開時木板形狀，我們還可以將木條的長度縮減到恰好能被鋼筋連接起來，這樣又可以節(jié)省一局部材料。在程序?qū)崿F(xiàn)中，客戶給定桌面形狀、桌高以及桌腳邊緣線大致形狀，只要能給出桌面邊緣的顯式或參數(shù)方程，就可以自動計算加工參數(shù)并制圖。本文考察了桌面為半長軸為50，半短軸為40的橢圓，高80的桌子，以及以系數(shù)為20的心形為桌面，高為70的桌子。給出了開槽長度及折疊過程示意圖。1、 橢圓形桌面表3 各桌腿的開槽長度桌腳序號從外到里槽的長度 第 1根0第2根17.8746第 3根24.5662第 4根30.0544第5根34.5735第 6根37.2380第7根34.3708第 8根32.2532第9根

18、30.8564第 10根30.1623 2、 心形桌面表4 各桌腿的開槽長度桌腳序號從外到里槽的長度第 1根0第2根8.7391第 3根18.3158第 4根10.3634第5根6.7269第 6根3.6755第7根1.4695第 8根0.3274第9根0.4012第 10根1.7568第 11根4.3605第 12根8.0718第 13根12.6481第 14根17.7660第 15根12.0498第 16根0.0515 六、模型的評價與推廣6.1模型的優(yōu)缺點缺點：1.問題一二中，模型是理想化的，桌面并不是理想的圓形，最外側(cè)的桌腳的長度也不是桌長的一半。2.桌腳構(gòu)成的邊緣線并不是連續(xù)的，槽的

19、長度構(gòu)成的曲線也不是連續(xù)的，求得的數(shù)據(jù)有誤差。優(yōu)點：利用桌子各個參數(shù)之間的關(guān)系，將桌子加工的方式進行改良，使加工方式簡化；62模型的推廣1.本文建立的模型是簡化很多條件后的，因為最外側(cè)桌腿的頂側(cè)并不是相接的，而是留有一小塊木塊，實際上不管是什么形狀的桌子，都必須要留有一局部，否那么兩條桌腿便無法合上，實際的最外側(cè)桌腿應該比長方形的一半要小，可以根據(jù)木塊的厚度來決定所留木塊的長短，再將這一數(shù)據(jù)代入模型中可以減小與實際情況的誤差。2.槽長和最外側(cè)桌腿與地面的夾角以及鋼筋的位置有關(guān)，這樣就可以將槽長和桌腿地面的面積以及桌面面積聯(lián)系在一起，建立一個二元變量的目標函數(shù)，鋼筋的位置是有范圍的，不能接觸到桌

20、面邊緣，也不能超出最外側(cè)木板，在這個約束條件內(nèi)求最優(yōu)的鋼筋位置和最外側(cè)桌腿與地面夾角。七、參考文獻1 王思成，GBT，10357.7-1995家具力學性能試驗桌類穩(wěn)定性J，16-18.2021-09-13.八、附錄附錄一 計算第一問的加工參數(shù)cleari=0;for x=-25:0.05:25;%以x為參數(shù)計算桌腳坐標及開槽長度 i=i+1; x0(i)=x; z(i)=50; y(i)=sqrt(252-x2);y0(i)=sqrt(625-x.2)+(60-sqrt(625-x.2).*(16.583-sqrt(625-x.2)/sqrt(1250-x.2+16.583.2-2.*16.5

21、83.*sqrt(625-x.2); z0(i)=50-25.*(60-sqrt(625-x.2)/sqrt(625+(sqrt(625-x.2)-16.583).2); d2(i)=sqrt(y0(i)-16.583).2+(z0(i)-25).2);%折疊時鋼筋到桌腳的距離 d(i)=30-d2(i);%開槽長度end subplot(1,2,1)plot3(x0,y0,z0,r-)%繪制桌腳邊緣線hold ongrid onsubplot(1,2,2)%繪制槽長變化曲線plot(x0,d)grid on附錄二 第二問cleari=0;y1=30; %更改不同的y1來模擬不同的鋼筋位置fo

22、r x=-40:0.05:40 i=i+1; y(i)=sqrt(1600-x2); co(i)=(y1-y(i)/sqrt(y1-y(i)2+(7/4*y1)2); si(i)=7/4*y1/sqrt(y1-y(i)2+(7/4*y1)2); x0(i)=x; y0(i)=y(i)+(sqrt(6500)-y(i)*co(i); z0(i)=70-(sqrt(6500)-y(i)*si(i);%計算桌腳的坐標 d2(i)=sqrt(y1-y0(i)2+(70-7/4*y1-z0(i)2); d(i)=sqrt(6500)-sqrt(y12+(7/4*y1)2)-d2(i); y2(i)=-y

23、0(i); l(i)=sqrt(6500)-y(i);endsubplot(1,2,1)plot3(x0,y0,z0,r-)hold onplot3(x0,y2,z0)%繪制桌腳邊緣線grid onsubplot(1,2,2)%繪制槽長變化曲線plot(x0,d)hold onplot(x0,l,r)%繪制桌腿長變化曲線grid on附錄三min=11200*(1-0.5*sqrt(1-x2)/x; /此函數(shù)為加權(quán)后的目標函數(shù)x=0.580322535; /程序中的x就是,為了計算簡便用了換元x=0.921573912;附錄四 第四問 橢圓桌面cleara=50;b=40;%輸入桌面形狀h=80;%輸入桌高hp=70;%折疊時變化的桌高i=0;y1=30;l=sqrt(a2+h2);z1p=hp-y1*hp/a;y1p=y1/a*sqrt(l2-hp2); for x=-b:0.01:b; i=i+1; x0(i)=x; y(i)=sqrt(1-x2/b2)*a2); z(i)=hp; l0(i)=l-y(i); si(i)=(hp-z1p)/sqrt(y1p-y(i